2023-2024学年吉林省延边州高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年吉林省延边州高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2−1=0}，下列式子错误的是( )
A. 1∈AB. ⌀⊆AC. {−1}∈AD. A={−1,1}
2.已知命题p：∀x∈R，x2>0，则( )
A. ¬p：∃x∈R，x2≤0，且¬p是真命题
B. ¬p：∃x∈R，x2<0，且¬p是真命题
C. ¬p：∃x∈R，x2≤0，且¬p是假命题
D. ¬p：∃x∈R，x2<0，且¬p是假命题
3.定义运算a⊙b=a(a≤b)b(a>b)，则函数f(x)=1⊙(12)x的图象是( )
A. B. C. D.
4.当x>1时不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,3]B. [3,+∞)C. (−∞,2]D. [2,+∞)
5.已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当大轮转动一周时小轮转动角度是( )
A. 4π5B. 5π4C. π5D. 5π
6.下列函数中，不能用二分法求零点的是( )
A. f(x)=2xB. f(x)=x2+2 2x+2
C. f(x)=x+1x−3D. f(x)=lnx+3
7.已知幂函数f(x)=(m2−5m+5)xm−2是R上的偶函数，且函数g(x)=f(x)−(2a−6)x在区间[1,3]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,4)B. (−∞,4]
C. [6,+∞)D. (−∞,4]∪[6,+∞)
8.已知函数f(x)=|x+1|,x≤0|lg4x|,x>0，若方程f(x)=k有4个不同的根x1，x2，x3，x4，且x1A. [4 2,6)B. [2,4 2)C. (2,4 2]D. [4 2,9]
二、多选题：本题共4小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若sinθtanθ<0，则角θ的终边位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
10.已知函数f(x)=lga|x−2|+2(a>0且a≠1)的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则sinθ的值可能是( )
A. 2 1313B. 3 1313C. 55D. 2 55
11.已知实数a，b，c，则下列命题中错误的是( )
A. 若a>b，则ac>bcB. 若ac2>bc2，则a>b
C. 若ab2>abD. 若a>b>c>0，则ab12.若实数x，y满足2x+2y+1=1，则下列选项正确的是( )
A. x<0且y<−1B. (12)x+(12)y−1的最小值为9
C. x+y的最小值为−3D. [(12)x+(12)y−1]⋅2x+y<2
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.函数f(x)= 1−xlgx的定义域为______.
14.设α为锐角，若cs(α+π6)=45，则sin(π3−α)=______.
15.若命题“∀x∈R，ax2−2ax+12>0”是真命题，则a的取值范围为______.
16.已知函数f(x)=2ax−1，g(x)=−x2+2x+1，若对任意的x1∈[−1,1]，总存在x2∈[0,2]使得f(x1)四、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知全集U=R，集合A={x|−x2+4x−3≥0}，B={x|2(1)求图中阴影部分表示的集合C；
(2)若非空集合D={x|4−a18.(本小题8分)
已知sinα=−35，α∈(π,3π2).
求：(1)sin(π+α)+2sin(3π2+α)cs(3π−α)+1；
(2)cs(α+5π6).
19.(本小题8分)
设函数f(x)=lga(2+x)+lga(2−x)(a>0,a≠1)，且f(0)=2.
(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域；
(2)求函数f(x)在区间[0, 3]上的最小值.
20.(本小题10分)
已知函数f(x)=sin2x+cs(2x+π6).
(1)求函数f(x)单调递减区间；
(2)将函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度后得到函数g(x)的图象，求g(x)在[0,π2]的值域.
21.(本小题10分)
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色(如图1)某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱(如图2)，开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，己知H关于t的函数关系式满足H(t)=Asin(ωt+φ)+B(其中A>0，ω>0，|φ|≤π)，求摩天轮转动一周的解析式H(t)；
(2)问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？
22.(本小题12分)
设函数f(x)=ax+k⋅a−x(a>0,a≠1)是定义域为R的奇函数.
(1)求实数k值；
(2)若f(1)<0，试判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)在(2)的条件下，不等式f(t⋅9−|x+1|+2)+f(4⋅3−|x+1|)<0对任意实数x均成立，求实数t的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵A={x|x2−1=0}={1,−1}，
∴1∈A，{−1}⊆A，⌀⊆A，故ABD正确；
而{−1}与A是两个集合，不能用“∈”表示它们之间的关系，故C错误．
故选：C.
先求出集合A，再利用元素与集合之间的关系依次判断各选项即可得解．
本题考查元素与集合的关系，集合与集合的关系，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：根据含有一个量词的否定，p：∀x∈R，x2>0，
则¬p：∃x∈R，x2≤0，因为当x=0时，x2=0，所以¬p是真命题．
故选：A.
根据含有一个量词的否定，求出¬p，然后判断命题的真假即可．
本题主要考查了含有量词的命题的否定及命题真假判断，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：当x≥0时，(12)x≤1，当x<0时，(12)x>1，
∴f(x)=1,x≤0(12)x,x>0，
故选：D.
得出f(x)的函数解析式，从而得出f(x)的图象．
本题考查了分段函数的图象，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：当x>1时，表达式x2−x+1x−1=(x−1)+1x−1+1≥2 (x−1)(1x−1)+1=3，当且仅当x=2时取等号．
当x>1时，不等式x2−x+1x−1≥a恒成立，则实数a的取值范围是a≤3.
故选：A.
化简不等式的左侧，利用基本不等式求出表达式的最小值，然后求出a的范围．
本题考查函数恒成立，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．
5.【答案】D
【解析】解：因为相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，
所以当大轮转动一周时时，大轮转动了50个齿，
所以小轮此时转动5020=52周，
即小轮转动的角度为52×2π=5π.
故选：D.
通过相互啮合的两个齿轮转动的齿数相同，得到大轮转动一周时，小轮转动的周数，即可求小轮转动的角度．
本题主要考查弧度制，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号；
对于A，f(x)=2x有唯一零点x=0，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于B，f(x)=x2+2 2x+2=(x+ 2)2有唯一零点x=− 2，
但y=(x+ 2)2≥0恒成立，故不可用二分法求零点；
对于C，f(x)=x+1x−3有两个不同零点x=3± 52，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点；
对于D，f(x)=lnx+3有唯一零点x=e−3，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点．
故选：B.
利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解．
本题主要考查二分法的应用，考查计算能力，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：因为幂函数f(x)=(m2−5m+5)xm−2是R上的偶函数，
则m2−5m+5=1，解得m=1或m=4，
当m=1时，f(x)=x−1，该函数是定义域为{x|x≠0}的奇函数，不符合题意；
当m=4时，f(x)=x2，该函数是定义域为R的偶函数，符合题意．
所以f(x)=x2，则g(x)=x2−(2a−6)x，其对称轴方程为x=a−3，
因为g(x)在区间[1,3]上单调递减，则a−3≥3，解得a≥6.
故选：C.
根据幂函数的定义与奇偶性求出m的值，可得出函数f(x)的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数a的不等式，从而得解．
本题考查幂函数的性质，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：作函数y=f(x)与y=k的图像如下：
因为方程f(x)=k有4个不同的根x1，x2，x3，x4，且x1可知x1，x2关于x=−1对称，即x1+x2=−2，且0则|lg4x3|=|lg4x4|，即lg4x3=−lg4x4，则lg4x3+lg4x4=0，即lgx3x4=0，则x3x4=1，
当|lg4x|=1，得x=4或x=14，则1故4x3x42−x4(x1+x2)=2x4+4x4，1则函数y=2x4+4x4，在1所以x4= 2时，函数取得最小值为4 2，而当x4=4时，函数取最大值为9，
即函数y=2x4+4x4的值域为[4 2,9]，
即4x3x42−x4(x1+x2)的取值范围是[4 2,9]，
故选：D.
作出函数y=f(x)与y=k的图像，得到x1，x2关于x=−1对称，x3x4=l，化简条件，利用对勾函数的性质可求解．
本题主要考查分段函数的应用，考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：因为sinθtanθ<0，
所以sinθ<0，tanθ>0，此时θ的终边位于第三象限；
或sinθ>0，tanθ<0，此时θ的终边位于第二象限，
故选：BC.
利用三角函数的定义即可解答．
本题考查任意角的三角函数，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：因为函数f(x)=lga|x−2|+2的图象经过定点A，
令|x−2|=1，得x=3或x=1，此时y=2，则A(3,2)或A(1,2)，
当点A(3,2)在角θ的终边上，则sinθ=2 32+22=2 1313；
当点A(1,2)在角θ的终边上，则sinθ=2 12+22=2 55；
综上：sinθ=2 1313或sinθ=2 55，故AD正确，BC错误．
故选：AD.
根据函数解析式求出函数过的定点，再利用三角函数的定义求出sinθ和tanθ即可．
本题主要考查对数函数的图象与性质，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，当c=0时，ac=bc，故A不正确；
对于B，若ac2>bc2，可知c2>0，则a>b成立，故B正确；
对于C，若a0，ab−b2=b(a−b)>0，
所以a2>ab>b2，故C不正确；
对于D，因为a>b>c>0，取a=3，b=2，c=1，
可得ab=32，a+cb+c=3+12+1=43，此时ab>a+cb+c，故D不正确．
故选：ACD.
根据不等式的基本性质，结合反例逐一判断各选项，即可得到本题的答案．
本题主要考查利用不等式的基本性质判断不等式是否成立的知识，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由2x+2y+1=1，可得2y+1=1−2x>0，2x=1−2y+1>0，
所以x<0且y+1<0，即y<−1，故A正确；
对于B，(12)x+(12)y−1=[(12)x+(12)y−1](2x+2y+1)=5+2⋅2y2x+2⋅2x2y≥5+2 2⋅2y2x⋅2⋅2x2y=9，
当且仅当2⋅2y2x=2⋅2x2y，即x=y=−lg23时，等号成立，
所以(12)x+(12)y−1的最小值为9，故B正确；
对于C，因为2x+2y+1=1≥2 2x⋅2y+1=2 2x+y+1，
可得 2x+y+1≤12，即2x+y+1≤14=2−2，所以x+y≤−3，
当且仅当2x=2y+1，即x=y+1=−1，即x=−1，y=−2时，等号成立，
所以x+y的最大值为−3，故C错误；
对于D，因为2x=1−2y+1，则2x+1=2(1−2y+1)=2−4⋅2y，
所以[(12)x+(12)y−1]⋅2x+y=2y+2x+1=2y+2(1−2y+1)=2−3⋅2y<2，故D正确．
故选：ABD.
对于AD，利用指数函数的性质即可判断；对于BC，利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可判断．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
13.【答案】(0,1)
【解析】解：由题意可得，1−x≥0x>0x≠1，解得0即函数的定义域为(0,1).
故答案为：(0,1).
根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
14.【答案】45
【解析】解：∵cs(α+π6)=45，
∴sin(π3−α)=sin[π2−(α+π6)]=cs(α+π6)=45，
故答案为：45.
由已知直接利用诱导公式化简求值．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．
15.【答案】[0,12)
【解析】解：∀x∈R，ax2−2ax+12>0，
当a=0时，12>0恒成立，
当a≠0时，a>0Δ=4a2−48a<0，解得0综上，a的取值范围是[0,12).
故答案为：[0,12)
考虑a=0与a≠0两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案．
本题主要考查全称量词和全称命题，属于基础题．
16.【答案】(−32,32)
【解析】解：因为对任意的x1∈[−1,1]，总存在与x2∈[0,2]使得f(x1)所以f(x)maxg(x)=−x2+2x+1=−(x−1)2+2，对称轴为x=1，
因为x∈[0,2]，
所以当x=1时，g(x)max=g(1)=2，
当a>0时，函数f(x)=2ax−1在[−1,1]上单调递增，
所以f(x)max=f(1)=2a−1，
所以2a−1<2，解得0当a=0时，函数f(x)=−1在[−1,1]上为常数函数，满足f(x)max=−1<2；
当a<0时，函数f(x)=2ax−1在[−1,1]上单调递减，
所以f(x)max=f(−1)=−2a−1，
所以−2a−1<2，解得−32综上，−32故答案为：(−32,32).
根据双变量不等式转化为函数最值问题，即f(x)max本题考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想和运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)根据题意，得C=A∩(∁UB)，
而A={x|−x2+4x−3≥0}={x|1≤x≤3}，B={x|2则∁UB={x|x≤2或x≥4}，
所以C=A∩(∁UB)={x|1≤x≤2}；
(2)因为A={x|1≤x≤3}，B={x|2若非空集合D={x|4−a则有4−a所以实数a的取值范围是{a|2【解析】(1)由韦恩图分析得C=A∩(∁UB)，再化简集合A，从而利用集合的交并补运算即可得解；
(2)先求得A∪B，利用集合的包含关系得到关于a的不等式组，解之即可得解．
本题主要考查了集合的基本运算，还考查了集合包含关系的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为sinα=−35，α∈(π,3π2)，
所以csα=− 1−sin2α=−45，
所以sin(π+α)+2sin(3π2+α)cs(3π−α)+1=−sinα−2csα−csα+1=−(−35)−2×(−45)−(−45)+1=119；
(2)cs(α+5π6)=csαcs5π6−sinαsin5π6=(−45)×(− 32)−(−35)×12=4 3+310.
【解析】(1)由题意利用同角三角函数基本关系式可求csα的值，利用诱导公式化简所求即可求解；
(2)由(1)以及两角和的余弦公式即可求解．
本题考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，两角和的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为f(x)=lga(2+x)+lga(2−x)(a>0,a≠1)，
由f(0)=2，得2lga2=2，
则lga2=1，解得a=2，
又2+x>02−x>0，解得−2所以f(x)的定义域为(−2,2)；
(2)由(1)得f(x)=lg2(2+x)+lg2(2−x)=lg2(2+x)(2−x)=lg2(4−x2)，
因为x∈[0, 3]，令t=4−x2，t∈[1,4]，
令g(t)=lg2t，则函数g(t)在[1,4]单调递增，
故g(t)min=g(1)=0，即t=1,x= 3时，f(x)取最小值，
故f(x)的最小值为0.
【解析】本题主要考查了对数的运算性质，考查了对数函数的性质，属于中档题．
(1)根据题意直接代入可求得a，再利用对数函数的真数大于零，求得f(x)的定义域；
(2)先化简函数f(x)的解析式，再根据二次函数与对数函数的性质即可得解．
20.【答案】解：(1)f(x)=sin2x+cs(2x+π6)
=sin2x+ 32cs2x−12sin2x
=12sin2x+ 32cs2x
=sin(2x+π3)，
所以由2kπ+π2≤2x+π3≤3π2+2kπ,k∈Z，解得kπ+π12≤x≤7π12+kπ,k∈Z，
所以函数f(x)单调递减区间为[kπ+π12,7π12+kπ],k∈Z；
(2)因为函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度后得到函数g(x)的图象，
所以g(x)=sin[2(x−π3)+π3]=sin(2x−π3)，
因为x∈[0,π2]，
所以2x−π3∈[−π3,2π3]，
所以由正弦函数性质可知g(x)=sin(2x−π3)∈[− 32,1]，
所以g(x)在[0,π2]的值域为[− 32,1].
【解析】(1)先结合三角恒等变换得f(x)=sin(2x+π6)，再求函数单调递递减区间即可；
(2)根据图象平移写出g(x)的解析式，结合正弦型函数性质求值域即可．
本题主要考查了三角函数恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换以及正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
21.【答案】解：(1)H(t)=Asin(ωt+φ)+B(其中A>0，ω>0，|φ|≤π)，
由题意知：A+B=90−A+B=10⇒A=40B=50，
T=2πω=30⇒ω=π15，
故H(t)=40sin(π15t+φ)+50，
∵H(0)=10，
∴sinφ=−1，
又∵|φ|≤π，
∴φ=−π2，
∴H(t)=40sin(π15t−π2)+50=−40csπ15t+50，
故解析式为：H(t)=−40csπ15t+50，t∈[0,30]；
(2)令H(t)=30，则−csπ15t=−12，即csπ15t=12，
因为t∈[0,30]，则π15t∈[0,2π]，
所以π15t=π3或5π3，
解得t=5或t=25，
故游客甲坐上摩天轮5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为30米．
【解析】(1)利用正弦型函数的一般式y=Asin(ωt+φ)+B结合题意，求出A，ω，φ，B；
(2)根据(1)求出的表达式，将H(t)=30化简求得t.
本题主要考查了三角函数的实际应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)已知f(x)=ax+k⋅a−x(a>0,a≠1)，
因为f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(0)=1+k=0，
解得k=−1，
此时f(x)=ax−a−x，
又f(−x)=a−x−ax=−f(x)，
满足函数f(x)为奇函数，
所以k=−1；
(2)证明：由(1)知f(x)=ax−a−x(a>0,a≠1)，
若f(1)=a−1a=a2−1a=(a+1)(a−1)a<0，
可得0则函数f(x)为减函数，
任取x1此时f(x1)−f(x2)=ax1−a−x1−(ax2−a−x2)
=ax1−ax2+a−x2−a−x1=ax1−ax2+1ax2−1ax1
=ax1−ax2+ax1−ax2ax1ax2=(ax1−ax2)(1+1ax1ax2)，
因为x1所以ax1>ax2，
此时ax1−ax2>0，
可得f(x1)−f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在R上单调递减；
(3)由(1)知f(x)=ax−a−x(a>0,a≠1)，
因为f(x)是定义在R上的奇函数，
若不等式f(t⋅9−|x+1|+2)+f(4⋅3−|x+1|)<0对任意实数x均成立，
此时f(t⋅9−|x+1|+2)由(2)知函数f(x)在R上单调递减，
所以t⋅9−|x+1|+2>−4⋅3−|x+1|，
则t>−4⋅3−|x+1|−29−|x+1|=−4⋅3−|x+1|+23−2|x+1|
=−2(13−2|x+1|+23−|x+1|)=−2(32|x+1|+2⋅3|x+1|)恒成立，
不妨令t=3|x+1|，
因为|x+1|≥0，
所以t≥1，
易知函数y=t2+2t(t≥1)是开口向上的二次函数，
且函数在[1,+∞)上单调递增，
所以当t=1时，该函数取得最小值，最小值为3，
则−2(32|x+1|+2⋅3|x+1|)的最大值为−2×3=−6，
故实数t的取值范围为(−6,+∞).
【解析】(1)由题意，结合函数的奇偶性再进行求解即可；
(2)结合(1)中所得函数的解析式，利用f(1)<0求得a的取值范围，根据函数单调性的定义即可得证f(x)在R上单调递减；
(3)根据函数的单调性、奇偶性将不等式进行整理，利用分离常数法、换元法以及二次函数的性质求得t的取值范围．
本题考查函数的单调性、奇偶性以及函数恒成立问题，考查了逻辑推理和运算能力．