2022-2023学年北京市丰台区高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年北京市丰台区高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在等差数列{an}中，a1=1，an−an−1=2(n≥2)，则a6=( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
2.已知P(A)=12,P(AB)=13，那么P(B|A)=( )
A. 16B. 13C. 23D. 56
3.如图所示的三角形图案是谢尔宾斯基三角形.已知第n个图案中黑色与白色三角形的个数之和为an，数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1(n≥1)，那么下面各数中是数列{an}中的项的是( )
A. 121B. 122C. 123D. 124
4.已知某生物技术公司研制出一种新药，并进行了临床试验，该临床试验的成功概率是失败概率的2倍.若记一次试验中成功的次数为X，则随机变量X的数学期望为( )
A. 23B. 12C. 13D. 16
5.用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积V(r)随着气球半径r的增大而增大.当半径r=1时，气球的体积V(r)=43πr3相对于r的瞬时变化率为( )
A. 43πB. 2πC. 4πD. 8π
6.某人需要先从A地到B地，再同站转车赶到C地，他能够选择的高铁车次的列车时刻表如下表所示，那么此人这天乘坐高铁列车从A地到C地不同的乘车方案总数为( )
A地至B地高铁列车时刻表
B地至C地高铁列车时刻表
A. 9B. 6C. 4D. 3
7.正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.假设随机变量X∼N(μ,σ2)，可以证明，对给定的k∈N*，P(μ−kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值，部分结果如图所示：
通过对某次数学考试成绩进行统计分析，发现考生的成绩ξ基本服从正态分布ξ∼N(105,102).若共有1000名考生参加这次考试，则考试成绩在(105,125)的考生人数大约为( )
A. 341B. 477C. 498D. 683
8.设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.若S3=7，S6=63，则q=( )
A. 18B. 12C. 2D. 8
9.2023年5月18日至19日，首届中国-中亚峰会在陕西西安成功举行.峰会期间，甲、乙、丙、丁、戊5名同学承担A，B，C，D共4项翻译工作，每名同学需承担1项翻译工作，每项翻译工作至少需要1名同学，则不同的安排方法有( )
A. 480种B. 240种C. 120种D. 45种
10.设函数f(x)=x2−(a+1)x+2a,x<1,a|x−2|,x≥1.给出下列四个结论：
①当a<0时，函数f(x)有三个极值点；
②当0③∀a∈R，x=2是函数f(x)的极小值点；
④∀a∈R，x=a+12不是函数f(x)的极大值点.
其中，所有正确结论的序号是( )
A. ①②B. ②③C. ①④D. ②④
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.(x−1x)6的展开式中的常数项是：______.(请用数字作答)
12.某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.80，0.20.设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为______.
13.已知函数f(x)=xe−x+1在区间[0,m]上单调递增，则m的最大值为______.
14.投掷一枚质地并不均匀的硬币，结果只有正面和反面两种情况，记每次投掷结果是正面的概率为p(015.设n是正整数，且n≥2，数列{ak}，{bk}满足：a1=a(a>0)，ak+1=ak+ak2n(k=1,2,⋅⋅⋅,n−1)，bk=1ak+n(k=1,2,⋅⋅⋅,n)，数列{bk}的前k项和为Sk.给出下列四个结论：①数列{ak}为单调递增数列，且各项均为正数；②数列{bk}为单调递增数列，且各项均为正数；③对任意正整数，k∈{1,2,⋅⋅⋅,n−1}，Sk=1a−1ak+1；④对任意正整数k∈{1,2,⋅⋅⋅,n}，Sk<1.其中，所有正确结论的序号是__________.
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
已知函数f(x)=x3+ax2+b在x=−2时取得极大值4.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)在区间[−3,1]上的最值.
17.(本小题13分)
如图是我国2014年至2022年65岁及以上老人人口数(单位：亿)的折线图.
注：年份代码1−9分别对应年份2014−2022.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数(结果精确到0.01)加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，并预测2023年我国65岁及以上老人人口数(单位：亿).
参考数据：i=19yi=15.41,i=19tiyi=82.57, i=19(yi−y−)2=0.72, 15≈3.873.
参考公式：相关系数r=i=1n(ti−t−)(yi−y−) i=1n(ti−t−)2 i=1n(yi−y−)2=i=1ntiyi−nt−y− i=1n(ti−t−)2 i=1n(yi−y−)2.
回归方程y =a +b t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =i=1n(ti−t−)(yi−y−)i=1n(ti−t−)2，a =y−−b t−.
18.(本小题14分)
数列{an}的前n项和为Sn，其中n∈N*，a1=1.从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得数列唯一确定，并解答以下问题：
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=an+2n，求b1+b2+b3+⋯+bn.
条件①：an+1=an+2；条件②：2an+1=an+an+2；条件③：Sn=n2+c(c∈R).
注：如果选择条件①、条件②、条件③分别作答，按第一个解答计分.
19.(本小题14分)
2023年4月18日至27日，第二十届上海国际汽车工业展览会在上海国家会展中心举行，本次展会以“拥抱汽车行业新时代”为主题在今年的展会中，社会各界不仅能看到中国市场的强大活力，也能近距离了解各国产汽车自主品牌在推动“智电化”和可持续发展进程中取得的最新成果，为了解参观者对参展的某款国产新能源汽车的满意度，调研组从这款新能源汽车的参观者中随机抽取了50名参观者作为样本进行问卷测评，记录他们的评分，问卷满分100分.问卷结束后，将数据分成6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如图频率分布直方图.
(1)求图中的a的值；
(2)在样本中，从分数在60分以下的参观者中随机抽取3人，用X表示分数在[50,60)中的人数，求X的分布列及数学期望；
(3)在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组参观者评分的平均数，估计本次车展所有参观者对这款新能源汽车评分的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m与n的大小关系.(直接写出结果)
20.(本小题15分)
已知函数f(x)=ex−ax−1(a∈R).
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性；
(3)判断e0.01与1.01的大小关系，并说明理由.
21.(本小题15分)
正实数构成的集合A={a1,a2,⋯,an}(n≥2)，定义A⊗A={ai⋅aj|ai,aj∈A,且i≠j}.当集合A⊗A中的元素恰有n(n−1)2个数时，称集合A具有性质Ω.
(Ⅰ)判断集合A1={1,2,4}，A2={1,2,4,8}是否具有性质Ω；
(Ⅱ)若集合A具有性质Ω，且A中所有元素能构成等比数列，A⊗A中所有元素也能构成等比数列，求集合A中的元素个数的最大值；
(Ⅲ)若集合A具有性质Ω，且A⊗A中的所有元素能构成等比数列.问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意可知：数列{an}是以首项为1，公差为2的等差数列，
所以a6=1+(6−1)×2=11.
故选：B.
根据等差数列的通项公式运算求解．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为P(A)=12,P(AB)=13，
所以P(B|A)=P(BA)P(A)=1312=23，故A，B，D错误．
故选：C.
利用条件概率的计算公式求解即可．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为a1=1，an+1=3an+1(n≥1)，所以an+1+12=3(an+12)，
所以数列{an+12}是以32为首项，3为公比的等比数列，
所以an+12=32×3n−1，所以an=3n−12，
对于A，当an=3n−12=121时，3n=243，解得n=5，故A正确；
对于B，当an=3n−12=122时，3n=245，此时n∉N+，故B错误；
对于C，当an=3n−12=123时，3n=247，此时n∉N+，故C错误；
对于D，当an=3n−12=124时，3n=249，此时n∉N+，故D错误．
故选：A.
根据已知，利用构造法以及等比数列求数列{an}的通项，再根据选项进行计算求解．
本题主要考查数列的递推式，考查转化能力，属于中档题．
4.【答案】A
【解析】解：试验成功的概率为p+p2=1，解得：p=23；
记一次试验中成功的次数为X，则X的取值有0，1，
P(X=0)=13，P(X=1)=23，
则随机变量X的数学期望E(X)=0×13+1×23=23.
故选：A.
求出试验成功的概率，然后一次试验中成功的次数为X概率，最后求出随机变量X的数学期望即可；
本题主要考查离散型随机变量期望的求解，考查转化能力，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：由球的体积公式可得V=43πr3，得V′=4πr2，
所以r=1时，体积关于半径的瞬时变化率为V′=4π×12=4π.
故选：C.
球的体积公式为V=43πr3，对其求导并代入r=1计算即可
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：若乘G87车次，到站8：01，则B到C的3辆高铁都可以乘坐，
若乘G91车次，到站8：56，则B到C的3辆高铁只有G653和G501两个车次能乘坐，
若乘G93车次，到站10：01，则B到C的3辆高铁只有G501可以乘坐，
则此人这天乘坐高铁列车从A地到C地不同的乘车方案总数为3+2+1=6.
故选：B.
分别讨论A到B车次到站时间，然后判断从B到C地高铁能乘坐的车次进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用分类计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题．
7.【答案】B
【解析】解：ξ基本服从正态分布ξ∼N(105,102)，则μ=105，σ=10，
则125=105+20，符合2σ原则，
则P(105<ξ<125)=12P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=12×0.9545，
则1000名考生成绩在(105,125)的考生人数大约为：1000×12×0.9545≈477.
故选：B.
根据已知，成绩在(105,125)的概率符合2σ原则，直接可得．
本题考查正态分布，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：当q=1时，因为S3=7，S6=63，所以{3a1=76a1=63，不成立．
当q≠1时，因为S3=7，S6=63，所以{a1(1−q3)1−q=7a1(1−q6)1−q=63，
两式相除得1−q61−q3=1+q3=9，
所以q=2.
故选：C.
根据等比数列求和公式，然后相比即可求答案．
本题主要考查等比数列求和公式，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】解：首先把5名同学转化成4组，然后分给4项翻译工作，
第一步：从5名同学中任意取出2名捆绑成1组，有C52种方法，
第二步：再把4组分给4项翻译工作，有A44种方法，
由乘法原理，共有C52A44=240(种)方法．
故选：B.
先用捆绑法分组，再排列求解即可；
本题主要考查了排列组合知识，考查了分步乘法计数原理的应用，属于基础题．
10.【答案】D
【解析】解：对于①，不妨取a=−1，此时f(x)=x2−2,x<1−|x−2|,x≥1，作出函数f(x)图像如图：
此时函数有2个极值点x=0，x=2，故①错误；
对于②，当0f(x)在(−∞,a+12)单调递减，在(a+12,1)单调递增，
在(1,2)上单调递减，在(2,+∞)单调递增，
此时函数f(x)有3个极值点：x1=a+12，x2=1，x3=2，②正确；
对于③，由①的分析可知，a=−1时，x=2是函数f(x)的极大值点，③错误；
对于④，由以上分析可知当a<1时，a+12<1，
且x=a+12为y=x2−(a+1)x+2a的对称轴，
此时x=a+12为函数f(x)的极小值点，
当a≥1时，a+12≥1，此时f(x)在(−∞,1)上单调递减，在[1,2]上也单调递减，
在(2,+∞)上单调递增，x=a+12不是函数f(x)的极大值点，
故∀a∈R，x=a+12不是函数f(x)的极大值点，④正确，
故选：D.
取特殊值a=−1，结合函数图象可判断①③；作出函数图象，数形结合可判断②；讨论a的取值范围，结合函数图象，可判断④．
本题考查导数的综合应用，考查极值点，属于中档题．
11.【答案】−20
【解析】解：(x−1x)6展开式的通项公式为Tr+1=C6rx6−r(−x−1)r=(−1)rC6rx6−2r，
令6−2r=0，解得r=3，
故(x−1x)6的展开式中的常数项是(−1)3C63=−20.
故答案为：−20.
先求出(x−1x)6展开式的通项公式，令6−2r=3，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
12.【答案】0.014
【解析】解：设事件A表示“取到的是一只次品”，事件Bi(i=1,2)表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”，
则P(B1)=0.8，P(B2)=0.2，P(A|B1)=0.01，P(A|B2)=0.03，
由全概率公式可得：P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)
=0.01×0.8+0.03×0.2=0.014，
即在仓库中随机取一只元件，则它是次品的概率为0.014.
故答案为：0.014.
记事件A表示“取到的是一只次品”，事件Bi(i=1,2)表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”，利用全概率公式可求得结果；
本题主要考查全概率公式，属于基础题．
13.【答案】1
【解析】解：由于函数f(x)=xe−x+1，故f′(x)=(1−x)e−x+1，
令f′(x)=(1−x)e−x+1≥0，等号仅在x=1时取得，
而e−x+1>0，故x≤1，
即f(x)=xe−x+1在(−∞,1]上单调递增，
故函数f(x)=xe−x+1在区间[0,m]上单调递增，则m的最大值为1，
故答案为：1.
求出函数的导数，令f′(x)>0可求得函数的单调增区间，结合题意即可求得答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】C102p2(1−p)8 0.2
【解析】解：10次的结果恰有2次是正面的概率为f(p)=C102p2(1−p)8，
因此f′(p)=C102[2p(1−p)8−8p2(1−p)7]=2C102p(1−p)7(1−5p)，
令f′(p)=0，得p=0.2，
当p∈(0,0.2)时，f′(p)>0；当p∈(0.2,1)时，f′(p)<0，
所以f(p)在(0,0.2)上单调递增，在(0.2,1)上单调递减，
当p=0.2时，函数f(p)取最大值．
故答案为：C102p2(1−p)8；0.2.
利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得f(p)=C102p2(1−p)8，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点．
本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．
15.【答案】①③④
【解析】【分析】
本题主要考查数列的单调性和递推关系及求和，考查转化能力，属于较难题．
由ak+1−ak=ak2n>0和a1>0可确定①正确；由bk+1−bk<0知②错误；根据已知等式可得1n⋅akak+1=1ak−1ak+1及ak+1ak=ak+nn，推导得到bk=1ak−1ak+1，加和可得③正确；由已知等式可推导得到1ak+1−1ak>−1n，累加得到1ak+1>1a−1，进而得到Sk<1，知④正确．
【解答】
解：对于①，，∵a1=a(a>0)，∴ak+1−ak=ak2n>0，∴数列{ak}为单调递增数列，
∵a1>0，∴ak>0，即数列{ak}各项均为正数，①正确；
对于②，bk+1−bk=1ak+1+n−1ak+n=ak−ak+1(ak+1+n)(ak+n)，
由①知：ak+1+n>0，ak+n>0，ak−ak+1<0，∴数列{bk}单调递减数列，②错误；
对于③，由ak+1=ak+ak2n得：ak2n=ak+1−ak，∴1n⋅akak+1=1ak−1ak+1
又ak+1ak=1+akn=ak+nn，∴bk=1ak+n=aknak+1=1ak−1ak+1，
∴Sk=1a1−1a2+1a2−1a3+⋅⋅⋅+1ak−1ak+1=1a1−1ak+1=1a−1ak+1，③正确；
对于④，由ak+1=ak+ak2n得：1ak+1=nak(ak+n)=1ak−1ak+n，
∴1ak+1−1ak=−1ak+n>−1n，
∴1ak+1=(1ak+1−1ak)+(1ak−1ak−1)+⋅⋅⋅+(1a2−1a1)+1a1>1a−1，
∴−1ak+1<1−1a，∴1a−1ak+1<1a+1−1a=1，即Sk<1，④正确．
故答案为：①③④．
16.【答案】解：(1)f′(x)=3x2+2ax，由题意得f′(−2)=3×4−4a=0f(−2)=−8+4a+b=4，解得a=3，b=0，
此时f(x)=x3+3x2，f′(x)=3x2+6x=3x(x+2)，
当x∈(−∞,−2)时，f′(x)>0，所以f(x)在(−∞,−2)单调递增，
当x∈(−2,0)时，f′(x)<0，所以f(x)在(−2,0)单调递减，
当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，
所以f(x)在x=−2时取得极大值．
所以a=3，b=0.
(2)由(1)可知，f(x)在[−3,−2)单调递增，在(−2,0)单调递减，在(0,1]单调递增．
又因为f(−3)=0，f(−2)=4，f(0)=0，f(1)=4，
所以函数f(x)在区间[−3,1]上的最大值为4，最小值为0.
【解析】(1)先求导，根据f′(−2)=0f(−2)=4，解方程组求出a，b的值；
(2)根据函数f(x)在区间[−3,1]上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值．
本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：
因为i=19yi=15.41,i=19tiyi=82.57， i=19(yi−y−)2=0.72，所以y−=i=19yi9=15.419，
t−=1+2+3+4+5+6+7+8+99=5，i=19(ti−t−)2=(1−5)2+(2−5)2+⋯⋯+(9−5)2=60，
所以i=19(ti−t−)(yi−y−)=i=19tiyi−9t−y−=82.57−9×5×15.419=5.52，
r≈5.522×3.873×0.72≈0.99，
∵0.99>0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系．
(2)由(1)，结合题中数据可得，
b =i=19(ti−t−)(yi−y−)i=19(ti−t−)2=i=19tiyi−9t−y−i=19(ti−t−)2=5.5260=0.092，
y−=i=19yi9=15.419≈1.712，
a =y−−b t−=1.712−0.092×5≈1.25，
∴y关于t的回归方程y =0.09t+1.25，
2023年对应的t值为10，故y =0.09×10+1.25=2.15，
预测2023年我国65岁及以上老人人口数2.15亿．
【解析】(1)结合参考数据，求出相关系数，进而可以得出结论；
(2)根据参考公式求出回归直线方程，进而可以根据回归直线方程进行数据估计．
本题主要考查线性回归方程，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)若选择①，an+1=an+2，则an+1−an=2，
即数列{an}是公差为2的等差数列，且a1=1，
所以an=1+2(n−1)=2n−1；
若选择②，2an+1=an+an+2，
则数列{an}是公差为2的等差数列，且a1=1，
所以an=1+2(n−1)=2n−1；
若选择③，Sn=n2+c(c∈R)，由a1=S1=1+c=1，得c=0，
即Sn=n2，
n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−(n−1)2=2n−1，
且当n=1时，a1=2×1−1=1，成立，
所以an=2n−1,n∈N*.
(2)由(1)可知，an=2n−1，
bn=2n−1+2n，
b1+b2+⋯+bn=(1+3+5+⋯+2n−1)+(2+4+⋯+2n)，
=n(1+2n−1)2+2(1−2n)1−2=n2+2n+1−2.
【解析】(1)若选择①②，可判断数列{an}是公差为2的等差数列，即可求解通项公式，若选择③，根据a1=S1，求c后，再根据数列an与Sn的关系，即可求通项公式；
(2)利用等差和等比数列的前n项和公式，即可求和．
本题主要考查数列的求和，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题意可得，(0.004+0.012+0.014+0.024+0.028+a)×10=1，
解得a=0.018；
(2)由题意可得，分数在60(分)以下的参观者人数为(0.004+0.012)×10×50=8人，
因为0.004：0.012=1：3，所以在[40,50)中人数有2人，在[50,60)中人数有6人，
故随机变量X的所有可能取值为1，2，3，
P(X=1)=C22C61C83=328，
P(X=2)=C21C62C83=1528，
P(X=3)=C63C83=514，
所以X的分布列为：
故E(X)=1×328+2×1528+3×514=94；
(3)平均数m=45×0.04+55×0.12+65×0.14+75×0.24+85×0.28+95×0.18=76.4，
因为0.04+0.12+0.14=0.3<0.5，0.04+0.12+0.14+0.24=0.54>0.5，
所以中位数n∈[70,80),所以(n−70)×0.024=0.5−0.04−0.12−0.14=0.2，
解得n=78.33，故n>m.
【解析】(1)利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，即可求出a的值；
(2)首先求出60(分)以下的参观者人数，[40,50)和[50,60)的参观者人数，得到X的取值，写出变量各个取值对应的概率，进而得出X的分布列及数学期望；
(3)利用平均数的计算公式和中位数的定义，求出平均数和中位数即可比较大小．
本题主要考查离散型随机变量期望的求解，考查转化能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)f′(x)=ex−a，所以k=f′(0)=1−a，
f(0)=0，所以切点为(0,0)，
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=(1−a)x.
(2)定义域为(−∞,+∞)，f′(x)=ex−a
当a≤0时，f′(x)=ex−a>0对x∈R恒成立，
f(x)在(−∞,+∞)上为增函数；
当a>0时，令f′(x)=0，所以ex=a，x=lna，
x∈(−∞,lna)，f′(x)<0，函数单调递减，
x∈(lna,+∞)，f′(x)>0，函数单调递增，
综上所述：当a≤0时，f(x)在(−∞,+∞)上为增函数；
当a>0时，x∈(−∞,lna)，函数单调递减；x∈(lna,+∞)，函数单调递增；
(3)记g(x)=ex−x−1，则g′(x)=ex−1，
当x>0时，g′(x)>0，故g(x)在(0,+∞)上单调递增，
g(0.01)>g(0)，即e0.01−0.01−1>e0−0−1=0，e0.01>1.01，
故有：e0.01>1.01.
【解析】(1)求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程；
(2)求出定义域，求导后，分a≤0与a>0两种情况进行讨论得到函数单调性情况；
(3)构造函数f(x)=ex−x−1，比较判断e0.01与1.01的大小关系．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)A1⊗A1={2,4,8}，A2⊗A2={2,4,8,16,32}，
则A1具有性质Ω；A2不具有性质Ω.
(Ⅱ)当A中的元素个数n≥4时，
不妨设元素依次为a1，a2，⋯，an构成等比数列，则a1an=a2an−1，
其中a1，a2，an−1，an互不相同．
这与A具有性质Ω，A⊗A中恰有Cn2=n(n−1)2个元素矛盾，
即任取A中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同矛盾．
当A中的元素个数恰有3个时，取A={1,2,4}时满足条件，
所以集合A中的元素个数最大值为3.
(Ⅲ)ai>0(i=1,2,⋯,n)，不妨设a1所以a1a2(1)当n>5时，a1a2，a1a3，⋯，an−2an，an−1an构成等比数列，
所以a1a3a1a2=⋯=an−1anan−2an，即a2an−1=a3an−2，其中a2，an−1，a3，an−2互不相同．
这与A⊗A中恰有Cn2=n(n−1)2个元素，
即任取A中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同相矛盾．
(2)当n=5时，a1a2，a1a3，⋯，a3a5，a4a5构成等比数列，第3项是a2a3或a1a4.
①若第3项是a2a3，则a1a3a1a2=a2a3a1a3=⋯=a4a5a3a5，即a3a2=a2a1=⋯=a4a3，
即a2a1=a4a3，所以a2a3=a1a4，与题意矛盾．
②若第3项是a1a4，则a1a3a1a2=a1a4a1a3=⋯=a4a5a3a5，即a3a2=a4a3=⋯=a4a3，
即a3a2=a4a3，所以a2，a3，a4成等比数列，设公比为q，
则A⊗A中等比数列的前三项为：
a1a2，a1a3，a1a4，其公比为q，第四项为a1a2q3，第十项为a1a2q9.
(ⅰ)若第四项为a2a3，则a2a3=a1a2q3，即a2⋅a3a2=a1⋅q3，得a2=a1q2，
又a4a5=a1a2q9，即a5⋅a4a2=a1⋅q9，得a5=a1q7，
此时A中依次为a1,a1q2,a1q3,a1q4,a1q7，显然a1a5=a3a4，不合题意．
(ⅱ)若第四项为a1a5，则a1a5=a1a2q3，得a5=a2q3，又a4a5=a1a2q9，得a2=a1q4，
此时A中依次为a1,a1q4,a1q5,a1q6,a1q7，显然a2a5=a3a4，不合题意．
因此，n≤4.取A={1,2,4,16}满足条件．
所以A中的元素个数最大值是4.
【解析】(Ⅰ)按照定义A⊗A判断即可；(Ⅱ)当n≥4时，判断A⊗A中元素个数即可；(Ⅲ)因为ai>0(i=1,2,⋯,n)，不妨设a1本题考查等比数列的性质，考查集合的新定义，属于难题．车次
发车时间
到站时间
G87
07：00
08：01
G91
07：55
08：56
G93
09：00
10：01
车次
发车时间
到站时间
G2811
08：25
10：31
G653
09：24
11：13
G501
10：26
12：30
X
1
2
3
P
328
1528
514