2021-2022学年湖南省长沙市雨花区高一（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年湖南省长沙市雨花区高一（上）期末数学试卷

1. 下列对象不能组成集合的是

A. 不超过20的质数 B. 的近似值
C. 方程的实数根 D. 函数，的最小值

2. 函数的定义域为

A.  B.
C.  D.

3. 函数取得最小值时的自变量x等于

A.  B.  C. 1 D. 3

4. 已知函数若，则的取值集合是

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数的一部分图象如图所示，如图，，，则
   
    

A.  B.  C.  D.

6. 王昌龄是盛唐时期著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传颂至今：“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．”由此推断，最后一句“攻破楼兰”是“返还家乡”的

A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 若函数的图象在第一、三、四象限内，则

A.  B. ，且
C. ，且 D.

8. 已知，，函数，且对任意的实数x，不等式恒成立，则的值为

A.  B.  C.  D.

9. 下列计算成立的是

A.  B.
C.  D.

10. 对于实数a，b，c，下列说法正确的是

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

11. 定义在 R上的函数满足：x为整数时，；x不为整数时，，则

A. 是奇函数 B. 是偶函数
C. ， D. 的最小正周期为1

12. 已知函数，则

A. 函数的最小正周期为
B. 若函数的最大值为6，则
C. 直线是函数的图象的一条对称轴
D. 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到

13. 已知集合，若，则实数a的值是______.
14. 函数且的图象恒过定点______.
15. 若，，且，均为锐角，则______.
16. 已知，，且，则的最小值为______.
17. 设全集，集合，
    求及；
    求
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知函数且的图象过点
    求a的值；
    若，求的定义域并判断其奇偶性．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知函数满足，且
    求a的值和函数的解析式；
    判断在其定义域的单调性并加以证明．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知函数
    求函数的最小正周期；
    设函数，求在区间上的值域．
    
    
    
    
    
    
     
21. 为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议．某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产．为此，该地政府决定为当地某A企业春节期间加班追产提供x万元的专项补贴．A企业在收到政府x万元补贴后，产量将增加到万件．同时A企业生产t万件产品需要投入成本为万元，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本
    求A企业春节期间加班追产所获收益万元关于政府补贴万元的函数关系式；
    当政府的专项补贴为多少万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大？
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知函数
    若对任意的，不等式恒成立，求m的取值范围；
    试讨论函数零点的个数．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：A、一不超过20的质数，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合；
B、的近似值，无法确定元素，不满足集合元素的确定性和互异性，故不可以构造集合；
C、方程的实数根为，1，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合；
D、函数，的最小值为0，满足集合元素的确定性和互异性，故可以构造集合；
故选：
分析四个答案中所列的对象是否满足集合元素的确定性和互异性，即可得到答案．
本题以判断对象能否构成集合为载体考查了集合元素的性质，熟练掌握集合元素的确定性和互异性，是解答的关键．
 

2.【答案】D
 

【解析】解：要使原函数有意义，则，解得或
函数的定义域为
故选：
由对数函数的真数大于0，求解一元二次不等式得答案．
本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．
 

3.【答案】A
 

【解析】解：函数，且，
可得，
当且仅当，即时，取得最小值
故选：
函数，且，运用基本不等式可得的最小值，由等号成立的条件，可得
本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题．
 

4.【答案】A
 

【解析】解：根据题意，函数若，
当时，则，解可得，
又由，则，
当时，则，解可得，
综合可得：，则的取值集合是；
故选：
根据题意，由函数的解析式分2种情况讨论，求出的值，综合即可得答案．
本题考查分段函数的应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
 

5.【答案】D
 

【解析】解：由图象可知，，，，所以，，因为函数图象过，所以，且，所以
故选D
通过函数的图象，求出函数的周期，求出，求出A，b，利用图象过，求出即可．
本题是基础题，考查三角函数的图象确定函数的解析式，考查视图能力，计算能力，常考题型．
 

6.【答案】B
 

【解析】解：因为不破楼兰终不还的逆否命题为：返还家乡，则攻破楼兰，
所以“返还家乡”是“攻破楼兰”的充分不必要条件，
故“攻破楼兰”是“返还家乡”的必要不充分条件，
故选：
因为不破楼兰终不还的逆否命题为：返还家乡，则攻破楼兰，由此即可判断求解．
本题考查了四个条件的应用，涉及到实际问题转化为数学问题，属于基础题．
 

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查指数函数的图象变换，考查指数函数的性质，是基础题．
由指数函数的性质结合已知可得且，进一步得且
【解答】
解：函数的图象是把函数的图象向上平移个单位得到的．
函数的图象在第一、三、四象限内，
且，
得且
故选：  

8.【答案】A
 

【解析】解：，
，
或；①
又，

恒成立，而，
，由①可得，又，
，
，，
，
故选：
，恒成立，再结合，，可求得，进一步可求得与的值，于是可求得的值．
本题考查了两角和与差的正弦与二倍角的正切在三角函数求值中的应用，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．
 

9.【答案】CD
 

【解析】解：，
故选项A错误；
，
故选项B错误；
，
故选项C正确；
，
故选项D正确；
故选：
由对数运算性质依次化简四个选项即可．
本题考查了对数运算性质应用，属于基础题．
 

10.【答案】ABC
 

【解析】解：，，，正确．
B.，，则，正确．
C.，则，正确．
D.，则，，但是a，b与0的关系不确定，虽然，无法判断的正误．
综上可得：ABC正确．
故选：
利用不等式的基本性质即可判断出正误．
本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

11.【答案】BCD
 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，对于，有，，
不恒成立，则不是奇函数，A错误，
对于B，对于，若x为整数，则也是整数，则有，
若x不为整数，则也不为整数，则有，
综合可得，是偶函数，B正确，
对于C，若x为整数，，x不为整数时，，
总之是整数，则，C正确，
对于D，若x为整数，则也是整数，
若x不为整数，则也不为整数，总之有，的周期为1，
若也是的周期，
而x和可能一个为整数，另一个不是整数，则有，
故的最小正周期为1，D正确，
故选：
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性、周期性的分析，涉及分段函数的性质以及应用，属于中档题．
 

12.【答案】BC
 

【解析】解：对于函数，
它的最小正周期为，故A错误；
它的最大值为，，故B正确；
令，求得，故取得最值，故直线是函数的图象的一条对称，
故C正确；
把函数的图象向右平移个单位，可得的图象，故D错误，
故选：
由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 

13.【答案】
 

【解析】解：集合，，
或，
解得，或，
时，，不成立，
时，，成立，
的值为
故答案为：
推导出或，由此能求出a的值．
本题考查集合的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，属于基础题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：令可得，，此时，
所以的图象恒过定点
故答案为：
结合指数函数恒过定点可令，即可求解．
本题主要考查了指数函数的性质，属于基础题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，，且，均为锐角，
，，
，
故答案为：
利用同角三角函数间的关系式及两角和与差的三角函数可求得答案．
本题考查同角三角函数间的关系式及两角和与差的三角函数的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：因为，，且，
则，当且仅当且，即，时取等号，
此时取得最小值
故答案为：
，然后利用基本不等式即可求解．
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是利用乘1法配凑基本不等式的应用条件．
 

17.【答案】解：因为
所以，

因为，
所以，
所以
 

【解析】利用交集定义和并集定义直接求解．
先求出，由此能求出
本题考查交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：函数且的图象过点
可得，
解得
，
定义域满足，解得；
定义域为；
由
是偶函数．
 

【解析】将点代入即可求解a的值．
根据，由真数，可得定义域，利用定义判断其奇偶性．
本题考查对数函数的图像及性质的综合应用和计算能力，复合函数的单调性，属于基础题．
 

19.【答案】解：根据题意，函数满足，
则有，
又由，则有，解可得，
则，
根据题意，由的结论，在其定义域上为增函数，
设，则，
又由，则，则有，
即函数在其定义域上为增函数．
 

【解析】根据题意，分析有，变形可得，结合求出a的值，即可得答案；
根据题意，利用作差法分析可得答案．
本题考查函数单调性的判断和证明，涉及函数解析式的计算，属于基础题．
 

20.【答案】解：


分
所以函数的最小正周期为分
由已知得，
当时，，
所以，分
所以，
即在区间上的值域为分
 

【解析】利用二倍角公式及辅助角公式化简得，可求得函数的最小正周期；
当时，，于是可求得在区间上的值域为
本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的周期性及单调性与值域的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题意可得，销售金额为，政府补贴x万元，
成本为，
所以收益为，
由可知，，，
，当且仅当，即时，等号成立，
，
故当时，取得最大值为18，
故当政府的专项补贴为4万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为18万元．
 

【解析】根据已知条件，结合收益=销售金额+补贴-成本公式，即可求解．
根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式是解本题的关键，属于中档题．
 

22.【答案】解：当时，恒成立，
则有对恒成立，
而，
故；
令得，
，
函数的零点个数，
即和的交点个数，
在同一坐标系中作出函数的图象如下，

结合图象可知，
①或时，有一个零点；
②或时，有两个零点；
③且时，有三个零点．
 

【解析】化简可得对恒成立，从而利用配方法化为最值问题即可；
令化简可得，从而转化为和的图象的交点个数，从而利用数形结合求解即可．
本题考查了函数的零点与函数的图象的交点的关系应用，同时考查了数形结合与分类讨论的思想应用．