2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第3讲圆的方程直线与圆的位置关系考点3与圆有关的最值问题

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角度2 截距型最值
(2024·江苏常州一中调研)点(x，y)在曲线y＝eq \r(4－x2)－2上，则|3x－4y＋4|的取值范围为( B )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(18,5))) B．[2,18]
C．[1,9] D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，\f(9,5)))
[解析] 解法一：如图，曲线y＝eq \r(4－x2)－2为圆x2＋(y＋2)2＝4的上半圆，圆心A(0，－2)，半径为2，B(2，－2)，
令3x－4y＝t，则当直线l：3x－4y－t＝0过点B(2，－2)时，t＝14；
当直线l与半圆相切时eq \f(|t－8|,\r(32＋42))＝2(t2，
即直线3x－4y＋4＝0与圆相离，点B到直线3x－4y＋4＝0的距离|BC|＝eq \f(|3×2－4×－2＋4|,\r(32＋－42))＝eq \f(18,5)，|3x－4y＋4|最小值为5(|AD|－2)＝2，|3x－4y＋4|最大值为5|BC|＝18，则|3x－4y＋4|的取值范围为[2,18]．
角度3 与距离有关的最值
(2024·江苏南京金陵中学月考)在平面直角坐标系xOy中，设曲线x＝eq \r(2y－y2)上的点P到直线l：x－y－2＝0的距离的最大值为a，最小值为b，则a－b的值为( C )
A.eq \f(\r(2),2) B．eq \r(2)
C.eq \f(\r(2),2)＋1 D．2
[解析] 将x＝eq \r(2y－y2)化为x2＋(y－1)2＝1，x≥0，所以圆心(0,1)，半径r＝1，因为圆心到直线x－y－2＝0的距离d＝eq \f(3\r(2),2)，所以圆上的点到直线的最小距离b＝eq \f(3\r(2),2)－1，最大值为(0,2)到直线的距离，即a＝eq \f(4,\r(2))＝2eq \r(2)，则a－b＝eq \f(\r(2),2)＋1.故选C.
[引申]本例中若P(x，y)，则x2＋y2＋2x的最大值为 2＋2eq \r(2) .
[解析] x2＋y2＋2x＝(x＋1)2＋y2－1表示半圆上的点到(－1,0)距离的平方减1，而半圆上点到(－1，0)距离的最大值为eq \r(2)＋1，∴x2＋y2＋2x的最大值为(eq \r(2)＋1)2－1＝2＋2eq \r(2).
名师点拨：与圆有关的最值问题的常见解法
要明确目标代数式的几何意义
(1)形如μ＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
(4)圆上的点到定点(定直线)距离的最大值与最小值可转化为圆心到定点(定直线)距离与半径的和与差．
【变式训练】
(2024·江西稳派上进名校联盟联考)“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x，y)是阴影部分(包括边界)的动点，则eq \f(y,x－2)的最小值为( C )
A．－eq \f(2,3) B．－eq \f(3,2)
C．－eq \f(4,3) D．－1
[解析] 记A(2,0)，则k＝eq \f(y,x－2)为直线AP的斜率，故当直线AP与半圆x2＋(y－1)2＝1(x>0)相切时，得k最小，此时设AP：y＝k(x－2)，故eq \f(|－1－2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq \f(4,3)或k＝0(舍去)，即kmin＝－eq \f(4,3).故选C.