2025版高考数学一轮总复习素养提升训练题第8章平面解析几何第3讲圆的方程直线与圆的位置关系

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[解析] 圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为C(－3，2)，半径r＝1.如图，作出点A(－2，－3)关于y轴的对称点B(2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B.设反射光线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y－(－3)＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切可得eq \f(|k－3－2－2k－3|,\r(1＋k2))＝1，即|5k＋5|＝eq \r(1＋k2)，整理得12k2＋25k＋12＝0，即(3k＋4)(4k＋3)＝0，解得k＝－eq \f(4,3)或k＝－eq \f(3,4)，故选D.
2.已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是 2eq \r(5) .
[解析] 圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝5，其圆心C(2，1)关于直线l：x＋y＋2＝0的对称点为C′(－3，－4)，|PA|＋|PQ|的最小值为|AC′|－eq \r(5)＝eq \r(62＋32)－eq \r(5)＝2eq \r(5).
[引申1]本例1中入射光线所在直线的方程为 4x－3y－1＝0或3x－4y－6＝0 .
[引申2]本例2中，若将“A(0,2)”改为“A(0，－4)”则||PA|－|PQ||的最大值为 3＋eq \r(5) .
名师点拨：1.光的反射问题一般化为轴对称解决．
2．求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
【变式训练】
(2024·江苏常州调研)已知点P在直线y＝－x－3上运动，M是圆O：x2＋y2＝1上的动点，N是圆C：(x－9)2＋(y－2)2＝16上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( D )
A．13 B．11
C．9 D．8
[解析] 根据圆的性质可得|PM|＋|PN|≥|PO|＋|PC|－5，又O(0,0)关于直线y＝－x－3的对称点为G(－3，－3)，C(9,2)，|PM|＋|PN|≥|GC|－5＝eq \r(9＋32＋2＋32)－5＝8，当P，G，C三点共线时，等号成立．故选D.