【专题】分式化简求值（50题）-【重要笔记】2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练(人教版)

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【专题】分式化简求值（50题）一、解答题1．先化简，再求值：(1−1a+1)÷aa2−1，其中a=−12．【答案】解：(1−1a+1)÷aa2−1=(a+1a+1−1a+1)×(a+1)(a−1)a=aa+1×(a+1)(a−1)a=a−1当a=−12时，原式=−12−1=−32．【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。2．先化简，再求值：aa−2+(aa−2−4aa2−2)，其中a=3．【答案】解：aa−2+(aa−2−4aa2−2)=aa−2+aa−2−4aa2−2=2aa−2−4aa2−2=2a(a2−2)(a−2)(a2−2)−4a(a−2)(a−2)(a2−2)=2a3−4a2+4a(a−2)(a2−2)当a=3时，原式=2×33−4×32+4×3(3−2)(32−2)=307【解析】【分析】先化简分式，再将a=3代入计算求解即可。3．先化简，再求值：aa2−1÷(1+1a−1)，其中a=3−π0．【答案】解：aa2−1÷(1+1a−1)=a(a+1)(a−1)÷(aa−1)=a(a+1)(a−1)⋅a−1a=1a+1，∵a=3−π0，∴a=3−1，∴原式=13−1+1=13=33．【解析】【分析】先化简原式，再将a的值代入计算即可。4．先化简，再求值：(1−1a−2)÷a−3a2−4，其中a=−3．【答案】解：原式=a−3a−2×(a+2)(a−2)a−3=a+2，当a=-3时，原式=-3+2=-1时．【解析】【分析】先化简原式，再将a的值代入计算即可。5．先化简，再求值：a−1a2+2a+1÷a−1a+1−1a−1，其中a=2．【答案】解：原式=a−1（a+1）2×a+1a−1−1a−1=1a+1−1a−1=（a−1）−（a+1）（a+1）（a−1）=−2a2−1当a=2时，原式=−2（2）2−1=−2【解析】【分析】先化简分式，再将a的值代入计算求解即可。6．先化简，再求值：a2−4a+4a+1÷(3a+1−a+1)，其中a＝8．【答案】解：原式＝(a−2)2a+1÷[3a+1−(a+1)(a−1)a+1]＝(a−2)2a+1÷4−a2a+1＝(a−2)2a+1⋅a+1−(a+2)(a−2)＝2−aa+2，当a＝8时，原式＝2−88+2＝﹣610＝−35．【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。7．先化简，再求值：(2x+2)÷(x+1+2x+2x−1)，其中x=−2．【答案】解：原式=(2x+2)÷(x2−1x−1+2x+2x−1)=(2x+2)÷x2+2x+1x−1=2(x+1)⋅x−1x2+2x+1=2(x+1)⋅x−1(x+1)2=2x−2x+1，将x=−2代入得：原式=2×(−2)−2−2+1=6．【解析】【分析】先化简原式，再将x的值代入计算即可。8．先化简，再求值：(a+2ab+b2a)÷a2−b2a2−ab，其中a＝﹣2，b＝3．【答案】解：原式＝a2+2ab+b2a⋅a(a−b)(a+b)(a−b)=(a+b)2a⋅a(a−b)(a+b)(a−b)＝a+b，当a＝﹣2，b＝3时，原式＝1．【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a、b的值代入计算即可。9．先化简，再求值：(1−2x−1)⋅x2−xx2−6x+9，其中x=2．【答案】解：原式=(x−1x−1−2x−1)⋅x(x−1)(x−3)2=x−3x−1⋅x(x−1)(x−3)2=xx−3当x=2时，原式=xx−3=22−3=−2【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。10．先化简再求值：(x2−2x+1x2−1−1x)÷1x+1，再在−1，0，1，2中选择一个合适的数代入求值．【答案】解：(x2−2x+1x2−1−1x)÷1x+1=(x−1x+1−1x)÷1x+1=x2−2x−1x(x+1)×(x+1)=x2−2x−1x．根据分式有意义的条件可知：x≠0，且x≠±1，故取x=2，当x=2时，x2−2x−1x=4−4−12=−12．【解析】【分析】对第一个 分式的分子、分母进行分解，然后约分，对括号中的式子 进行通分，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行分解，接下来选取一个使分式有意义的x的值代入计算即可.11．先化简，再求值：(xx−1−1)÷x2+2x+1x2−1 ，其中x=-2【答案】解：(xx−1−1)÷x2+2x+1x2−1， =(xx−1−x−1x−1)⋅x2−1x2+2x+1，=1x−1⋅(x−1)(x+1)(x+1)2，=1x+1，当x=﹣2时，原式=1−2+1=−1．【解析】【分析】利用分式运算化简再代入求值即可。12．先化简，再求值：x2+xx2+2x+1÷x2x2−1，其中x=3．【答案】解：原式=x(x+1)(x+1)2⋅(x+1)(x−1)x2=x−1x当x=3时，原式=3−13=23【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。13．先化简，再代入求值：x2x−2·(4x+x−4)，其中x2−2x−2=0【答案】解：x2x−2·(4x+x−4)，＝x2x−2·(4x+x2x−4xx)，＝x2x−2·(4+x2−4xx)，＝x2x−2·(x−2)2x，＝x（x－2），＝x2−2x，x2−2x−2=0，变形为x2−2x=2，原式＝x2−2x＝2．【解析】【分析】先化简分式，再求出 x2−2x=2， 最后代入求解即可。14．先化简，再求值： (1+1x−2)÷x−1x2−2x+4 ，其中 x=6 ． 【答案】解： (1+1x−2)÷x−1x2−2x+4=x−2+1x−2×x(x−2)x−1+4=x−1x−2×x(x−2)x−1+4=x+4 ，当 x=6 时， x+4=6+4=10 ．【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。15．先化简，再求值：a2−2ab+b2a2−b2÷a2−aba−2a+b，其中a＝2，b＝﹣1．【答案】解：a2−2ab+b2a2−b2÷a2−aba−2a+b=(a−b)2(a−b)(a+b)⋅aa(a−b)−2a+b=1a+b−2a+b=−1a+b将a＝2，b＝﹣1代入−1a+b=−12+(−1)=−1.【解析】【分析】先化简原式，再将a、b的值代入计算即可。16．先化简，再求值：(xx+1+1x−1)÷1x2−1，其中x是6的平方根．【答案】解：原式=[x(x−1)+(x+1)(x+1)(x−1)]⋅(x+1)(x−1)=x2−x+x+1(x+1)(x−1)⋅(x+1)(x−1)=x2+1．∵x是6的平方根，∴x2=6，∴原式=6+1=7．【解析】【分析】先化简原式，因为x是6的平方根，可得出x2=6，再代入计算即可。17．先化简，再求值： (2x+2x2−1+1)÷x+1x2−2x+1 ，其中x＝4．【答案】解：原式＝ (2x+2x2−1+x2−1x2−1)(x−1)2x+1= x2+2x+1x2−1(x−1)2x+1= (x+1)2(x+1)(x−1)(x−1)2x+1＝x﹣1，当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．【解析】【分析】根据分式的混合运算法则计算化简，然后代入x值，即可求出结果.18．先化简，再求值：(1x+1−11−x)÷1x2−1，其中x=12．【答案】解：原式=(1x+1+1x−1)×(x+1)(x−1)=1x+1×(x+1)(x−1)+1x−1×(x+1)(x−1)=x−1+x+1=2x，当x=12时，原式=2×12=1．【解析】【分析】先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律展开，然后合并同类项化简，再将x的值代入代数式中求结果.19．先化简，再求值： x2−6x+9x−2 ÷（x+2﹣ 5x−2 ），其中x＝ −12 ． 【答案】解： x2−6x+9x−2 ÷（x+2﹣ 5x−2 ） = x2−6x+9x−2 ÷（ (x+2)(x−2)x−2−5x−2 ） = (x−3)2x−2 ÷ (x+3)(x−3)x−2= (x−3)2x−2×x−2(x+3)(x−3)= x−3x+3当x＝ −12 时原式＝ −12−3−12+3 = −7252 ＝﹣ 75【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。20．先化简，再求值：(2m2−4m2−1)÷m2+2mm2，其中m=(12)−1+(3.14−π)0．【答案】解：(2m2−4m2−1)÷m2+2mm2=m2−4m2÷m2+2mm2=(m+2)(m−2)m2·m2m(m+2)=m−2m∵m=(12)−1+(3.14−π)0∴m=2+1=3当m=3时，原式=3−23=13．【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再求出m的值，最后将m的值代入计算即可。21．先化简 1a+1÷aa2+2a+1 ，然后在0，1，-1中挑选一个合适的数代入求值． 【答案】解：原式 =1a+1⋅(a+1)2a=a+1a ． 由分式有意义可知， a≠0，a≠−1 ，故 a=1 ，当 a=1 时，原式 =1+11=2 ．【解析】【分析】先利用分式的除法化简，再将a的值代入计算即可。22．先化简：x2+xx2−2x+1÷(1+2x−1) ，再任选一个你喜欢的数作为x的值代入求值.【答案】解：原式=x(x+1)(x−1)2÷x+1x−1=x(x+1)(x−1)2⋅x−1x+1=xx−1∵x−1≠0，x+1≠0，∴x≠±1，当x=0时，原式=0．【解析】【分析】先化简分式，再求出 x≠±1， 最后求解即可。23．先化简(1−1a)÷a2−1a2+2a+1，再从−1，0，1，2中选择一个合适的数作为a的值代入求值．【答案】解：(1−1a)÷a2−1a2+2a+1=a−1a×(a+1)2(a+1)(a−1)=a+1a根据题意得：a 不能取0，1，-1，当a=2 时，原式=2+12=32 ．【解析】【分析】先化简原式，再根据题意得：a 不能取0，1，-1，即可得出答案。24．先化简，再求值：b2a2−ab÷(a2−b2a2−2ab+b2+ab−a)，其中a=(2022−π)0，b=13.【答案】解：b2a2−ab÷(a2−b2a2−2ab+b2+ab−a)=b2a(a−b)÷[(a−b)(a+b)(a−b)2−a(a−b)(a−b)2]=b2a(a−b)÷(a−b)(a+b−a)(a−b)2=b2a(a−b)×(a−b)b=ba∵a=(2022−π)0=1，b=13，∴ba=131=13.【解析】【分析】先将括号里的分式通分计算，再将分式的除法转化为乘法运算，约分化简，然后将a，b的值代入化简后的代数式进行计算，可求出结果.25．先化简分式(1−1x−2)÷x2−6x+92x−4，再从2≤x≤4中选一个合适的整数代入求值．【答案】解：原式=(x−2x−2−1x−2)÷(x−3)22(x−2)=x−3x−2×2(x−2)(x−3)2=2x−3，∵2≤x≤4，又∵x≠2且x≠3，∴x=4，∴原式=24−3=2．【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。26．先化简(1−1x−1)÷x2−4x+4x2−1，再从0，－2，－1，1中选择一个合适的数代入并求值．【答案】解：原式=x−2x−1⋅(x+1)(x−1)(x−2)2=x+1x−2．取x=0，原式=0+10−2=−12 ．【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，最后从0，－2，－1，1中选择一个使分式有意义的值代入计算即可.27．先化简(1−3a+2)÷a2−2a+1a2−4，再从－2，2，－1，1中选取一个恰当的数作为a的值代入求值.【答案】解：(1−3a+2)÷a2−2a+1a2−4=（a+2a+2−3a+2）×a2−4a2−2a+1=a−1a+2×(a+2)(a−2)(a−1)2 ==a−2a−1当a=-1时，原式＝32.【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。28．先化简，再求值：x2−2x+1x2−1÷(1−3x+1)，其中x与2，3构成等腰三角形．【答案】解：原式=(x−1)2(x+1)(x−1)÷x−2x+1=x−1x+1•x+1x−2=x−1x−2∵x与2，3构成等腰三角形，∴x=2或3，∵x=2时，x-2=0，不符合题意，∴x=3，∴原式=3−13−2=2.【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再求出x的值，最后将x的值代入计算即可。29．先化简，再求值： aa+1 ÷（a﹣1﹣ 2a−1a+1 ），并从﹣1，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值 【答案】解：原式= aa+1÷(a2−1a+1−2a−1a+1) ， = aa+1÷a2−2aa+1= aa+1·a+1a(a−2)= 1a−2 ，∵a≠﹣1且a≠0且a≠2，∴a=1，则原式= 11−2 =﹣1．【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。30．先化简，再求值： (a+2a2−2a−a−1a2−4a+4)÷a−4a ，其中a满足 a2−4a+1=0 ． 【答案】解： (a+2a2−2a−a−1a2−4a+4)÷a−4a=[a+2a(a−2)−a−1(a−2)2]⋅aa−4=(a+2)(a−2)−a(a−1)a(a−2)2⋅aa−4=a2−4−a2+a(a−2)2⋅1a−4=a−4(a−2)2⋅1a−4=1(a−2)2=1a2−4a+4 ，∵a2−4a+1=0 ，∴a2−4a=−1 ，当 a2−4a=−1 ，原式 =1−1+4=13 ．【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a2−4a+1=0整体代入计算即可。31．先化简，再求值：(1−2x−1)÷x2−5x+6x−1 ，其中x从0，1，2，3四个数中适当选取.【答案】解：原式= x−3x−1×x−1(x−2)(x−3) = 1x−2 ， ∵x﹣1≠0，x﹣2≠0，x﹣3≠0，∴x≠1，2，3，当x=0时，原式= 10−2 =﹣ 12 .【解析】【分析】首先对括号中的式子进行通分，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，并将除法化为乘法，进行约分可对原式进行化简，最后选取一个使分式有意义的x的值代入进行计算即可.32．先化简，再求值： (1−4a+2)÷a2−4a+42a−4 ，其中a＝ 2−1+(π−2022)0 . 【答案】解：∵(1−4a+2)÷a2−4a+42a−4= a+2−4a+2×2(a−2)(a−2)2= 2a+2 ；a＝ 2−1+(π−2022)0 = 32 ，∴原式= 232+2= 47 .【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，由0次幂以及负整数指数幂的运算性质求出a的值，接下来代入化简后的式子中进行计算即可.33．先化简，再求值 ： (1−1a+1)÷aa2−1 并在1，-1，2，0这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】解： 原式=(a+1a+1−1a+1)×a2−1a=aa+1×(a+1)(a−1)a=a−1∵a≠−1 ， 1 ， 0∴ 取 a=2∴ 原式 =2−1=1【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，最后根据分式有意义的条件从1，-1，2，0这四个数中选取一个代入计算即可.34．先化简，再求值： mm2−9÷[(m+3)0+3m−3] ，其中 m=−2 ． 【答案】解：原式＝ mm2−9÷(m−3m−3+3m−3)＝ mm2−9÷mm−3＝ m(m+3)(m−3)⋅m−3m＝ 1m+3 ， 当 m=−2 时，代入原式 =1−2+3=1【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将m的值代入计算即可。35．已知分式A=1−mm2−1÷(1+1m−1)．先化简A，再从−1、0、1、2中选一个合适的数作为m的值代入A中，求A的值．【答案】解：A=1−mm2−1÷m−1+1m−1=1−m(m+1)(m−1)⋅m−1m=1−1m+1=m+1−1m+1=mm+1∵当m=±1和0时，原分式无意义，∴当m=2时，A=mm+1=22+1=23【解析】【分析】先化简分式，再将m=2代入计算求解即可。36．先化简： x2−4x+42x−x2÷(2x−4+x2x) ，再从 −2 ，0，1，2中选取一个合适的 x 的值代入求值. 【答案】解： x2−4x+42x−x2÷(2x−4+x2x)=(x−2)2−x(x−2)÷(2x2x−4+x2x)=x−2−x÷x2−4x=x−2−x×x(x+2)(x−2)=−1x+2 ，∵x≠0 ，2， −2 ，∴ 当 x=1 时，原式 =−13 .【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，然后选取一个使分式有意义的x的值代入进行计算.37．先化简：x−3x2−1⋅x2+2x+1x−3−(1x−1+1)，其中0≤x≤3，且x为整数，请选择一个你喜欢的数x代入求值．【答案】解：x−3x2−1⋅x2+2x+1x−3−(1x−1+1)=x−3(x+1)(x−1)⋅(x+1)2x−3−(1x−1+x−1x−1)=x+1x−1−xx−1=1x−1∵x≠±1，x≠3，∴当0≤x≤3，且x为整数时，x=0或x=2（以下选一），当x=0时，原式=10−1=−1；当x=2时，原式=12−1=1．【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。38．先化简，再求值：(aa+2+9−4aa2−4)÷a−3a−2，其中a是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且a是整数．【答案】解：(aa+2+9−4aa2−4)÷a−3a−2=[a(a−2)(a+2)(a−2)+9−4a(a+2)(a−2)]⋅a−2a−3，=a2−2a+9−4a(a+2)(a−2)⋅a−2a−3，=(a−3)2(a+2)(a−2)⋅a−2a−3，=a−3a+2，∵a是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，∴3−2−3 ，∵x 为非正整数，且 x≠−2、0 ，∴x=−1 ，∴ 原式 =x−2x(x+2)=−1−2(−1)×(−1+2)=3 .【解析】【分析】对原式括号中通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果；求出不等式的解集，找出符合条件的整数解，代入计算即可求出值.48．先化简分式：（1﹣ xx−1 ）÷ x+1x2−x ，然后在﹣2，﹣1，0，1，2中选一个你认为合适的x的值，代入求值．【答案】解：原式＝ x−1−xx−1·x(x−1)x+1=−xx+1 ， 把x＝2代入得：原式＝－ 23 ．【解析】【分析】本题要先化简再求值，不能直接选一个x的值代入求值。化简时要先对括号中两项通分再利用同分母分式的减法法则计算，最后再用除法法则化简49．先化简，再求值： (xx2+x−1)÷x2−1x2+2x+1 ，其中x的值从不等式组 −x≤12x−1<4 的整数解中选取． 【答案】解： (xx2+x−1)÷x2−1x2+2x+1＝ [xx(x+1)−1]×(x+1)2(x−1)(x+1)＝ (1x+1−x+1x+1)×x+1x−1＝ −xx+1×x+1x−1＝﹣ xx−1 ，解不等式组 −x≤12x−1<4 得：﹣1≤x＜ 52 ，∴整数解有 −1,0,1,2 ，∵分式要有意义，∴当x＝2时，原式＝﹣ xx−1 ＝﹣2．【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再解出不等式组的解集，再找一个x的值代入计算即可。50．有这样一道题：先化简再求值，“x2−2x+1x2−1÷x−1x2+x−x+1，其中x=2021．”小华同学把条件“x=2021”错抄成“x=2012”，但他的计算结果也是正确的，请通过计算说明这是怎么回事．【答案】解：原式=(x−1)2(x−1)(x+1)⋅x(x+1)x−1−x+1=x−x+1=1．∵化简后结果不含字母x，∴小华同学虽然把条件“x=2021”错抄成“x=2012”，但他的计算结果也是正确的．【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简可得x2−2x+1x2−1÷x−1x2+x−x+1=x−x+1=1， 化简后结果不含字母x，因此原式的值与x的值取值无关。