2023-2024学年北京市房山区高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年北京市房山区高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知A(2,−3)，B(−4,1)，则线段AB中点的坐标为( )
A. (−3,2)B. (3,−2)C. (1,1)D. (−1,−1)
2.某产品按质量分为甲、乙、丙三个级别，从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到甲级品”的概率为0.80，“抽到乙级品”的概率为0.15，则“抽到丙级品”的概率为( )
A. 0.05B. 0.25C. 0.8D. 0.95
3.下列四个函数中，在(0,+∞)上单调递减的是( )
A. y= xB. y=−x2+xC. y=2xD. y=−lg2x
4.设a=lg20.3，b=0.32，c=20.3，则a，b，c的大小关系为( )
A. a5.甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击10次，两人的测试成绩如下表：
甲、乙两人成绩的平均数分别记作x1−，x2−，标准差分别记作s1，s2.则( )
A. x1−>x2−，s1>s2B. x1−C. x1−>x2−，s1s2
6.如图，在△ABC中，点M，N满足AM=MB，BN=3NC，则MN=( )
A. 14AB+34AC
B. 14AB−34AC
C. −14AB+34AC
D. −14AB−34AC
7.在信息论中，设某随机事件发生的概率为P，称lg21p为该随机事件的自信息.若按先后顺序抛掷两枚均匀的硬币，则事件“恰好出现一次正面”的自信息为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
8.对于向量a−，b，“|a|=|a+b|”是“|b|=0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要
9.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%∼100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：S(t)=S0eKt描述血氧饱和度S(t)随给氧时间t(单位：时)的变化规律，其中S0为初始血氧饱和度，K为参数.已知S0=60%，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间(单位：时)为( )
(精确到0.1，参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10)
A. 0.3B. 0.5C. 0.7D. 0.9
10.已知函数f1(x)=2x，f2(x)=2x+1，g1(x)=lgax(a>1)，g2(x)=kx(k>0)，则下列结论正确的是( )
A. 函数f1(x)和f2(x)的图象有且只有一个公共点
B. ∃x0∈R，当x>x0时，恒有g1(x)>g2(x)
C. 当a=2时，∃x0∈(0,+∞)，f1(x0)D. 当a=1k时，方程g1(x)=g2(x)有解
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.823=______；lg4+2lg5=______.
12.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb(λ,μ∈R)，则λ+μ=______.
13.为估计某森林内松鼠的数量，使用以下方法：先随机从森林中捕捉松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上记号后放回森林.再随机从森林中捕捉50只，若尾巴上有记号的松鼠共有5只，估计此森林内约有松鼠______只.
14.已知向量a=( 3,1)，b=(x,y)，若a,b共线，且|b|=1，则向量b的坐标可以是______.(写出一个即可)
15.函数f(x)=(3−a)x−1,x<1lgax,x≥1，若a=4，则f(f(−2))=______；
若函数f(x)是(−∞,+∞)上的增函数，则a的取值范围是______.
16.有一组样本数据x1，x2，…x6，其中x1是最小值，x6是最大值，下面有四个结论：
①x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数；
②x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数；
③x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，…，x6的标准差；
④x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差.
则所有正确结论的序号是______.
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题15分)
设向量a与b不共线.
(Ⅰ)若a=(1,2)，b=(−1,1)，且2a−kb与3a−2b平行，求实数k的值；
(Ⅱ)若AB=a−b，BC=3a+2b，CD=−8a−2b，求证：A，C，D三点共线.
18.(本小题15分)
一个问题，甲正确解答的概率为0.8，乙正确解答的概率为0.7.记事件A：甲正确解答，事件B：乙正确解答.假设事件A与B相互独立.
(Ⅰ)求恰有一人正确解答问题的概率；
(Ⅱ)某同学解“求该问题被正确解答的概率”的过程如下：
请你指出这位同学错误的原因，并给出正确解答过程.
19.(本小题15分)
已知函数f(x)=lg3(2+x)+lg3(2−x).
(Ⅰ)求f(x)的定义域；
(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性，并证明；
(Ⅲ)解关于x的不等式f(x)≥1.
20.(本小题13分)
某校为了调查学生的体育锻炼情况，从全校学生中随机抽取100名学生，将他们的周平均锻炼时间(单位：小时)数据按照[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)用分层抽样的方法从[9,11)和[11,13]两组中抽取了6人.求从这6人中随机选出2人，这2人不在同一组的概率；
(Ⅲ)假设同组中的每个数据用该区间的中点值代替，试估计全校学生周平均锻炼时间的平均数.
21.(本小题12分)
若∃M>0，对∀x∈D，都有|f(x)|≤M成立，则称函数f(x)在D上具有性质f(M).
(Ⅰ)分别判断函数f(x)=2x−2−x+1与g(x)=x+1x−1在区间[2,+∞)上是否具有性质J(M)，如果具有性质J(M)，写出M的取值范围；
(Ⅱ)若函数h(x)=a⋅2x+1−4x在[0,1]上具有性质J(1)，求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】D解：∵A(2,−3)，B(−4,1)，
∴线段AB中点的坐标为(−4+22,−3+12)=(−1,−1)，
故选：D.
直接将A、B两点坐标代入线段中点坐标计算公式求解即可．
本题主要考查线段中点坐标的计算，解题关键在于找准线段两个端点的坐标，为基础题．
2.【答案】A
【解析】解：某产品按质量分为甲、乙、丙三个级别，从这批产品中随机抽取一件进行检测，
设“抽到甲级品”的概率为0.80，“抽到乙级品”的概率为0.15，
则“抽到丙级品”的概率为P=1−0.8−0.15=0.05.
故选：A.
利用互斥事件概率加法公式能求出“抽到丙级品”的概率．
本题考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据幂函数的性质可知，y= x在(0,+∞)上单调递增，不符合题意；
根据二次函数的性质可知，y=−x2+x在(0,+∞)上不单调，不符合题意；
根据指数函数的性质可知，y=2x在(0,+∞)上单调递增，不符合题意；
根据对数函数的性质可知，y=−lg2x在(0,+∞)上单调递减，符合题意．
故选：D.
由已知结合基本初等函数的单调性检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本初等函数单调性的判断，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵lg20.3∵0<0.32<0.30=1，∴0∵20.3>20=1，∴c>1，
∴a故选：A.
利用指数函数和对数函数的单调性求解．
本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，甲成绩的平均数x1−=110(6×1+7×2+8×4+9×2+10×1)=8，
其方差s12=110[(6−8)2×1+(7−8)2×2+(8−8)2×4+(9−8)2×2+(10−8)2×1)]=1.2，
则其标准差s1= 1.2；
甲成绩的平均数x2−=110(6×3+7×2+8×1+9×1+10×3)=7.9，
其方差s22=110[(6−7.9)2×1+(7−7.9)2×2+(8−7.9)2×4+(9−7.9)2×2+(10−7.9)2×1)]=26.9，
则其标准差s2= 26.9；
故x1−>x2−，s1故选：C.
根据题意，计算甲乙两人成绩的平均数和标准差，比较可得答案．
本题考查数据的平均数、标准差的计算，注意平均数、标准差的计算公式，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：因为AM=MB，BN=3NC，
所以MN=BN−BM=34BC−12BA=34(AC−AB)+12AB=−14AB+34AC.
故选：C.
由平面向量的线性运算计算即可．
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：在信息论中，设某随机事件发生的概率为P，称lg21p为该随机事件的自信息．
按先后顺序抛掷两枚均匀的硬币，
事件“恰好出现一次正面”的概率P=12×12+12×12=12，
则事件“恰好出现一次正面”的自信息为lg21P=lg22=1.
故选：B.
利用相互独立事件概率乘法公式、对数性质直接求解．
本题考查相互独立事件概率乘法公式、对数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】B
【解析】解：若|a|=|a+b|，则a2=a2+2a⋅b+b2，
∴2|a|⋅|b|⋅cs+b2=0，∴2|a|⋅cs+|b|=0或|b|=0，
∴|a|=|a+b|是|b|=0的必要不充分条件，
故选：B.
求出|a|=|a+b|的充要条件，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用向量数量积的运算和性质是解决本题的关键，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】解：设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要t−1小时，
由题意可得60eK=80，60eKt=90，两边同时取自然对数并整理，
得K=ln8060=ln43=ln4−ln3=2ln2−ln3，Kt=ln9060=ln32=ln3−ln2，
则t=ln3−ln22ln2−ln3≈1.10−0.692×0.69−1.10≈1.5，则给氧时间至少还需要0.5小时．
故选：B.
依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数．
本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】D
【解析】【分析】
根据函数的单调性，以及函数零点的存在性定理进行逐一判定即可．
本题主要考查了命题真假的判断的应用，以及函数零点的存在性定理，同时考查了学生分析问题的能力．
【解答】
解：选项A：∵f1(x)=2x，f2(x)=2x+1，
∴f1(0)=1，f2(0)=1，f1(2)=4f2(3)=7，
则函数f1(x)和f2(x)的图象有一个交点(0,1)，还有一个交点横坐标在(2,3)上，
故选项A不正确；
选项B：当a=2，k=1时，g1(x)=lg2x故不∃x0∈R，当x>x0时，恒有g1(x)>g2(x)，故选项B不正确；
选项C：当a=2时，f1(x)与g1(x)的图象关于y=x对称，f1(x)的图象恒在直线y=x上方，
g1(x)的图象恒在直线y=x下方，故不存在x0∈(0,+∞)，f1(x0)选项D：由题意可得，当a=1k时，方程g1(x)=g2(x)有解，
即lgax=xa有解，显然x=a是方程的一个解，故选项D正确．
故选：D.
11.【答案】4 2
【解析】解：823=23×23=22=4，
lg4+lg25=lg100=2.
故答案为：4；2.
由已知结合指数幂及对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数幂及对数的运算性质，属于基础题．
12.【答案】3
【解析】解：如图建立平面直角坐标系，
则b=(0,−1)，a=(1,1)，c=(2,1)，
因为c=λa+μb(λ,μ∈R)，
所以2=λ1=λ−μ，解得μ=1λ=2，
所以λ+μ=1+2=3.
故答案为：3.
建立平面直角坐标系，由平面向量的坐标运算和平面向量基本定理建立方程组，求解即可．
本题考查平面向量的坐标运算，平面向量基本定理，属于基础题
13.【答案】1000
【解析】解：设此森林内约有松鼠n只，则100n=550，
解得n=1000.
故答案为：1000.
设此森林内约有松鼠n只，则100n=550，求出n的值即可．
本题主要考查了用样本估计总体，属于基础题．
14.【答案】( 32,12)(或(− 32,−12))
【解析】解：因为a=( 3,1)，b=(x,y)，且a,b共线，|b|=1，
所以 3y−x=0 x2+y2=1，解得x= 32y=12或x=− 32y=−12.
故答案为：( 32,12)(或(− 32,−12)).
利用向量平行的坐标表示和模的坐标表示建立方程组，求解即可．
本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
15.【答案】0[2,3)
【解析】解：∵函数f(x)=(3−a)x−1,x<1lgax,x≥1，
若a=4，则f(x)=−x−1,x<1lg4x,x≥1，
故f(−2)=−(−2)−1=1，f(f(−2))=f(1)=lg41=0；
函数f(x)是(−∞,+∞)上的增函数，
∴3−a>0a>13−a−1≤lga1，解得2≤a<3，即a的取值范围是[2,3).
故答案为：0；[2,3).
直接代入求解即可；根据分段函数单调递增需要满足的条件，列出对应的不等式组即可求解结论．
本题主要考查分段函数的应用，考查计算能力，属于中档题．
16.【答案】①③④
【解析】解：取x1=1，x2=x3=x4=x5=2，x6=9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，
x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为 223= 663，故②不正确，
若x1，x6，偏离平均数较大，去掉它们后，标准差可能减小，
若x1，x6，偏离平均数较小，去掉它们后，标准差可能减小或不变，③正确；
根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，
中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，
故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，
与x1，x2，…，x6的中位数相等，故①正确；
根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故④正确．
故答案为：①③④．
根据中位数，平均数，标准差，极差的定义判断即可．
本题考查特征数的比较，属于中档题．
17.【答案】(Ⅰ)解：由题意，2a−kb=(2+k,4−k)，3a−3b=(5,4)，
∵2a−kb与3a−2b平行，∴4×(2+k)=5×(4−k)，解得k=43；
(Ⅱ)证明：AC=AB+BC=4a+b，CD=−8a−2b，
∵AC=−2CD，∴A，C，D三点共线．
【解析】(Ⅰ)根据向量平行的坐标运算求解；
(Ⅱ)根据向量共线的定义证明即可．
本题考查平面向量的运算，属于基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)一个问题，甲正确解答的概率为0.8，乙正确解答的概率为0.7，
记事件A：甲正确解答，事件B：乙正确解答．假设事件A与B相互独立．
事件“恰有一人正确解答”可表示为A−B+AB−，由A−B，AB−互斥，A与B相互独立，
所以P(A−B+AB−)=P(A−B)+P(AB−)
=P(A−)P(B)+P(A)P(B−)
=0.2×0.7+0.8×0.3
=0.38.
(Ⅱ)该同学错误在于事件A，B不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式．
正确的解答过程如下：
“问题被解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”，
可以表示为A−B+AB−+AB，且A−B,AB−,AB两两互斥，A与B相互独立，
所以P(A−B+AB−+AB)=P(P(A−B)+P(AB−)+P(AB)
=P(A−)P(B)+P(A)P(B−)+P(A)P(B)
=0.2×0.7+0.8×0.3+0.8×0.7
=0.94.
或者P(A+B)=1−P(AB−)=1−P(A−)P(B−)
=1−(1−0.8)(1−0.7)
=0.94.
【解析】(Ⅰ)事件A：甲正确解答，事件B：乙正确解答．假设事件A与B相互独立．事件“恰有一人正确解答”可表示为A−B+AB−，由A−B，AB−互斥，A与B相互独立，能求出恰有一人正确解答问题的概率．
(Ⅱ)该同学错误在于事件A，B不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式．“问题被解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”，可以表示为A−B+AB−+AB，且A−B,AB−,AB两两互斥，A与B相互独立，由此能求出结果．
本题考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：(1)由2+x>02−x>0，解得−2所以函数f(x)的定义域为(−2,2).
(Ⅱ)函数f(x)的定义域为(−2,2)，关于原点对称．
因为f(x)=lg(2+x)+lg(2−x)，
所以f(−x)=lg3(2−x)+lg，(2+x)=f(x).
所以函数f(x)是定义在(−2,2)上的偶函数．
(Ⅲ)由f(x)=lg3(2+x)+lg3(2−x)=lg3(4−x2)，
得lg3(4−x2)≥1，即lg3(4−x2)≥lg33，
所以4−x2≥3，
解得−1≤x≤1，因为函数f(x)的定义域为(−2,2).
因此不等式f(x)≥1的解集为{x|−1≤x≤1}.
【解析】(Ⅰ)结合对数函数的性质即可求解；
(Ⅱ)结合函数奇偶性定义即可判断；
(Ⅲ)结合对数函数的运算性质及单调性即可求解．
本题主要考查了函数定义域的求解，还考查了函数的奇偶性的判断及单调性和奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1，
所以(0.02+0.05+0.1+a+0.18)×2=1，
解得a=0.15；
(Ⅱ)由频率分布直方图可知[9,11)和[11,13]两组的频数的比为：0.1：0.05=2：1，
所以利用分层抽样的方法抽取6人，这两组被抽取的人数分别为4，2，
记[9,11)中的4人为a1，a2，a3，a4，[11,13]中的2人为b1，b2，
从这6人中随机选出2人，
则样本空间Ω={a1a2,a1a3,a1a4,a2a3,a2a4,a3a4,a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2,b1b2}，共15个样本点，
设事件A：选出的2人不在同一组，
则A={a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2}，共8个样本点，
所以P(A)=815；
(Ⅲ)估计全校学生周平均锻炼时间的平均数为(4×0.02+6×0.18+8×0.15+10×0.1+12×0.05)×2=7.92(小时).
【解析】(Ⅰ)利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1求解；
(Ⅱ)利用古典概型的概率公式求解；
(Ⅲ)利用平均数的定义求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
21.【答案】解：(I)因为y=2x在[2,+∞)上是单调递增的函数，y=2−x在[2,+∞)上是单调递减的函数，
所以f(x)=2x−2−x+1在[2,+∞)上是单调递增的函数，所以f(x)≥f(2)=194>0.
任意M>0，当x>lg2M−1+ (1−M)2+42时，|f(x)|=2x−2−x+1>M，
所以函数f(x)=2x−2−x+1在区间[2,+∞)上不具有性质J(M).
因为g(x)=x+1x−1=x−1+2x−1=1+2x−1在区间[2,+∞)上单调递减，
所以g(x)∈(1,3],所以∃M=3，对∀x∈[2,+∞),|g(x)|≤3,
即函数g(x)在区间[2,+∞)上具有性质J(M).
M的取值范围是[3,+∞).
(Ⅱ)因为函数h(x)=a⋅2x+1−4x在[0,1]上具有性质J(1)，
所以对∀x∈[0,1]，都有−1≤h(x)≤1.
h(x)=a⋅2x+1−4x=2a⋅2x−(2x)2，
令t=2x，则对∀t∈[1,2]，都有−1≤2at−t2≤1.
∀t∈[1,2]，都有t2−12t≤a≤t2+12t.
设m(t)=t2−12t,n(t)=t2+12t⇔a≥m(t)max，a≤n(t)min.
因为在区间[1,2]上m(t)=t2−12t单调递增，n(t)=12(t+1t)单调递增．
所以m(t)max=m(2)=34,n(t)min=n(1)=1.
所以34≤a≤1，所以a的取值范围为[34,1].
【解析】(Ⅰ)判断f(x)的单调性，根据性质J(M)的定义判断即可；
(Ⅱ)根据函数h(x)=a⋅2x+1−4x在[0,1]上具有性质J(1)，得到对∀x∈[0,1]，都有−1≤h(x)≤1，再求出a的取值范围即可．
本题考查了函数的单调性，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想和函数思想，属中档题．甲的成绩
环数
6
7
8
9
10
频数
1
2
4
2
1
乙的成绩
环数
6
7
8
9
10
频数
3
2
1
1
3
解：“该问题被正确解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”，所以随机事件“问题被正确解答”可以表示为A+B.所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8+0.7=1.5.