2022-2023学年山西省大同市阳高一中高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山西省大同市阳高一中高一（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“x>1”是“2x>1”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
2.命题“∃x0∈R，x03−x02+1>0”的否定是( )
A. ∀x∈R，x 3−x 2+1≤0B. ∃x0∈R，x03−x02+1<0
C. ∃x0∈R，x03−x02+1≤0D. ∀x∈R，x 3−x 2+1>0
3.点P(cs1900°,sin1900°)所在的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.下列说法正确的是( )
A. 钝角是第二象限角B. 第二象限角比第一象限角大
C. 大于90°的角是钝角D. −165°是第二象限角
5.设f(x)=3x+3x−8，用二分法求方程3x+3x−8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )
A. (1,1.25)B. (1.25,1.5)C. (1.5,2)D. 不能确定
6.函数y=ex+e−xex−e−x的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.函数f(x)=2sinx−sin2x在[0,2π]的零点个数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
8.定义在R上的奇函数f(x)满足：任意x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0，设a=−f(lg215)b=f(lg24.1)，c=f(20.8)，则a，b，c的大小关系为( )
A. c二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设集合A={x∈R|x2−5x+6=0}，B={x∈R|ax−1=0}，若B⊆A，则实数a的值可以是( )
A. 0B. 13C. 12D. 2
10.设函数f(x)=ax−1,xA. 2B. −1C. 12D. 1
11.已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤−3或x≥4}，则下列说法正确的是( )
A. a>0
B. 不等式bx+c>0的解集为{x|x>−12}
C. 不等式cx2−bx+a<0的解集为{x|x<−14或x>13}
D. a+b+c>0
12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的相邻对称轴之间的距离为π2，且f(x)图象经过点P(π3,0)，则下列说法正确的是( )
A. 该函数解析式为f(x)=sin(2x+π3)
B. 函数f(x)的一个对称中心为(−2π3,0)
C. 函数y= 2f(x)−1的定义域为[−π24+kπ,5π24+kπ](k∈Z)
D. 将函数y=f(x)的图象向右平移b(b>0)个单位，得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的图象关于原点对称，则b的最小值为π3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知集合A={ a+1,−2}，B={b,2}，若A=B，则a+b= ．
14.若角α的终边与π6的终边关于直线y=x对称，且α∈(−4π,4π)，则α= ______ ．
15.已知cs(π6−α)=23，则sin(α−2π3)=______．
16.下列说法中正确的有______ ．
(1)[(−2)2]−12=−12
(2)已知lga34<1，则a>34
(3)函数y=3x的图象与函数y=−3−x的图象关于原点对称．
(4)函数y=lg(−x2+x)的递增区间为(−∞,12]．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知不等式2x2−x−5≤18的解集为D(用区间表示)．
(1)求区间D；
(2)在区间D上，函数f(x)=2x−a图像恒在直线y=x的上方，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知α，β为锐角，tanα=43，cs(α+β)=− 55．
(1)求sin(α+β)的值；
(2)求tanβ的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2a⋅4x−2x−1．
(I)当a=1时，求函数f(x)的零点；
(Ⅱ)若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
已知x>0,y>0，2xy=x+4y+a．
(1)当a=16时，求xy的最小值；
(2)当a=0时，求x+y+2x+12y的最小值．
21.(本小题12分)
设函数f(x)=sin2x− 3cs2x−1．
(1)设x∈[−π2,π6]，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)设函数g(x)=f(x+φ)+4m(m∈R)(0<φ<π2)为偶函数，求φ的值，并求函数g(x)的单调增区间．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=−3x+a3x+1+3为R上的奇函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)在R上的单调性并加以证明；
(3)解关于x的不等式f(x)<−16．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
根据不等式的关系进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．
【解答】
解：由2x>1得x>0，
则“x>1”是“2x>1”的充分不必要条件，
故选：A．
2.【答案】A
【解析】解：∵命题：“∃x0∈R，x03−x02+1>0”是特称命题，
∴特称命题的否定是全称命题得“∃x0∈R，x03−x02+1>0”的否定是：“∀x∈R，x3−x2+1≤0”．
故选：A．
根据特称命题的否定是全称命题即可得到命题的否定．
本题主要考查含有量词的命题的否定，特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题．
3.【答案】B
【解析】解：∵1900°=5×360°+100°，
∴1900°为第二象限角，则cs1900°<0，sin1900°>0，
∴P(cs1900°,sin1900°)在第二象限．
故选：B．
由终边相同角的概念判断1900°所在象限，即可确定点P所在的象限．
本题考查了三角函数值的符号，是基础题．
4.【答案】A
【解析】【分析】
由钝角的范围平时A，C；举例说明B错误；由−180°<−165°<−90°，说明−165°是第三象限角．
本题考查象限角的概念，是基础题．
【解答】
解：钝角的范围为(90°,180°)，钝角是第二象限角，故A正确；
−200°是第二象限角，60°是第一象限角，−200°<60°，故B错误；
由钝角的范围可知C错误；
−180°<−165°<−90°，−165°是第三象限角，D错误．
故选A．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数零点存在性定理，属基础题．
由已知“方程3x+3x−8=0在x∈(1,2)内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f(1.5)>0，f(1.25)<0，它们异号，可得答案．
【解答】
解：∵f(1.5)⋅f(1.25)<0，
由零点存在定理，得，
∴方程的根落在区间(1.25,1.5)．
故选：B．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数图象的识别．
欲判断图象大致图象，可从函数的定义域{x|x≠0}方面考虑，还可从函数的单调性(在函数当x>0时函数为减函数)方面进行考虑即可．
【解答】
解：函数有意义，需使ex−e−x≠0，
其定义域为{x|x≠0}，排除C，D，
又因为y=ex+e−xex−e−x=e2x+1e2x−1=1+2e2x−1，
所以当x>0时函数为减函数，故选A
故选：A．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了三角恒等变换、三角函数图像与性质，函数的零点等知识，属于基础题．
先将f(x)化为2sinx(1−csx)，令2sinx(1−csx)=0，直接求解即可．
【解答】
解：f(x)=2sinx−sin2x=2sinx−2sinxcsx=2sinx(1−csx)，
令f(x)=0，则sinx=0或csx=1，
所以x=kπ(k∈Z)，又x∈[0,2π]，
所以x=0或x=π或x=2π．
故选B．
8.【答案】A
【解析】解：因为定义在R上的奇函数f(x)满足：任意x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0，
所以f(x)在R上为单调递增函数，
∵−lg215=lg25>lg24.1>2，0<20.8<21=2，
∴−f(lg215)=f(lg25)>f(lg24.1)>f(20.8)
即a>b>c．
故选：A．
根据函数在R上单调递增以及对数函数的单调性可得．
本题考查了函数单调性得性质与判断，属中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：由题得A={2,3}，由于B⊆A，
当B={2}时，有2a−1=0，a=12，故C正确；
当B={3}时，有3a−1=0，a=13，故B正确；
当B=⌀时，a=0，故A正确；
故选：ABC．
先得到A={2,3}，再根据B⊆A，分B={2}，B={3}，B=⌀讨论即可．
本题主要考查了集合的包含关系，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：当x0，①
当x≥a时，f(x)=x2−2ax+1为增函数，
因为函数f(x)为增函数，
所以a×a−1≤a2−2a×a+1，②
由①②解得0故选：CD．
根据题意可得a>0①，a×a−1≤a2−2a×a+1②，由①②解得答案．
本题考查函数的单调性，解题中需要理清思路，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：由题意知，−3和4是方程ax2+bx+c=0的两根，且a>0，即选项A正确；
由韦达定理知，−3+4=−ba(−3)×4=ca，即b=−ac=−12a，
所以不等式bx+c>0可化为−ax−12a>0，即x+12<0，解得x<−12，即选项B错误；
不等式cx2−bx+a<0可化为−12ax2+ax+a<0，即12x2−x−1>0，解得x<−14或x>13，即选项C正确；
因为1∉{x|x≤−3或x≥4}，所以当x=1时，有a+b+c<0，即选项D错误．
故选：AC．
由题意知，−3和4是方程ax2+bx+c=0的两根，且a>0，利用韦达定理可推出b=−ac=−12a，再代入解选项中的不等式，即可．
本题考查一元二次不等式的逆向思维，一元二次不等式的解法，理解二次函数，一元二次方程与不等式之间的关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】ABC
【解析】解：选项A，由题意知，最小正周期为T=2×π2=π=2πω，解得ω=2，
所以f(x)=sin(2x+φ)，
因为f(x)图象经过点P(π3,0)，
所以f(π3)=sin(2⋅π3+φ)=0，即2π3+φ=kπ，k∈Z，
又0<φ<π2，所以φ=π3，
所以f(x)=sin(2x+π3)，即A正确；
选项B，f(−2π3)=sin(−2⋅2π3+π3)=0，即B正确；
选项C，由题意知， 2f(x)−1≥0，即f(x)=sin(2x+π3)≥ 22，
所以2x+π3∈[2kπ+π4,2kπ+3π4](k∈Z)，解得x∈[−π24+kπ,5π24+kπ](k∈Z)，即C正确；
选项D，g(x)=sin[2(x−b)+π3]=sin(2x+π3−2b)，
因为该函数为奇函数，所以π3−2b=kπ(k∈Z)，即b=π6−kπ2(k∈Z)，
所以b的最小值为π6，即D错误．
故选：ABC．
选项A，根据T=2πω，可得ω的值，再将点P(π3,0)代入，求出φ的值，即可；
选项B，计算f(−2π3)的值，即可；
选项C，结合正弦函数的图象与性质，解不等式f(x)≥ 22，即可；
选项D，根据函数图象的平移法则，可得g(x)=sin(2x+π3−2b)，由奇函数的性质，令π3−2b=kπ，k∈Z，解之即可．
本题主要考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的图象与性质，函数图象的平移法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】−1
【解析】【分析】
本题考查了集合相等，属于基础题．
根据A=B即可得出 a+1=2b=−2，从而可求出a+b的值．
【解答】
解：∵A=B，
∴ a+1=2b=−2，解得a=1b=−2，
∴a+b=−1．
故答案为−1．
14.【答案】−11π3，−5π3，π3，7π3
【解析】解：∵角α的终边与π6的终边关于直线y=x对称，
∴角α的终边在π3的终边上，
∴α=π3+2kπ，k∈Z．
又∵α∈(−4π,4π)，
∴α=−11π3，−5π3，π3，7π3，
故答案为：−11π3，−5π3，π3，7π3
由题意可得α=π3+2kπ，k∈Z，给k取值可得．
本题考查终边相同的角，属基础题．
15.【答案】−23
【解析】解：∵cs(π6−α)=23，且(π6−α)+(α−2π3)=−π2，
∴sin(α−2π3)=sin[−π2−(π6−α)]=−sin[π2+(π6−α)]=−cs(π6−α)=−23．
故答案为：−23．
观察得，(π6−α)+(α−2π3)=−π2，结合题意，利用诱导公式即可求得sin(α−2π3).
本题考查诱导公式，观察得到(π6−α)+(α−2π3)=−π2是关键，考查观察与转化的能力，属于中档题．
16.【答案】(3)
【解析】解：(1)根据题意，[(−2)2]12=412=2，故错误；
(2)lga34<1=lgaa，
则当a>1时，可得a>34，此时可得a>1，
当0综上可得，a>1或0(3)函数y=3x的x→−x，y→−y得函数y=−3−x，它们的图象关于原点对称，故正确；
(4)根据题意，函数y=lg(−x2+x)，则有x−x2>0，解出0所以函数的定义域为：x∈(0,1)，
设t=x−x2，t为关于x的二次函数，其图象是开口向下的抛物线，关于y轴对称
∴在区间(12,1)上t随x的增大而增大，在区间(0,12)上t随x的增大而减小，
又∵y=lg(x−x2)的底为10>1
∴函数y=lg(x−x2)的单调递增区间为(0,12)，故(4)错．
故答案为：(3)．
(1)利用指数运算法则进行运算即可；
(2)由lga34<1=lgaa，结合对数函数y=lgax的单调性的考虑，需要对a分当a>1时及0(3)根据函数的图象变换进行变换即可判断；
(4)首先，对数的真数大于0，得x−x2>0，解出x∈(0,1)，在此基础上研究真数，令t=x−x2，得在区间(12,1)上t随x的增大而增大，在区间(0,12)上t随x的增大而减小，再结合复合函数的单调性法则，可得出原函数的单调增区间．
本题主要考利用复合函数单调性的判断，涉及函数的对称性和指数幂的计算，属于中档题．
17.【答案】解：(1)不等式2x2−x−5≤18等价于2x2−x−5≤2−3，
所以x2−x−5≤−3，即x2−x−2≤0，解得−1≤x≤2，
所以区间D=[−1,2]．
(2)在区间D上，函数f(x)=2x−a图像恒在直线y=x的上方，得不等式2x−a>x在x∈[−1,2]上恒成立，即a结合x∈[−1,2]，xmin=−1，所以a<−1，
即实数a的取值范围为(−∞,−1)．
【解析】(1)解指数不等式，得解集为D用区间表示；
(2)区间D上，函数f(x)=2x−a图像恒在直线y=x的上方，等价于2x−a>x在区间D上恒成立，问题转化为求最值即可得解．
本题主要考查函数恒成立问题，不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵α，β为锐角，
∴α+β∈(0,π)，
∵cs(α+β)=− 55，
∴sin(α+β)= 1−cs2(α+β)=2 5=2 55；
(2)∵tan(α+β)=sin(α+β)cs(α+β)=−2，tanα=43，
∴tanβ=tan[(α+β)−α]=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)⋅tanα=−2−431+(−2)×43=2．
【解析】(1)α，β为锐角，cs(α+β)=− 55，利用平方关系可求得sin(α+β)的值；
(2)依题意，可得tan(α+β)=−2，又tanα=43，利用两角差的正切可求出tanβ的值．
本题主要考查两角和与差的三角函数，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)当a=1时，f(x)=2⋅4x−2x−1．
令f(x)=0，即2⋅(2x)2−2x−1=0，
解得2x=1或2x=−12(舍去)．
∴x=0，函数f(x)的零点为x=0；
(Ⅱ)若f(x)有零点，则方程2a⋅4x−2x−1=0有解，
于是2a=2x+14x=(12)x+(14)x=[(12)x+12]2−14，
∵(12)x>0，2a>14−14=0，即a>0．
实数a的取值范围：(0,+∞)．
【解析】(Ⅰ)问题转化为a=1时解方程f(x)=0；
(Ⅱ)f(x)有零点，则方程2a⋅4x−2x−1=0有解，分离出a后转化为求函数的值域问题；
本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查方程的思想，属中档题．
20.【答案】解：(1)当a=16时，2xy=x+4y+16≥4 xy+16，
即( xy)2−2 xy−8≥0，
∴( xy+2)( xy−4)≥0，
∴ xy≥4，
∴xy≥16，
当且仅当x=4y=8时，等号成立．
∴xy的最小值为16．
(2)当a=0时，可得2xy=x+4y，
两边都除以2xy，得12y+2x=1，
∴x+y+2x+12y=x+y+1=(x+y)(2x+12y)+1=72+(x2y+2yx)≥72+2 x2y⋅2yx=112，
当且仅当x2y=2yx=1，即x=3，y=32时取等号．
∴x+y+2x+12y的最小值为112．
【解析】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题．
(1)利用基本不等式的性质转化为二次函数即可得出；
(2)利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
21.【答案】解：函数f(x)=sin2x− 3cs2x−1=2sin(2x−π3)−1，
由于x∈[−π2,π6]，
所以−4π3≤2x−π3≤0，故sin(2x−π3)∈[−1,0]；
故函数f(x)的最大值为−1，最小值为−3．
(2)函数g(x)=f(x+ϕ)+4m为偶函数，
所以2φ−π3=kπ+π2(k∈Z)，
整理得φ=5π12+kπ2(k∈Z)，
由于0<φ<π2，
故φ=5π12；
此时g(x)=cs2x+4m−1，令−π+2kπ≤2x≤2kπ，整理得−π2+kπ≤x≤kπ(k∈Z)，
故函数的单调递增区间为[−π2+kπ,kπ](k∈Z)．
【解析】(1)首先利用关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值．
(2)利用整体思想的应用求出函数的单调递增区间．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
22.【答案】解：(1)因为函数f(x)=−3x+a3x+1+3为R上的奇函数，
所以f(0)=−1+a3+3=0，即a=1，
此时f(x)=−3x+13x+1+3，f(−x)=−3−x+13−x+1+3=−1+3x3+3⋅3x=3x−13x+1+3，
所以f(−x)=−f(x)，即函数f(x)为奇函数，
所以a=1符合题意．
故f(x)=−3x+13x+1+3．
(2)函数f(x)在R上的单调递减．证明如下：
由(1)知，f(x)=−3x+13x+1+3=13(−1+23x+1)．
任取x1，x2∈R，且x1则f(x1)−f(x2)=13(−1+23x1+1)−13(−1+23x2+1)=23⋅3x2−3x1(3x1+1)(3x2+1)，
因为x1，x2∈R，且x1所以3x2−3x1>0，3x1+1>0，3x2+1>0，
所以f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
因此函数f(x)在R上的单调递减．
(3)由(2)知f(x)=−3x+13x+1+3=13(−1+23x+1)，
由f(x)<−16，即13(−1+23x+1)<−16，
即−1+23x+1<−12，即23x+1<12，
即3x+1>4，即3x>3，
所以x>1，
所以等式f(x)<−16的解集为(1,+∞)．
【解析】(1)根据奇函数性质可得f(0)=−1+a3+3=0，进而求解；
(2)根据单调性的定义判断并证明即可；
(3)根据指数函数的性质求解即可．
本题主要考查了奇函数性质的应用，函数单调性的判断及函数的单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．