2025版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第5讲离散型随机变量的分布列均值与方差提能训练

这是一份2025版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第5讲离散型随机变量的分布列均值与方差提能训练，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设随机变量X服从两点分布，若P(X＝1)－P(X＝0)＝0.4，则E(X)＝( D )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
[解析] 由题意得P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，
因为P(X＝1)－P(X＝0)＝0.4，
所以解得P(X＝1)＝0.7，P(X＝0)＝0.3，
所以E(X)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7，故选D.
2．(2023·浙江百校联考)若某随机事件的概率分布列满足P(X＝i)＝a·eq \f(i,10)(i＝1,2,3,4)，则D(X)＝( D )
A．3 B．10
C．9 D．1
[解析] 由分布列的性质知aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)＋\f(2,10)＋\f(3,10)＋\f(4,10)))＝1，
∴a＝1，∴X的分布列为
∴E(X)＝eq \f(1,10)＋eq \f(2,5)＋eq \f(9,10)＋eq \f(8,5)＝3，
∴D(X)＝(3－1)2×eq \f(1,10)＋(3－2)2×eq \f(1,5)＋(4－3)2×eq \f(2,5)＝1，故选D.
3．(2022·江西赣州模拟)一袋中装有5个球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取出3球，以X表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量X的分布列为( C )

[解析] 随机变量X的可能取值为1,2,3，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(3,5))＝eq \f(3,5)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,3),C\\al(3,5))＝eq \f(3,10)，
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(3,5))＝eq \f(1,10).故选C.
4．(2023·河南五市联考)某一随机变量X的概率分布如下表，且n－m＝0.1，则P(X≤2)＝( C )
A.0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
[解析] 由题意可得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n－m＝0.1，,0.1＋m＋0.2＋n＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n＝0.4，,m＝0.3，))
故P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.3＋0.2＝0.6，故选C.
5．(2024·河南南阳一中开学考)已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E(ξ)＝( B )
A．3 B．eq \f(7,2)
C．eq \f(18,5) D．4
[解析] 由题意知，ξ的可能取值为2,3,4，其概率分别为P(ξ＝2)＝eq \f(A\\al(2,2),A\\al(2,5))＝eq \f(1,10)，P(ξ＝3)＝eq \f(A\\al(2,2)C\\al(1,3)C\\al(1,2)＋A\\al(3,3),A\\al(3,5))＝eq \f(3,10)，P(ξ＝4)＝eq \f(A\\al(3,3)C\\al(2,3)C\\al(1,2)＋A\\al(3,3)C\\al(1,3)C\\al(1,2),A\\al(4,5))＝eq \f(6,10)，所以E(ξ)＝2×eq \f(1,10)＋3×eq \f(3,10)＋4×eq \f(6,10)＝eq \f(7,2).故选B.
二、多选题
6．(2024·江苏镇江一中阶段测试改编)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝eq \f(1,3)，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是( ABD )
A．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X＋2)＝4
C．D(3X＋2)＝4 D．D(X)＝eq \f(2,9)
[解析] 随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝eq \f(1,3)，∴P(X＝1)＝eq \f(2,3)，E(X)＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)，D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(2,3)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))2×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)，P(X＝1)＝E(X)，故A正确；E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×eq \f(2,3)＋2＝4，故B正确；D(3X＋2)＝9D(X)＝9×eq \f(2,9)＝2，故C错误；D(X)＝eq \f(2,9)，故D正确．故选ABD.
7．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，下列说法正确的是( BC )
A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是eq \f(1,3)
B．从中任取3球，恰有两个白球的概率是eq \f(1,5)
C．从中任取3球，取得白球个数X的数学期望是1
D．从中不放回地取3次球，每次任取1球，已知第一次取到红球，则后两次中恰有一次取到红球的概率为eq \f(2,5)
[解析] 从中任取3球，恰有一个白球的概率P＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(2,4),C\\al(3,6))＝eq \f(3,5)，故A错误；
从中任取3球，恰有两个白球的概率P＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(1,4),C\\al(3,6))＝eq \f(1,5)，故B正确；
从中任取3球，全为红球的概率P＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,6))＝eq \f(1,5)，
故X的分布列为：
故E(X)＝0×eq \f(1,5)＋1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(1,5)＝1，故C正确；
从中不放回地取3次球，每次任取1球，
则第一次取到红球，则后两次中恰有一次取到红球的概率P＝eq \f(3,5)×eq \f(1,2)＋eq \f(2,5)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,5)，故D错误．
故选BC.
8．(2023·山东质检二)已知m，n均为正数，随机变量X的分布列如下表：
则下列结论一定成立的是( BCD )
A．P(X＝1)