2023-2024学年北京市丰台区高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2023-2024学年北京市丰台区高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|−2A. {x|−22.下列函数在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
A. y=lnxB. y=csxC. y=exD. y=−|x|
3.若a>b>0，c>d，则下列结论一定成立的是( )
A. a−b<0B. a+c>b+cC. ac>bcD. ac>bd
4.已知tan(α−π4)=2，则tanα的值为( )
A. 3B. 1C. −3D. −1
5.lg2+lg5−8−13+ (1−π)2=( )
A. π−12B. π−2C. 4−πD. 32−π
6.函数f(x)=sinxcs(x−π2)，则( )
A. f(x)是最小正周期为2π的奇函数B. f(x)是最小正周期为2π的偶函数
C. f(x)是最小正周期为π的奇函数D. f(x)是最小正周期为π的偶函数
7.函数f(x)=2x+x，g(x)=lg2x+x，h(x)= x+x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为( )
A. a>b>cB. b>a>cC. b>c>aD. c>a>b
8.若α，β都是第一象限角，则“sinα>sinβ”是“tanα>tanβ”成立的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.若甲、乙两同学当下的知识储备量均为a，甲同学每天的“进步”率和乙同学每天的“退步”率均为2%.n天后，甲同学的知识储备量为(1+2%)na，乙同学的知识储备量为(1−2%)na，则甲、乙的知识储备量之比为2时需要经过的天数约为(参考数据：lg2≈0.3010，lg102≈2.0086，lg98≈1.9912)( )
A. 15B. 18C. 30D. 35
10.记R(A)为非空集合A中的元素个数，定义A*B=R(A)−R(B),R(A)≥R(B)R(B)−R(A),R(A)A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数f(x)=lgx+ 4−x的定义域为______.
12.能说明“关于x的不等式x2−ax+2a>0在R上恒成立”为假命题的实数a的一个取值为______.
13.已知函数f(x)=lg2x,x>0x3+1,x≤0，若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是______.
14.已知f(x)=2cs2x−sinx，则f(π6)=______，f(x)的最小值为______.
15.双曲函数是一类与三角函数类似的函数，基本的双曲函数有：双曲正弦函数sinh(x)=ex−e−x2，双曲余弦函数csh(x)=ex+e−x2，双曲正切函数tanh(x)=sinh(x)csh(x).给出下列四个结论：
①函数y=csh(x)是偶函数，且最小值为2；
②函数y=sinh(x)是奇函数，且在R上单调递增；
③函数y=tanh(x)在R上单调递增，且值域为(−1,1)；
④若直线y=t与函数y=csh(x)和y=sinh(x)的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1+x2+x3>ln(1+ 2).
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
已知集合A={x|a−1≤x≤a+10}，B={x|x2−4x−21≤0}.
(Ⅰ)若a=0，求∁RA，A∪B；
(Ⅱ)若B⊆A，求实数a的取值范围.
17.(本小题14分)
已知函数f(x)=2|x|.
(Ⅰ)画出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的值域及单调区间；
(Ⅱ)解不等式f(x)≥16；
(Ⅲ)若f(x)≥a2−a+1恒成立，求实数a的取值范围.
18.(本小题14分)
在平面直角坐标系xOy中，角α和角β的顶点均与坐标原点O重合，始边均为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于P，Q两点，若P，Q两点关于y轴对称，点P位于第一象限，横坐标为35.
(Ⅰ)求cs(α−β)的值；
(Ⅱ)求sin(π2+α)−cs(π2+β)sin(−α)+cs(π−β)的值.
19.(本小题15分)
已知函数f(x)= 3sinωxcsωx+cs2ωx−12，其中0<ω<2.从条件①、条件②、条件③中选择一个条件，解决下列问题.
(Ⅰ)求ω的值；
(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间；
(Ⅲ)若存在x0∈[0,m]，使得f(x0)=−1，求实数m的取值范围.
条件①：f(π6)=1；
条件②：f(5π12)=0；
条件③：f(x+π)=f(x).
20.(本小题15分)
2023年9月23日第十九届亚运会在杭州开幕，本届亚运会吉祥物是“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某商家成套出售吉祥物挂件，通过对销售情况统计发现：在某个月内(按30天计)，每套吉祥物挂件的日销售价格f(x)(单位：元)与第x天(1≤x≤30,x∈N)的函数关系满足f(x)=30+kx(k为常数，且k>0)，日销售量g(x)(单位：套)与第x天的部分数据如下表所示：
设该月吉祥物挂件的日销售收入为M(x)(单位：元)，已知第15天的日销售价格为32元.
(Ⅰ)求k的值；
(Ⅱ)根据上表中的数据，若用函数模型g(x)=a|x−m|+b来描述该月日销售量g(x)与第x天的变化关系，求函数g(x)的解析式；
(Ⅲ)利用(Ⅱ)中的结论，求M(x)的最小值.
21.(本小题14分)
设n∈N*，若非空集合A，B，C同时满足以下4个条件，则称A，B，C是“n−无和划分”：
①A∪B∪C={1,2,⋯,n}；
②A∩B=⌀，B∩C=⌀，A∩C=⌀；
③1∈A，且C中的最小元素大于B中的最小元素；
④∀x∈A，y∈B，z∈C，必有x+y∉C，y+z∉A，z+x∉B.
(Ⅰ)若A={1,3}，B={2,4}，C={5,6}，判断A，B，C是否是“6−无和划分”，并说明理由.
(Ⅱ)已知A，B，C是“n−无和划分”(n≥4).
(i)证明：对于任意m，k∈C(m(ii)若存在i，j∈C，使得j=i+2，记Ω=A∪B∪C.证明：Ω中的所有奇数都属于A.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵集合A={x|−2∴既属于A，又属于B的元素x，满足不等式−1≤x<1，即A∩B={x|−1≤x<1}.
故选：B.
根据题意，利用交集的运算法则，找出集合A、B的公共元素组成的集合，可得答案．
本题主要考查不等式的性质、交集的运算法则等知识，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：根据对数函数的性质可知，y=lnx在区间(0,+∞)上单调递增，不符合题意；
y=csx在(0,+∞)上不单调，不符合题意；
y=ex(0,+∞)上单调递增，不符合题意；
当x>0时，y=−|x|=−x单调递减，符合题意．
故选：D.
由已知结合基本初等函数的单调性检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数单调性的判断，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：对于A，因为a>b>0，所以a−b>0，故A不正确；
对于B，在不等式a>b的两边都加上c，可得a+c>b+c，故B正确；
对于C，a>b，当c为负数时，ac对于D，当a=2，b=1，c=−2，d=−4时，满足a>b>0，c>d，
此时ac=bd=−4，故ac>bd不成立，D不正确．
故选：B.
根据题意利用不等式的基本性质，对各项逐一判断，即可得到本题的答案．
本题主要考查不等式的基本性质及其应用，考查了计算能力与逻辑推理能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵已知tan(α−π4)=2，
则tanα=tan[(α−π4)+π4]=tan(α−π4)+tanπ41−tan(α−π4)tanπ4=2+11−2×1=−3.
故选：C.
由条件利用两角和的正切公式，求得tanα的值．
本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：原式=lg10−12+π−1=1−12+π−1=π−12.
故选：A.
根据对数、指数和根式的运算性质计算即可．
本题考查了对数、指数和根式的运算性质，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由于函数f(x)=sinxcs(x−π2)=sinx⋅sinx=sin2x=1−cs2x2=12−cs2x2，
故它是偶函数，且周期为2π2=π，故ABC错误，D正确．
故选：D.
由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据三角函数的周期性、奇偶性，得出结论．
本题主要考查三角恒等变换，三角函数的周期性、奇偶性，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：f(x)=2x+x=0，则−x=2x，
g(x)=lg2x+x，则−=lg2x，
h(x)= x+x=0，可得x=0，即c=0，
∵函数f(x)，g(x)的零点分别为a，b，
作出函数y=2x，y=lg2x，y=−x的图象如图，
由图可知：b>0=c>a.
故选：C.
把零点转化为对应函数的交点，分别画出几个函数在同一坐标系的图象，即可得到a，b，c的大小关系．
本题考查函数零点的判定，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
8.【答案】C
【解析】解：(1)充分性：
根据α、β都是第一象限角，可知sinα>0且sinβ>0，
若sinα>sinβ，则 1−cs2α> 1−cs2β，整理得csα结合csα、csβ都是正数，得1csα>1csβ>0，
而sinα>sinβ>0，同向不等式相乘，得sinαcsα>sinβcsβ，即tanα>tanβ成立．
(2)必要性：
根据α、β都是第一象限角，可知tanα>0且tanβ>0，
若tanα>tanβ，则1+tan2α>1+tan2β，即1+sin2αcs2α>1+sin2βcs2β，
即cs2α+sin2αcs2α>cs2β+sin2βcs2β，可得1cs2α>1cs2β，
所以cs2αsin2β，即sinα>sinβ成立．
综上所述，“sinα>sinβ”是“tanα>tanβ”成立的充要条件．
故选：C.
根据充分必要条件的定义，结合同角三角函数的基本关系，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
本题主要考查同角三角函数的关系及其应用、充要条件的判断等知识，考查了计算能力与逻辑推理能力，属于中档题．
9.【答案】B
【解析】解：由题意可得(1+2%)na=2(1−2%)na，
则nlg1.02=lg2+nlg0.98，
即n=lg2lg1.02−lg0.98=lg2lg102−lg98=−1.9912≈18.
故选：B.
由题意可得(1+2%)na=2(1−2%)na，则nlg1.02=lg2+nlg0.98，然后结合对数的运算求解．
本题考查了对数的运算，属中档题．
10.【答案】C
【解析】解：由定义得R(A)=2，结合A*B=1，可知R(B)=1或R(B)=3，
由方程(x2+ax)(x2+ax+2)=0，得x2+ax=0或x2+ax+2=0，
当R(B)=1时，方程(x2+ax)(x2+ax+2)=0只有一个实数根，
而方程x2+ax=0有一根为0，则另一根必为0，−a=0，此时x2+ax+2=0无实根，因此a=0.
当R(B)=3时，必有a≠0，方程x2+ax=0有两个不相等的实数根x1=0，x2=−a，
并且x1=0，x2=−a都不是方程x2+ax+2=0的根，
显然方程x2+ax+2=0有两个相等的实数根，且异于x1=0，x2=−a，于是Δ=a2−8=0，解得a=2 2或−2 2.
当a=2 2时，方程(x2+ax)(x2+ax+2)=0的根为0,−2 2，− 2，满足题意，
当a=−2 2时，方程(x2+ax)(x2+ax+2)=0的根为0,2 2， 2，满足题意，
因此a=2 2或a=−2 2，所以S={0,−2 2,2 2}，故R(S)=3.
故选：C.
根据给定条件可得R(B)=1或R(B)=3，然后由集合B中的方程的根的个数，对参数a进行分类讨论，求得实数a的所有可能取值，即可得到本题的答案．
本题主要考查元素与集合的关系判断、函数的零点与方程根及其应用，考查了计算能力、分类讨论的数学思想，属于中档题．
11.【答案】{x|0【解析】解：对于函数f(x)=lgx+ 4−x，应有x>04−x≥0.
求得0故答案为：{x|0由题意，利用对数函数、偶次根式的性质，求得函数的定义域．
本题主要考查对数函数、偶次根式的性质，属于基础题．
12.【答案】0(答案不唯一)
【解析】解：当“关于x的不等式x2−ax+2a>0在R上恒成立”为假命题时，
命题“存在a，使不等式x2−ax+2a≤0”为真命题，
记f(x)=x2−ax+2a，则f(x)的最小值小于或等于0，
即f(a2)≤0，a24−a⋅a2+2a≤0，整理得a2−8a≥0，即a≤0或a≥8，
因此，a的取值范围是(−∞,0]∪[8,+∞)，符合题意的a的一个取值为a=0.
故答案为：0(答案不唯一).
根据“关于x的不等式x2−ax+2a>0在R上恒成立”为假命题，可知存在a值，使不等式x2−ax+2a≤0，从而利用二次函数的性质算出a的取值范围，可得答案．
本题主要考查一元二次不等式的解法、含有量词的命题及其否定、二次函数的性质等知识，属于基础题．
13.【答案】(−∞,1]
【解析】解：关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，
等价于函数f(x)与函数y=k的图象有两个不同的交点，
作出函数的图象如下：
由图可知实数k的取值范围是(−∞,1].
故答案为：(−∞,1].
原问题等价于函数f(x)与函数y=k的图象有两个不同的交点，在同一个坐标系中作出两个函数的图象可得答案．
本题考查根的存在性和个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．
14.【答案】1−1
【解析】解：f(x)=2cs2x−sinx，
则f(π6)=34×2−12=1；
又−1≤sinx≤1，
∴f(x)=−2sin2x−sinx+2=−2(sinx+14)2+178，
当sinx=1时，f(x)取得最小值，为−1.
故答案为：1；−1.
利用特殊角的三角函数值可求得f(π6)的值，再利用三角函数的性质可求得f(x)的最小值．
本题考查了三角函数的最值，考查运算能力，属于基础题．
15.【答案】②③④
【解析】解：对于①，y=csh(x)=ex+e−x2的定义域为R，
csh(−x)=ex+e−x2=csh(x)，故函数y=csh(x)是偶函数；
y=csh(x)=ex+e−x2≥2 ex⋅e−x2=1，当且仅当x=0时取等号，
即函数y=csh(x)的最小值为1，故①错误；
对于②，y=sinh(x)=ex−e−x2的定义域为R，
sinh(−x)=e−x−ex2=−sinh(x)，所以函数y=sinh(x)是奇函数，
由复合函数的单调性可知函数y=−e−x是增函数，
所以函数y=sinh(x)在R上单调递增，故②正确；
对于③，y=tanh(x)=sinh(x)csh(x)=ex−e−x2ex+e−x2=ex−e−xex+e−x=e2x−1e2x+1=1−2e2x+1，
由复合函数的单调性可知该函数在R上单调递增；
因为e2x>0，所以e2x+1>1，所以−1<1−2e2x+1<1，故函数的值域为(−1,1)，故③正确；
对于④，因为直线y=t与函数y=csh(x)和y=sinh(x)的图象共有三个交点，
y=sinh(x)在R上单调递增，且值域为R，
所以直线y=t与函数y=csh(x)有两个交点，函数y=csh(x)是偶函数，则t>1，
所以x1+x2=0，由e−x−ex2>1，解得ex>1+ 2，得x3>ln(1+ 2)，
所以x1+x2+x3>ln(1+ 2)，故④正确．
故答案为：②③④．
对于①，利用偶函数的定义判断即可，利用基本不等式求函数的最小值，即可判断；
对于②，利用奇函数的定义判断即可，利用复合函数单调性判断即可；
对于③，对函数式化简为1−2e2x+1，利用复合函数判断单调性，根据指数函数的值域和不等式的性质求出值域，即可判断；
对于④，根据函数的单调性和奇偶性可得出t>1，x1+x2=0，可得e−x−ex2>1，解此不等式即可判断．
本题考查对新定义的理解，函数图像和性质，属中档题．
16.【答案】解：(I)当a=0时，A={x|−1≤x≤10}，∁RA={x|x<−1或x>10}，
因为x2−4x−21≤0，所以B={x|−3≤x≤7}，所以A∪B={x|−3≤x≤10}.
(Ⅱ)由(I)知B={x|−3≤x≤7}，又A⊆B，
所以a−1≤−3a+10≥7，解得：−3≤a≤−2，
所以实数a的取值范围为[−3,−2].
【解析】(Ⅰ)先求出集合A，B，然后结合集合的补集及并集运算即可求解；
(Ⅱ)结合集合的包含关系即可求解．
本题主要考查了集合的补集运算及集合包含关系的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(I)函数f(x))=2|x|=2x,x≥0(12)x,x<0，图象如下：
f(x)的值域为[1,+∞),单调递减区间为(−∞,0],单调递增区间为[0,+∞).
(Ⅱ)2|x|≥16，即2|x|≥24，
可得|x|≥4，即x≥4，或x≤−4.
所以该不等式的解集为{x|x≤−4或x≥4}.
(Ⅲ)由f(x)≥a2−a+1可得，f(x)min≥a2−a+1，
又f(x)min=1，所以a2−a+1≤1，解得0≤a≤1，
故a的范围为{a|0≤a≤1}.
【解析】(Ⅰ)先对已知函数进行化简，然后结合指数函数的图象及性质即可求解；
(Ⅱ)结合指数函数的单调性即可求解；
(Ⅲ)由不等式恒成立与最值关系的转化即可求解．
本题主要考查了指数函数的图象及性质的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(I)由题意可得：点P的坐标为(35,45)，点Q的坐标为(−35,45)，
由三角函数的定义可得：csα=35，sinα=45，csβ=−35，sinβ=45，
所以cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=35×(−35)+45×45=725.
(Ⅱ原式=csα+sinβ−sinα−csβ=35+45−45+35=−7.
【解析】(Ⅰ)由三角函数的定义和两角差的余弦公式计算即可；
(Ⅱ)由诱导公式化简后代值计算即可．
本题考查三角函数的定义和三角恒等变换，属于基础题．
19.【答案】解：f(x)= 3sinωxcsωx+cs2ωx−12= 32sin2ωx+1+cs2ωx2−12，
= 32sin2ωx+12cs2ωx=sin(2ωx+π6).
选条件①，f(π6)=sin(π3ω+π6)=1，
所以π3ω+π6=π2+2kπ，所以ω=1+6k(k∈Z).
(I)因为0<ω<2，所以ω=1.
(Ⅱ)由(I)得f(x)=sin(2x+π6)，
由−π2+2k1π≤2x+π6≤π2+2k1π(k1∈Z)得，−π3+k1π≤x≤π6+k1π，
所以f(x)的单调递增区间是[−π3+k1π,π6+k1π](k1∈Z).
(Ⅲ)当x0∈[0,m]时，2x0+π6∈[π6,2m+π6]，
因为f(x0)=−1时，2x0+π6=−π2+2k2π(k2∈Z)，
所以∃x0∈[0,m]，f(x0)=−1时，2m+π6≥3π2，所以m≥2π3，
所以实数m的取值范围是[2π3,+∞).
选条件②，有sin(5π6ω+π6)=0，所以5π6ω+π6=kπ(k∈Z)，
所以ω=−15+65k，
(I)因为0<ω<2，所以ω=1.
(Ⅱ)由(I)得f(x)=sin(2x+π6)，
由−π2+2k1π≤2x+π6≤π2+2k1π(k1∈Z)得，−π3+k1π≤x≤π6+k1π，
所以f(x)的单调递增区间是[−π3+k1π,π6+k1π](k1∈Z).
(Ⅲ)当x0∈[0,m]时，2x0+π6∈[π6,2m+π6]，
因为f(x0)=−1时，2x0+π6=−π2+2k2π(k2∈Z)，
所以∃x0∈[0,m]，f(x0)=−1时，2m+π6≥3π2，所以m≥2π3，
所以实数m的取值范围是[2π3,+∞).
选条件③，有π是f(x)的周期，设f(x)的最小正周期为T，则π=kT(k∈Z)，
所以π=k2π2ω，所以ω=k，
(I)因为0<ω<2，所以ω=1.
(Ⅱ)由(I)得f(x)=sin(2x+π6)，
由−π2+2k1π≤2x+π6≤π2+2k1π(k1∈Z)得，−π3+k1π≤x≤π6+k1π，
所以f(x)的单调递增区间是[−π3+k1π,π6+k1π](k1∈Z).
(Ⅲ)当x0∈[0,m]时，2x0+π6∈[π6,2m+π6]，
因为f(x0)=−1时，2x0+π6=−π2+2k2π(k2∈Z)，
所以∃x0∈[0,m]，f(x0)=−1时，2m+π6≥3π2，所以m≥2π3，
所以实数m的取值范围是[2π3,+∞).
【解析】(Ⅰ)结合二倍角公式，辅助角公式对已知函数解析式进行化简，结合所选条件可求ω；
(Ⅱ)结合正弦函数的单调性即可求解；
(Ⅲ)先由x0的范围求出2x0+π6的范围，然后结合正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
20.【答案】解：(I)由题意得f(15)=32，所以30+k15=32，
解得k=30；
(Ⅱ)根据表中数据以及g(x)=a|x−m|+b，可知a>0，当x=m时，g(x)取得最小值，
则m=20，g(20)=645，g(25)=650，
则a|20−20|+b=645a|25−20|+b=650，解得a=1，b=645，
所以g(x)=|x−20|+645，其中1≤x≤30，x∈N；
(Ⅲ)由(I)(Ⅱ)可知M(x)=f(x)g(x)=(30+30x)(|x−20|+645)，1≤x≤30，x∈N，
当1≤x≤20时，M(x)=30(1+1x)(−x+665)=30(665x−x+664)，
可知M(x)在区间1≤x≤20，x∈N上单调递减，
所以当1≤x≤20时M(x)的最小值为M(20)=20317.5，
当20因为625x+x≥2 625x⋅x=50，当且仅当x=25时，等号成立，
所以当20综上所述，当x=25时，该月日销售收入的最小值为20280元．
【解析】(Ⅰ)将x=15，y=32代入f(x)=30+kx，即可求得答案；
(Ⅱ)结合表格中数据确定m的值，再解方程，即可求得答案；
(3Ⅲ)求出M(x)的表达式，讨论x的取值范围，结合函数单调性以及基本不等式，即可求得答案．
本题考查利用函数单调性求最值或值域，利用给定函数模型解决实际问题，基本不等式求和的最小值等问题，属于中档题．
21.【答案】解：(I)不是．
令1∈A，4∈B，则1+4=5∈C，由“6−无和划分”的定义可得：A，B，C不是“6−无和划分”．
(Ⅱ)证明：(i)假设存在m，k∈C(m设B中最小的元素为b，则b≥2，所以i∈A，其中i=1，2，3，⋯，b−1，
若m0−b∈A，m0+1−b∈A，则与b∈B，m0，m0+1∈C矛盾，故m0−b∉A，m0+1−b∉A，
若m0+1−b∈B，则与b−1∈A，m0∈C矛盾，故m0+1−b∉B，所以m0+1−b∈C，
因为m0−b所以m0−b∈Bm0+1−b∈C，这与1∈A矛盾．
故假设不成立，即原命题成立．
证明：(ii)因为A，B，C是“n−无和划分”，且存在i，j∈C，使得j=i+2，记i的最小值为i0，所以i0∈C，i0+2∈C；
由(i)知，i0−2∈C，i0−1∈C，i0+1∈C，i0+3∉C，
因为1∈A，所以i0−1∈A，i0+1∈A，所以3∉B，
设B中最小的元素为b，若b≠2，则b≥4，所以i1∈A，其中i1=1，2，⋯，b−1，
所以i0−b∉A，i0+2−b∉A，否则与b∈B，i0，i0+2∈C矛盾，
所以i0+2−b∉B，否则i0+2−b∈B与b−2∈A，i0∈C矛盾，
所以i0+2−b∈C，又因为i0−b和i0+2−b不同属于C，所以i0−b∈B，
这与2∈A，i0+2−b∈C矛盾，所以b=2，即2∈B，
所以3∉C，所以3∈A，
所以5∉C，i0−3∉B，所以i0−3∉C(否则与i0−1∈A，2∈B矛盾)，所以i0−3∈A.
若5∈B，则与i0−3∈A和i0+2∈C矛盾，所以5∈A，所以7∉C，
i0−5∉B，否则与5∈A，i0∈C矛盾；
i0−5∉C，否则与i0−3∈A，2∈B矛盾，所以i0−5∈A.
以此类推，对于任意奇数t所以i0为偶数，否则i0−2∈A，与2∈B和i0∈C矛盾，
所以i0−t，i0+1均为奇数．
因为i0+3∉C，所以i0+3∉B，否则与3∈A，i0∈C矛盾，所以i0+3∈A，
所以i0+5∉C，所以i0+5∉B，否则与5∈A，i0∈C矛盾，所以i0+5∈A，
以此类推，对于任意大于i0，小于或等于n的奇数都属于集合A.
综上所述，Ω中的所有奇数都属于集合A.
故原命题得证．
【解析】(I)可取1∈A，4∈B，则1+4=5∈C，判断即可求解；
(Ⅱ)(i)假设存在m，k∈C(m(ii)利用A，B，C是“n−无和划分”，分别设出存在i，j∈C，使得j=i+2，记i的最小值为i0，然后分类讨论不同的i0−t情况，从而可求解．
本题考查集合的新定义，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．x
15
20
25
30
g(x)
650
645
650
655