2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第3讲圆的方程直线与圆的位置关系考点1圆的方程

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[解析] 设圆心C(a,0)(a>0)，由题意知eq \f(|3a＋4|,\r(32＋42))＝2，解得a＝2，故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝22，即x2＋y2－4x＝0，故选B.
2．(2022·高考全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为 (x－2)2＋(y－3)2＝13或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(7,3)))2＝eq \f(65,9)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(8,5)))2＋(y－1)2＝eq \f(169,25)或(x－2)2＋(y－1)2＝5(写出其中一个即可) .
[解析] 依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
若过(0,0)，(4,0)，(－1,1)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,16＋4D＋F＝0，,1＋1－D＋E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,D＝－4，,E＝－6，))
所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，
即(x－2)2＋(y－3)2＝13；
同理可求过(0,0)，(4,0)，(4,2)的圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5；
过(0,0)，(4,2)，(－1,1)的圆的方程为x2＋y2－eq \f(8,3)x－eq \f(14,3)y＝0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(7,3)))2＝eq \f(65,9)；
过(－1,1)，(4,0)，(4,2)的圆的方程为x2＋y2－eq \f(16,5)x－2y－eq \f(16,5)＝0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(8,5)))2＋(y－1)2＝eq \f(169,25).
3．(2024·湖北武汉部分学校调研)圆心在直线x＋y－1＝0上且与直线2x－y－1＝0相切于点(1,1)的圆的方程是 (x＋1)2＋(y－2)2＝5 .
[解析] 依题意，过切点(1,1)的圆的半径所在直线方程为y－1＝－eq \f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1＝0，,x＋2y－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2，))因此所求圆的圆心为(－1,2)，半径r＝eq \r(－1－12＋2－12)＝eq \r(5)，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
名师点拨：求圆的方程的两种方法
1．直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
2．待定系数法
(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，进而求出a，b，r的值；
(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
3．常见圆的方程的设法
【变式训练】
1．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq \r(5))在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为eq \f(4\r(5),5)，则圆C的方程为_(x－2)2＋y2＝9__.
[解析] 设圆C的圆心坐标为(a,0)，a>0，半径为r，则eq \f(4\r(5),5)＝eq \f(|2a|,\r(22＋12)).∴a＝±2.∵a>0，∴a＝2，∴r2＝(2－0)2＋(0－eq \r(5))2＝9，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
2．(2023·河南安阳调研)过点(0,2)且与直线y＝x－2相切，圆心在x轴上的圆的方程为( D )
A．(x＋1)2＋y2＝3 B．(x＋1)2＋y2＝5
C．(x＋2)2＋y2＝4 D．(x＋2)2＋y2＝8
[解析] 设圆心坐标为(a,0)，则eq \r(a－02＋0－22)＝eq \f(|a－2|,\r(2))，解得a＝－2，又r2＝(－2－0)2＋(0－2)2＝8，故圆的方程为(x＋2)2＋y2＝8，∴选D.标准方程的设法
一般方程的设法
圆心在原点
x2＋y2＝r2
x2＋y2－r2＝0
过原点
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在
x轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在
y轴上
x2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴
相切
(x－a)2＋(y－b)2＝b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)D2＝0
与y轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝a2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)E2＝0