2023-2024学年山西省大同市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年山西省大同市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.sin1920∘的值是( )
A. −12B. 12C. − 32D. 32
2.已知a，b，c，d为实数，且c>d.则“a>b”是“a−c>b−d”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数y=f(x)的定义域[−8,1]，则函数g(x)= f(2x+1)x+2的定义域是( )
A. (−∞,−2)∪(−2,3]B. [−8,−2)∪(−2,1]
C. [-92,-2)∪(-2,0]D. [-92,-2]
4.函数y=lg0.3(−x2+6x+55)的单调递减区间是( )
A. (−5,3]B. [3,11)C. (−∞,3]D. (11,+∞)
5.已知函数f(x)=|2x−1|,x≤1|lg3(x−1)|,x>1，若函数y=f(x)−a(a∈R)有四个不同的零点x1，x2，x3，x4且x1A. (0,3)B. [2 2,3)C. [2 2,+∞)D. (3,+∞)
6.已知csαsinα−1= 2，则1+sinαcsα的值是( )
A. 22B. − 22C. 2D. − 2
7.已知函数f(x)=sin2ωx2+12sinωx+12(ω∈R),x∈R.若f(x)在区间(0,π)内没有零点，则ω的取值范围是( )
A. (0,14]B. [0,14]C. [−14,14]D. [−34,14]
8.不等式x2+2axy+4y2≥0对于∀x∈[2,3]，∀y∈[2,9]恒成立，则a的取值范围是( )
A. [−2512,+∞)B. [−5,+∞)C. [−133,+∞)D. [−1,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知θ∈(0,π)，sinθ+csθ=−15，则下列结论正确的是( )
A. θ为第二象限角B. csθ=−45
C. tanθ=−43D. 4sinθcsθ−2cs2θ=−165
10.下列表达式正确的是( )
A. 若θ∈(π2,π)，则 1−2sin(π+θ)sin(3π2−θ)=sinθ+csθ
B. 在锐角△ABC中，sinA>csB恒成立
C. sin(π−α)cs(π+α)=−tanα
D. ∀α，β∈(0,π2)，sin2α+cs2β11.已知函数f(x)=sin(3x−φ)(−π2<φ<π2)的图象关于直线x=π4对称，则( )
A. 函数f(x)的图象向右平移π4个单位长度得到函数y=−cs3x的图象
B. 函数f(x−π12)为偶函数
C. 函数f(x)在[π12,π4]上单调递增
D. 若|f(x1)−f(x2)|=2，则|x1−x2|的最小值为π3
12.已知a>0，b>0，a+2b=1，则( )
A. 2a+1b的最小值为4B. ab的最大值为18
C. a2+b2的最小值为15D. 2a+4b的最小值为2 2
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.若f(x)=xln2x−32x+b为偶函数，则实数b=______.
14.如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每4分钟转1圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数)，若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，且d与时间t(单位：分钟)之间的关系式为：d=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,−π2<φ<π2)，则d与时间t之间的关系是______.
15.已知函数f(x)=2sin(2x+π3)，将函数f(x)的图象向右平移5π12个单位后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间[π6,θ]上的值域为[−1,2]，则θ的取值范围是______.
16.关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述结论：
①f(x)是偶函数；
②函数f(x)是周期函数，且最小正周期为2π；
③函数f(x)在区间[π2,π]上单调递减；
④函数f(x)在[−π,π]有3个零点；
⑤函数f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是______.
四、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算下列各式的值：
(1)tan20∘+tan40∘+tan120∘tan20∘tan40∘；
(2)sin40∘(tan10∘−tan60∘).
18.(本小题10分)
设函数f(x)=2 3sin(π2+x)csx+(sinx−csx)2−1.
(1)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心的坐标；
(2)求f(x)在[π12,5π6]上的最值.
19.(本小题10分)
定义域为R的函数f(x)=−2x+a2x+1+2是奇函数.
(1)求实数a的值；
(2)若存在θ∈[−π4,0]，使得f( 3sinθcsθ)+f(k−cs2θ)>0成立，求实数k的取值范围.
20.(本小题10分)
如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边CD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=2，AD=1，现要将此木块锯出一个等腰三角形EFG，其底边EF⊥AB，点E在半圆上．
(1)设∠EOC=π6，求三角形木块EFG面积；
(2)设∠EOC=θ，试用θ表示三角形木块EFG的面积S，并求S的最大值．
21.(本小题10分)
函数f(x)=1−2a−2acsx−2sin2x.
(1)若a=1，求f(x)的值域；
(2)f(x)最小值为g(a)(a∈R)，若g(a)=12，求a及此时f(x)的最大值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意sin1920∘=sin(360∘×5+120∘)=sin120∘= 32.
故选：D.
直接由诱导公式以及特殊角的三角函数值计算即可．
本题主要考查了诱导公式以及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵a−c>b−d，c>d两个同向不等式相加得a>b
但c>d，a>b⇒a−c>b−d.
例如a=2，b=1，c=−1，d=−3时，a−c故选B.
由题意看命题“a>b”与命题“a−c>b−d”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．
此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
根据函数f(x)的定义域求出2x+1的范围，结合分母不为0求出函数g(x)的定义域即可．
本题考查了求抽象函数的定义域问题，是一道基础题．
【解答】
解：由题意得：
−8≤2x+1≤1，
解得：−92≤x≤0，
由x+2≠0，解得：x≠−2，
故函数的定义域是[−92,−2)∪(−2,0],
故选C.
4.【答案】A
【解析】解：根据题意，y=lg0.3(−x2+6x+55)，由−x2+6x+55>0，解得−5故函数y=lg0.3(−x2+6x+55)的定义域为(−5,11)，
令μ=−x2+6x+55，其在(−5,3]上单调递增，在[3,11)上单调递减，
又因为函数y=lg0.3μ为减函数，
所以函数y=lg0.3(−x2+6x+55)的单调递减区间为(−5,3].
故选：A.
根据题意，先求出函数的定义域，令μ=−x2+6x+55，再根据复合函数的单调性结合对数函数的单调性即可得解．
本题考查复合函数的单调性，涉及对数函数的性质，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：作出函数f(x)的大致图象，则0所以1−2x1=2x2−1，所以2x1+2x2=2，−lg3(x3−1)=lg3(x4−1)，
所以lg3(x3−1)+lg3(x4−1)=0，所以(x3−1)(x4−1)=1，
所以 (2x1+2x2)a+1(x3−1)(x4−1)a=2a+1a，
2a+1a≥2 2a⋅1a=2 2，当且仅当2a=1a，即a= 22时等号成立，
所以(2x1+2x2)a+1(x3−1)(x4−1)a的取值范围为[2 2,+∞).
故选：C.
作出函数f(x)的大致图象，确定四个零点所在区间，利用函数解析式代入所求算式化简，结合基本不等式求取值范围．
本题考查了函数的零点与方程根的关系，利用基本不等式求范围，考查了数形结合思想，属中档题．
6.【答案】D
【解析】解：∵csαsinα−1⋅csαsinα+1=cs2αsin2α−1=cs2α−cs2α=−1，且csαsinα−1= 2，
∴csαsinα+1=− 22，则1+sinαcsα=− 2.
故选：D.
由csαsinα−1⋅csαsinα+1=−1，即可求出答案．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：f(x)=sin2ωx2+12sinωx−12=12sinωx−12csωx= 22sin(ωx−π4)，
若ω≥0，∵x∈(0,π)，∴ωx−π4∈(−π4,ωπ−π4)，
∵f(x)在区间(0,π)内没有零点，
∴ωπ−π4≤0，解得0≤ω≤14；
若ω<0，∵x∈(0,π)，∴ωx−π4∈(ωπ−π4,−π4)，
∵f(x)在区间(0,π)内没有零点，
∴ωπ−π4≥−π，解得−34≤ω<0；
综上，ω∈[−34,14].
故选：D.
利用三角恒等变换公式以及正弦函数的图象性质求解．
本题考查正弦函数的图象性质，考查二倍角公式，辅助项公式，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：不等式x2+2axy+4y2≥0对于∀x∈[2,3]，∀y∈[2,9]恒成立，
即a≥−x2+4y22xy=−12(xy+4yx)对于∀x∈[2,3]，∀y∈[2,9]恒成立，
令t=xy，则t∈[29,32]，
则a≥−12(t+4t)对于∀t∈[29,32]恒成立，
由对勾函数的性质可知y=t+4t在[29,32]上单调递减，
所以当t=32时，y取最小值为256，所以−12(t+4t)的最大值为−2512，
所以a≥−2512，即a的取值范围是[−2512,+∞).
故选：A.
根据题意转化为a≥−12(xy+4yx)对于∀x∈[2,3]，∀y∈[2,9]恒成立，令t=xy，则t∈[29,32]，可得a≥−12(t+4t)对于∀t∈[29,32]恒成立，根据对勾函数的性质求解即可．
本题主要考查函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：由同角三角函数平分关系可得，
sinθ+csθ=−15sin2θ+cs2θ=1，因为θ∈(0,π)，所以sinθ>0，解得sinθ=35，csθ=−45，
因为csθ=−45<0，所以θ是第二象限角，故选项A，B正确，
有同角三角函数商数关系可得，tanθ=sinθcsθ=−34，故选项C错误，
因为4sinθcsθ−2cs2θ=4sinθcsθ−2cs2θsin2θ+cs2θ=4tanθ−2tan2θ+1=−165，故选项D正确．
故选：ABD.
利用同角三角函数的基本关系计算求解即可判断各选项．
本题考查的知识要点：同角三角函数的关系式的变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
10.【答案】BCD
【解析】解：A：由题设 1−2sin(π+θ)sin(3π2−θ)= 1−2sinθcsθ= sin2θ−2sinθcsθ+cs2θ=|sinθ−csθ|，
又θ∈(π2,π)，故 1−2sin(π+θ)sin(3π2−θ)=sinθ−csθ，错；
B：由题意π2sin(π2−B)=csB，对；
C：sin(π−α)cs(π+α)=sinα−csα=−tanα，对；
D：由sin2α+cs2β−(sinα+csβ)=sinα(sinα−1)+csβ(csβ−1)，
又α，β∈(0,π2)，故0所以sin2α+cs2β故选：BCD.
利用诱导公式及同角三角函数关系化简判断A、C；由π2本题考查了三角恒等变换，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：∵函数f(x)=sin(3x−φ)(−π2<φ<π2)的图象关于直线x=π4对称，
∴3×π4−φ=π2+kπ，k∈Z；
∵−π2<φ<π2，
∴φ=π4，
∴f(x)=sin(3x−π4)，
对于A，函数f(x)的图象向右平移π4个单位长度得到函数f(x−π4)=sin[3(x−π4)−π4]=−sin3x的图象，故错误；
对于B，函数f(x−π12)=sin[3(x−π12)−π4]=−cs3x，根据正弦函数的奇偶性，可得f(−x)=f(x)，可得函数f(x)是偶函数，故正确；
对于C，由于x∈[π12,π4]，3x−π4∈[0,π2]，函数f(x)=sin(3x−π4)在[π12,π4]上单调递增，故正确；
对于D，因为f(x)max=1，f(x)min=−1，
又因为|f(x1)−f(x2)|=2，f(x)=sin(3x−π4)的周期为T=2π3，
所以则|x1−x2|的最小值为π3，故正确．
故选：BCD.
使用代入法先求出φ的值，得函数解析式，再根据三角函数的性质逐一判断即可得解．
本题考查了三角函数的最小正周期、奇偶性、单调性、对称轴，考查了函数思想，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：对于A，a>0，b>0，2a+1b=(2a+1b)(a+2b)=4+4ba+ab≥4+2 4ba⋅ab=8，当且仅当4ba=ab，即a=12,b=14取等号，故A错误，
a+2b=1≥2 2ab⇒ab≤18，当且仅当a=2b，即a=12,b=14取等号，故B正确，
a2+b2=(1−2b)2+b2=5b2−4b+1=5(b−25)2+15，故当b=25时，取到最小值15，此时a=15，满足题意，故C正确，
2a+4b≥2 2a4b=2 2a+2b=2 2，当且仅当2a=4b，即a=12,b=14时等号成立，所以D正确．
故选：BCD.
根据基本不等式即可求解BD，由乘“1”法即可求解A，代换后利用二次函数的性质即可求解C.
本题主要考查了基本不等式及二次函数的性质在最值求解中的应用，属于中档题．
13.【答案】3
【解析】解：若f(x)是偶函数，则f(−x)=f(x)，
即−xln−2x−3−2x+b=xln2x−32x+b，所以xln2x−32x+b⋅−2x−3−2x+b=0，
所以2x−32x+b⋅−2x−3−2x+b=1，所以4x2−9=4x2−b2，所以b=±3，
当b=−3时，f(x)=xln2x−32x−3，定义域为(−∞,32)∪(32,+∞)，关于原点不对称，不符合，舍去，
当b=3时，f(x)=xln2x−32x+3，定义域为(−∞,−32)∪(32,+∞)，关于原点对称，符合题意．
综上所述，b=3.
故答案为：3.
由已知结合偶函数的定义，利用f(−x)=f(x)即可求解．
本题主要考查了偶函数定义的应用，属于基础题．
14.【答案】d=3sin(π2t−π6)+32，(t≥0)
【解析】解：根据筒车模型中各量的物理意义及题意可知，筒车按逆时针方向每4分钟转1圈，
所以筒车旋转的角速度ω=2π4=π2；
筒车的半径为3米，所以A=3；
筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米，所以B=1.5.
以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，此时φ=−π6，
所以筒车上的某个盛水筒W到水面的距离d(单位：米)(在水面下则d为负数)，
则d与时间t的关系为：d=3sin(π2t−π6)+32，(t≥0).
故答案为：d=3sin(π2t−π6)+32，(t≥0).
根据题意求出振幅、周期，利用正弦型三角函数的性质求解即可．
本题考查了三角函数的应用，即用三角函数解决一些简单实际问题，也考查了函数y=Asin(ωx+φ)+k的实际意义，是中档题．
15.【答案】[π2,5π6]
【解析】解：因为将函数f(x)=2sin(2x+π3)的图象向右平移5π12个单位后得到函数g(x)的图象，
所以g(x)=2sin[2(x−5π12)+π3]=−2cs2x，
若函数g(x)在区间|π6,θ]上的值域为[−1,2]，
因为g(π6)=g(5π6)=−1，g(π2)=2，
再由g(x)的单调性可知π2≤θ≤5π6.
故答案为：[π2,5π6].
由三角函数的图像变换得到g(x)解析式，由g(x)在区间[π6,θ]上的值域为[−1,2]，求解θ的取值范围即可．
本题考查的知识要点：三角函数的平移变换，正弦型函数的性质的应用，属于中档题．
16.【答案】①③④⑤
【解析】解：①函数的定义域为R，又f(−x)=sin|−x|+|sin(−x)|=sin|x|+|sinx|=f(x)，
∴函数f(x)是偶函数，故①正确；
②当x=−π2时，f(−π2)=2，x=3π2时，f(3π2)=sin3π2+|sin3π2|=0，故最小正周期不为2π，故②错误；
③当x∈[π2,π]时，f(x)=sinx+sinx=2sinx，在[π2,π]上单调递减，故③正确；
④∵函数f(x)是偶函数，∴只需要考虑[0,π]上的零点个数，
此时f(x)=sinx+sinx=2sinx，在[0,π]上有2个零点，为x=0，x=π，
∴f(x)在[−π,π]有3个零点，为x=0，x=π，x=−π，故④正确；
⑤当x=π2时，有f(x)=sin|π2|+|sinπ2|=1+1=2，
又由sin|π2|≤1，|sinπ2|≤1，则∀x∈R，有f(x)≤2，
故f(x)的最大值为2，故⑤正确．
故答案为：①③④⑤
根据题意，利用函数奇偶性的概念即可判断①；由f(−π2)≠f(3π2)判断②；由x∈[π2,π]，去掉绝对值，得f(x)=2sinx，再根据正弦函数的单调性可判断③；由函数f(x)是偶函数，则只需要考虑[0,π]上的零点个数，f(x)=2sinx，再根据正弦函数的零点即可判断④；由函数f(x)是偶函数，则考虑x≥0的情况即可，写出分段函数解析式即可判断⑤．综合可得答案．
本题考查分段函数的性质，涉及函数的奇偶性、周期性和零点个数的分析，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为tan60∘=tan(20∘+40∘)=tan20∘+tan40∘1−tan20∘tan40∘= 3，
所以tan20∘+tan40∘= 3− 3tan20∘tan40∘，
即tan20∘+tan40∘− 3=− 3tan20∘tan40∘，
所以tan20∘+tan40∘+tan120∘tan20∘tan40∘=tan20∘+tan40∘− 3tan20∘tan40∘=− 3tan20∘tan40∘tan20∘tan40∘=− 3.
(2)sin40∘(tan10∘−tan60∘)=sin40∘×(sin10∘cs10∘−sin60∘cs60∘)=−sin40∘cs40∘cs10∘cs60∘=−12sin80∘cs10∘cs60∘=−12cs10∘cs10∘cs60∘=−1.
【解析】(1)利用正切的两角和公式化简求值；
(2)利用正弦的两角差公式、二倍角公式，以及三角函数的诱导公式求解．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵f(x)=2 3cs2x−sin2x= 3(1+cs2x)−sin2x=2cs(2x+π6)+ 3，
令2x+π6=kπ，k∈Z，
则x=kπ2−π12，k∈Z，
∴f(x)的图象的对称轴方程为x=kπ2−π12，k∈Z；
令2x+π6=kπ+π2，k∈Z，
则x=kπ2+π6，k∈Z，
∴f(x)的图象的对称中心的坐标为(kπ2+π6, 3)，k∈Z；
(2))x∈[π12,5π6]⇒2x+π6∈[π3,11π6]，
∴cs(2x+π6)∈[−1, 32]，
∴f(x)∈[−2+ 3,2 3]，
∴f(x)的最大值为2 3，最小值为−2+ 3.
【解析】(1)利用三角恒等变换化简得f(x)=2cs(2x+π6)+ 3，利用余弦函数的性质可求得f(x)的图象的对称轴方程和对称中心的坐标；
(2)x∈[π12,5π6]⇒2x+π6∈[π3,11π6]，利用余弦函数的性质可求得f(x)的最值．
本题考查正弦函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为f(x)是奇函数，
所以f(x)+f(−x)=−2x+a2x+1+2+−2−x+a2−x+1+2=−2x+a2x+1+2+−1+a⋅2x2+2x+1=0，
即(a−1)(2x+1)=0对∀x∈R恒成立，
所以a=1.
(2)由(1)知f(x)=−2x+12x+1+2=−12+12x+1，则f(x)在R上为减函数，
又f(x)是奇函数，
由f( 3sinθcsθ)+f(k−cs2θ)>0得：f( 3sinθcsθ)>−f(k−cs2θ)=f(−k+cs2θ)，
所以 3sinθcsθ<−k+cs2θ，
即 3sinθcsθ−cs2θ<−k在θ∈[−π4,0]上有解，
记g(θ)= 3sinθcsθ−cs2θ，则g(θ)= 32sin2θ−1+cs2θ2=sin(2θ−π6)−12，
因为θ∈[−π4,0]，则2θ−π6∈[−2π3,−π6]，
所以sin(2θ−π6)∈[−1,−12]，所以g(θ)∈[−32,−1]，
所以−32<−k，即k<32，所以实数k的取值范围是(−∞,32).
【解析】(1)由函数奇偶性的性质即可求解a的值；
(2)判断函数的单调性，结合奇函数的性质将不等式进行转化，利用三角函数的性质求解即可．
本题主要考查函数恒成立问题，函数奇偶性的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)设EF交CD交于Q点，因为∠EOC=π6，
所以OE=1，EQ=12，OQ= 32，
S△EFG=12⋅EF⋅DQ=12×32×(1+ 32)=6+3 38；
(2)半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，则分析∠EOQ=θ，θ∈[0,π2]即可，
EQ=sinθ，OQ=csθ，
所以S△EFG=12×EF⋅DQ
=12(1+sinθ)(1+csθ)
=12(1+sinθcsθ+sinθ+csθ)
令sinθ+csθ=t，t∈[1, 2]，
所以S△EFG=12(t+1+t2−12)=(t+1)24，
所以θ=π4，当t= 2，
S△EFG的最大值为3+2 24.
【解析】本题主要考查了三角函数的定义的应用及利用三角函数求解函数的最值，换元法的应用是求解的关键，属于拔高题．
(1)根据题意，求得EQ和OQ，即可求得三角形木块EFG面积；
(2)根据(1)的思路，用θ表示出EQ和OQ，表示S，换元，根据二次函数的最值，求得S的最大值．
21.【答案】解：(1)若a=1，则f(x)=−1−2csx−2(1−cs2x)=2cs2x−2csx−3，
即f(x)=2cs2x−2csx−3=2(csx−12)2−72，
因为csx∈[−1,1]，
所以(csx−12)2∈[0,94]，则f(x)=2(csx−12)2−72∈[−72,1]，
所以f(x)的值域为[−72,1]；
(2)f(x)=1−2a−2acsx−2sin2x=2cs2x−2acsx−2a−1
=2((csx−a2)2−a24)−2a−1=2(csx−a2)2−a22−2a−1，
因为csx∈[−1,1]，
若a2≥1，即a≥2，g(a)=2(1−a2)2−a22−2a−1=1−4a，
若a2≤−1，即a≤−2，g(a)=2(−1−a2)2−a22−2a−1=1，
若−1因为g(a)=12，
则a≥2时，g(a)=1−4a=12⇒a=18，无解；
a≤−2时，g(a)=1≠12，无解；
−2解得a=−1或a=−3舍去，
综上：a=−1，
此时f(x)=2(csx+12)2−12+2−1=2(csx+12)2+12，csx∈[−1,1]，
所以，当csx=1时，f(x)取得最大值5.
【解析】(1)代入a=1，对f(x)进行配方化简，由csx的范围，进而得到f(x)的值域．
(2)对f(x)进行配方化简，对a的取值进行讨论，求最小值，由g(a)=12求出a，进而求出此时f(x)的最大值．
本题主要考查了余弦函数及二次函数的性质在函数最值求解中的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．