2022-2023学年山西省大同市阳高一中高一(上)期末数学试卷(含解析)
展开1.“x>1”是“2x>1”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
2.命题“∃x0∈R,x03−x02+1>0”的否定是( )
A. ∀x∈R,x 3−x 2+1≤0B. ∃x0∈R,x03−x02+1<0
C. ∃x0∈R,x03−x02+1≤0D. ∀x∈R,x 3−x 2+1>0
3.点P(cs1900°,sin1900°)所在的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.下列说法正确的是( )
A. 钝角是第二象限角B. 第二象限角比第一象限角大
C. 大于90°的角是钝角D. −165°是第二象限角
5.设f(x)=3x+3x−8,用二分法求方程3x+3x−8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间( )
A. (1,1.25)B. (1.25,1.5)C. (1.5,2)D. 不能确定
6.函数y=ex+e−xex−e−x的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.函数f(x)=2sinx−sin2x在[0,2π]的零点个数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
8.定义在R上的奇函数f(x)满足:任意x1≠x2,都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0,设a=−f(lg215)b=f(lg24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为( )
A. c二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.设集合A={x∈R|x2−5x+6=0},B={x∈R|ax−1=0},若B⊆A,则实数a的值可以是( )
A. 0B. 13C. 12D. 2
10.设函数f(x)=ax−1,x
11.已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤−3或x≥4},则下列说法正确的是( )
A. a>0
B. 不等式bx+c>0的解集为{x|x>−12}
C. 不等式cx2−bx+a<0的解集为{x|x<−14或x>13}
D. a+b+c>0
12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的相邻对称轴之间的距离为π2,且f(x)图象经过点P(π3,0),则下列说法正确的是( )
A. 该函数解析式为f(x)=sin(2x+π3)
B. 函数f(x)的一个对称中心为(−2π3,0)
C. 函数y= 2f(x)−1的定义域为[−π24+kπ,5π24+kπ](k∈Z)
D. 将函数y=f(x)的图象向右平移b(b>0)个单位,得到函数g(x)的图象,且函数g(x)的图象关于原点对称,则b的最小值为π3
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知集合A={ a+1,−2},B={b,2},若A=B,则a+b= .
14.若角α的终边与π6的终边关于直线y=x对称,且α∈(−4π,4π),则α= ______ .
15.已知cs(π6−α)=23,则sin(α−2π3)=______.
16.下列说法中正确的有______ .
(1)[(−2)2]−12=−12
(2)已知lga34<1,则a>34
(3)函数y=3x的图象与函数y=−3−x的图象关于原点对称.
(4)函数y=lg(−x2+x)的递增区间为(−∞,12].
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知不等式2x2−x−5≤18的解集为D(用区间表示).
(1)求区间D;
(2)在区间D上,函数f(x)=2x−a图像恒在直线y=x的上方,求实数a的取值范围.
18.(本小题12分)
已知α,β为锐角,tanα=43,cs(α+β)=− 55.
(1)求sin(α+β)的值;
(2)求tanβ的值.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2a⋅4x−2x−1.
(I)当a=1时,求函数f(x)的零点;
(Ⅱ)若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围.
20.(本小题12分)
已知x>0,y>0,2xy=x+4y+a.
(1)当a=16时,求xy的最小值;
(2)当a=0时,求x+y+2x+12y的最小值.
21.(本小题12分)
设函数f(x)=sin2x− 3cs2x−1.
(1)设x∈[−π2,π6],求函数f(x)的最大值和最小值;
(2)设函数g(x)=f(x+φ)+4m(m∈R)(0<φ<π2)为偶函数,求φ的值,并求函数g(x)的单调增区间.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=−3x+a3x+1+3为R上的奇函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在R上的单调性并加以证明;
(3)解关于x的不等式f(x)<−16.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
根据不等式的关系进行判断即可.
本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合不等式的关系是解决本题的关键.
【解答】
解:由2x>1得x>0,
则“x>1”是“2x>1”的充分不必要条件,
故选:A.
2.【答案】A
【解析】解:∵命题:“∃x0∈R,x03−x02+1>0”是特称命题,
∴特称命题的否定是全称命题得“∃x0∈R,x03−x02+1>0”的否定是:“∀x∈R,x3−x2+1≤0”.
故选:A.
根据特称命题的否定是全称命题即可得到命题的否定.
本题主要考查含有量词的命题的否定,特称命题的否定是全称命题,全称命题的否定是特称命题.
3.【答案】B
【解析】解:∵1900°=5×360°+100°,
∴1900°为第二象限角,则cs1900°<0,sin1900°>0,
∴P(cs1900°,sin1900°)在第二象限.
故选:B.
由终边相同角的概念判断1900°所在象限,即可确定点P所在的象限.
本题考查了三角函数值的符号,是基础题.
4.【答案】A
【解析】【分析】
由钝角的范围平时A,C;举例说明B错误;由−180°<−165°<−90°,说明−165°是第三象限角.
本题考查象限角的概念,是基础题.
【解答】
解:钝角的范围为(90°,180°),钝角是第二象限角,故A正确;
−200°是第二象限角,60°是第一象限角,−200°<60°,故B错误;
由钝角的范围可知C错误;
−180°<−165°<−90°,−165°是第三象限角,D错误.
故选A.
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数零点存在性定理,属基础题.
由已知“方程3x+3x−8=0在x∈(1,2)内近似解”,且具体的函数值的符号也已确定,由f(1.5)>0,f(1.25)<0,它们异号,可得答案.
【解答】
解:∵f(1.5)⋅f(1.25)<0,
由零点存在定理,得,
∴方程的根落在区间(1.25,1.5).
故选:B.
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数图象的识别.
欲判断图象大致图象,可从函数的定义域{x|x≠0}方面考虑,还可从函数的单调性(在函数当x>0时函数为减函数)方面进行考虑即可.
【解答】
解:函数有意义,需使ex−e−x≠0,
其定义域为{x|x≠0},排除C,D,
又因为y=ex+e−xex−e−x=e2x+1e2x−1=1+2e2x−1,
所以当x>0时函数为减函数,故选A
故选:A.
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了三角恒等变换、三角函数图像与性质,函数的零点等知识,属于基础题.
先将f(x)化为2sinx(1−csx),令2sinx(1−csx)=0,直接求解即可.
【解答】
解:f(x)=2sinx−sin2x=2sinx−2sinxcsx=2sinx(1−csx),
令f(x)=0,则sinx=0或csx=1,
所以x=kπ(k∈Z),又x∈[0,2π],
所以x=0或x=π或x=2π.
故选B.
8.【答案】A
【解析】解:因为定义在R上的奇函数f(x)满足:任意x1≠x2,都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0,
所以f(x)在R上为单调递增函数,
∵−lg215=lg25>lg24.1>2,0<20.8<21=2,
∴−f(lg215)=f(lg25)>f(lg24.1)>f(20.8)
即a>b>c.
故选:A.
根据函数在R上单调递增以及对数函数的单调性可得.
本题考查了函数单调性得性质与判断,属中档题.
9.【答案】ABC
【解析】解:由题得A={2,3},由于B⊆A,
当B={2}时,有2a−1=0,a=12,故C正确;
当B={3}时,有3a−1=0,a=13,故B正确;
当B=⌀时,a=0,故A正确;
故选:ABC.
先得到A={2,3},再根据B⊆A,分B={2},B={3},B=⌀讨论即可.
本题主要考查了集合的包含关系,考查了分类讨论思想的应用,属于基础题.
10.【答案】CD
【解析】解:当x0,①
当x≥a时,f(x)=x2−2ax+1为增函数,
因为函数f(x)为增函数,
所以a×a−1≤a2−2a×a+1,②
由①②解得0故选:CD.
根据题意可得a>0①,a×a−1≤a2−2a×a+1②,由①②解得答案.
本题考查函数的单调性,解题中需要理清思路,属于中档题.
11.【答案】AC
【解析】解:由题意知,−3和4是方程ax2+bx+c=0的两根,且a>0,即选项A正确;
由韦达定理知,−3+4=−ba(−3)×4=ca,即b=−ac=−12a,
所以不等式bx+c>0可化为−ax−12a>0,即x+12<0,解得x<−12,即选项B错误;
不等式cx2−bx+a<0可化为−12ax2+ax+a<0,即12x2−x−1>0,解得x<−14或x>13,即选项C正确;
因为1∉{x|x≤−3或x≥4},所以当x=1时,有a+b+c<0,即选项D错误.
故选:AC.
由题意知,−3和4是方程ax2+bx+c=0的两根,且a>0,利用韦达定理可推出b=−ac=−12a,再代入解选项中的不等式,即可.
本题考查一元二次不等式的逆向思维,一元二次不等式的解法,理解二次函数,一元二次方程与不等式之间的关系是解题的关键,考查运算求解能力,属于中档题.
12.【答案】ABC
【解析】解:选项A,由题意知,最小正周期为T=2×π2=π=2πω,解得ω=2,
所以f(x)=sin(2x+φ),
因为f(x)图象经过点P(π3,0),
所以f(π3)=sin(2⋅π3+φ)=0,即2π3+φ=kπ,k∈Z,
又0<φ<π2,所以φ=π3,
所以f(x)=sin(2x+π3),即A正确;
选项B,f(−2π3)=sin(−2⋅2π3+π3)=0,即B正确;
选项C,由题意知, 2f(x)−1≥0,即f(x)=sin(2x+π3)≥ 22,
所以2x+π3∈[2kπ+π4,2kπ+3π4](k∈Z),解得x∈[−π24+kπ,5π24+kπ](k∈Z),即C正确;
选项D,g(x)=sin[2(x−b)+π3]=sin(2x+π3−2b),
因为该函数为奇函数,所以π3−2b=kπ(k∈Z),即b=π6−kπ2(k∈Z),
所以b的最小值为π6,即D错误.
故选:ABC.
选项A,根据T=2πω,可得ω的值,再将点P(π3,0)代入,求出φ的值,即可;
选项B,计算f(−2π3)的值,即可;
选项C,结合正弦函数的图象与性质,解不等式f(x)≥ 22,即可;
选项D,根据函数图象的平移法则,可得g(x)=sin(2x+π3−2b),由奇函数的性质,令π3−2b=kπ,k∈Z,解之即可.
本题主要考查三角函数的图象与性质,熟练掌握正弦函数的图象与性质,函数图象的平移法则是解题的关键,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.
13.【答案】−1
【解析】【分析】
本题考查了集合相等,属于基础题.
根据A=B即可得出 a+1=2b=−2,从而可求出a+b的值.
【解答】
解:∵A=B,
∴ a+1=2b=−2,解得a=1b=−2,
∴a+b=−1.
故答案为−1.
14.【答案】−11π3,−5π3,π3,7π3
【解析】解:∵角α的终边与π6的终边关于直线y=x对称,
∴角α的终边在π3的终边上,
∴α=π3+2kπ,k∈Z.
又∵α∈(−4π,4π),
∴α=−11π3,−5π3,π3,7π3,
故答案为:−11π3,−5π3,π3,7π3
由题意可得α=π3+2kπ,k∈Z,给k取值可得.
本题考查终边相同的角,属基础题.
15.【答案】−23
【解析】解:∵cs(π6−α)=23,且(π6−α)+(α−2π3)=−π2,
∴sin(α−2π3)=sin[−π2−(π6−α)]=−sin[π2+(π6−α)]=−cs(π6−α)=−23.
故答案为:−23.
观察得,(π6−α)+(α−2π3)=−π2,结合题意,利用诱导公式即可求得sin(α−2π3).
本题考查诱导公式,观察得到(π6−α)+(α−2π3)=−π2是关键,考查观察与转化的能力,属于中档题.
16.【答案】(3)
【解析】解:(1)根据题意,[(−2)2]12=412=2,故错误;
(2)lga34<1=lgaa,
则当a>1时,可得a>34,此时可得a>1,
当0综上可得,a>1或0(3)函数y=3x的x→−x,y→−y得函数y=−3−x,它们的图象关于原点对称,故正确;
(4)根据题意,函数y=lg(−x2+x),则有x−x2>0,解出0
设t=x−x2,t为关于x的二次函数,其图象是开口向下的抛物线,关于y轴对称
∴在区间(12,1)上t随x的增大而增大,在区间(0,12)上t随x的增大而减小,
又∵y=lg(x−x2)的底为10>1
∴函数y=lg(x−x2)的单调递增区间为(0,12),故(4)错.
故答案为:(3).
(1)利用指数运算法则进行运算即可;
(2)由lga34<1=lgaa,结合对数函数y=lgax的单调性的考虑,需要对a分当a>1时及0(3)根据函数的图象变换进行变换即可判断;
(4)首先,对数的真数大于0,得x−x2>0,解出x∈(0,1),在此基础上研究真数,令t=x−x2,得在区间(12,1)上t随x的增大而增大,在区间(0,12)上t随x的增大而减小,再结合复合函数的单调性法则,可得出原函数的单调增区间.
本题主要考利用复合函数单调性的判断,涉及函数的对称性和指数幂的计算,属于中档题.
17.【答案】解:(1)不等式2x2−x−5≤18等价于2x2−x−5≤2−3,
所以x2−x−5≤−3,即x2−x−2≤0,解得−1≤x≤2,
所以区间D=[−1,2].
(2)在区间D上,函数f(x)=2x−a图像恒在直线y=x的上方,得不等式2x−a>x在x∈[−1,2]上恒成立,即a
即实数a的取值范围为(−∞,−1).
【解析】(1)解指数不等式,得解集为D用区间表示;
(2)区间D上,函数f(x)=2x−a图像恒在直线y=x的上方,等价于2x−a>x在区间D上恒成立,问题转化为求最值即可得解.
本题主要考查函数恒成立问题,不等式的解法,考查运算求解能力,属于中档题.
18.【答案】解:(1)∵α,β为锐角,
∴α+β∈(0,π),
∵cs(α+β)=− 55,
∴sin(α+β)= 1−cs2(α+β)=2 5=2 55;
(2)∵tan(α+β)=sin(α+β)cs(α+β)=−2,tanα=43,
∴tanβ=tan[(α+β)−α]=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)⋅tanα=−2−431+(−2)×43=2.
【解析】(1)α,β为锐角,cs(α+β)=− 55,利用平方关系可求得sin(α+β)的值;
(2)依题意,可得tan(α+β)=−2,又tanα=43,利用两角差的正切可求出tanβ的值.
本题主要考查两角和与差的三角函数,考查运算求解能力,属于中档题.
19.【答案】解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=2⋅4x−2x−1.
令f(x)=0,即2⋅(2x)2−2x−1=0,
解得2x=1或2x=−12(舍去).
∴x=0,函数f(x)的零点为x=0;
(Ⅱ)若f(x)有零点,则方程2a⋅4x−2x−1=0有解,
于是2a=2x+14x=(12)x+(14)x=[(12)x+12]2−14,
∵(12)x>0,2a>14−14=0,即a>0.
实数a的取值范围:(0,+∞).
【解析】(Ⅰ)问题转化为a=1时解方程f(x)=0;
(Ⅱ)f(x)有零点,则方程2a⋅4x−2x−1=0有解,分离出a后转化为求函数的值域问题;
本题考查函数的零点与方程的根的关系,考查方程的思想,属中档题.
20.【答案】解:(1)当a=16时,2xy=x+4y+16≥4 xy+16,
即( xy)2−2 xy−8≥0,
∴( xy+2)( xy−4)≥0,
∴ xy≥4,
∴xy≥16,
当且仅当x=4y=8时,等号成立.
∴xy的最小值为16.
(2)当a=0时,可得2xy=x+4y,
两边都除以2xy,得12y+2x=1,
∴x+y+2x+12y=x+y+1=(x+y)(2x+12y)+1=72+(x2y+2yx)≥72+2 x2y⋅2yx=112,
当且仅当x2y=2yx=1,即x=3,y=32时取等号.
∴x+y+2x+12y的最小值为112.
【解析】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质,属于中档题.
(1)利用基本不等式的性质转化为二次函数即可得出;
(2)利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.
21.【答案】解:函数f(x)=sin2x− 3cs2x−1=2sin(2x−π3)−1,
由于x∈[−π2,π6],
所以−4π3≤2x−π3≤0,故sin(2x−π3)∈[−1,0];
故函数f(x)的最大值为−1,最小值为−3.
(2)函数g(x)=f(x+ϕ)+4m为偶函数,
所以2φ−π3=kπ+π2(k∈Z),
整理得φ=5π12+kπ2(k∈Z),
由于0<φ<π2,
故φ=5π12;
此时g(x)=cs2x+4m−1,令−π+2kπ≤2x≤2kπ,整理得−π2+kπ≤x≤kπ(k∈Z),
故函数的单调递增区间为[−π2+kπ,kπ](k∈Z).
【解析】(1)首先利用关系式的变换,把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步利用函数的定义域求出函数的值域,进一步求出函数的最值.
(2)利用整体思想的应用求出函数的单调递增区间.
本题考查的知识要点:三角函数的关系式的变换,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.
22.【答案】解:(1)因为函数f(x)=−3x+a3x+1+3为R上的奇函数,
所以f(0)=−1+a3+3=0,即a=1,
此时f(x)=−3x+13x+1+3,f(−x)=−3−x+13−x+1+3=−1+3x3+3⋅3x=3x−13x+1+3,
所以f(−x)=−f(x),即函数f(x)为奇函数,
所以a=1符合题意.
故f(x)=−3x+13x+1+3.
(2)函数f(x)在R上的单调递减.证明如下:
由(1)知,f(x)=−3x+13x+1+3=13(−1+23x+1).
任取x1,x2∈R,且x1
因为x1,x2∈R,且x1
所以f(x1)−f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
因此函数f(x)在R上的单调递减.
(3)由(2)知f(x)=−3x+13x+1+3=13(−1+23x+1),
由f(x)<−16,即13(−1+23x+1)<−16,
即−1+23x+1<−12,即23x+1<12,
即3x+1>4,即3x>3,
所以x>1,
所以等式f(x)<−16的解集为(1,+∞).
【解析】(1)根据奇函数性质可得f(0)=−1+a3+3=0,进而求解;
(2)根据单调性的定义判断并证明即可;
(3)根据指数函数的性质求解即可.
本题主要考查了奇函数性质的应用,函数单调性的判断及函数的单调性在不等式求解中的应用,属于中档题.
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