2023-2024学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={−2,1,2,3}，B={x|x=2k,k∈Z}，则A∩B=( )
A. {−2,1}B. {−2,2}C. {1,2}D. {2,3}
2.命题“∀x∈R，都有|x|+x≥0”的否定为( )
A. ∃x∈R，使得|x|+x<0B. ∃x∈R，使得|x|+x≥0
C. ∀x∈R，都有|x|+x≤0D. ∀x∈R，都有|x|+x<0
3.若a，b，c是任意实数，且a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A. a2>b2B. 1a<1bC. ac>bcD. 2a>2b
4.设x∈R，则“x>1”是“x2>1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
5.已知x0是函数f(x)=ex+x3的一个零点，且a∈(−∞,x0)，b∈(x0,0)，则( )
A. f(a)<0，f(b)<0B. f(a)>0，f(b)>0
C. f(a)>0，f(b)<0D. f(a)<0，f(b)>0
6.已知a=(23)12，b=(13)12，c=lg2312，则( )
A. a7.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则( )
A. ω=1,φ=−π4B. ω=1,φ=π4C. ω=2,φ=−π4D. ω=2,φ=π4
8.函数f(x)=|sinx|+csx是( )
A. 奇函数，且最小值为− 2B. 奇函数，且最大值为 2
C. 偶函数，且最小值为− 2D. 偶函数，且最大值为 2
9.已知函数f(x)的图象是在R上连续不断的曲线，f(x)在区间[1,+∞)上单调递增，且满足f(2−x)+f(x)=0，f(2)=3，则不等式−3A. (−2,2)B. (−1,1)C. (0,2)D. (1,3)
10.在一定通风条件下，某会议室内的二氧化碳浓度c随时间t(单位：min)的变化规律可以用函数模型c=c0+λe−tδ近似表达.在该通风条件下测得当t=0，t=5，t=10时此会议室内的二氧化碳浓度，如下表所示，用该模型推算当t=15时c的值约为( )
A. 0.04%B. 0.05%C. 0.06%D. 0.07%
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.函数f(x)=lg(x+1)的定义域是______.
12.已知x>1，则x+1x−1的最小值为______.
13.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，若角α的终边经过点P(−45,35)，角β的终边与角α的终边关于原点对称，则sinα=______，csβ=______.
14.已知函数f(x)=a⋅2x−1的图象过原点，则a=______；若对∀x∈R，都有f(x)>m，则m的最大值为______.
15.将函数f(x)=sin2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象.若函数g(x)的图象关于y轴对称，则φ的一个取值为______.
16.已知函数f(x)=2x+b，g(x)为偶函数，且当x≥0时，g(x)=x2−4x.记函数T(x)=f(x),f(x)≥g(x),g(x),f(x)①当b=0时，T(x)在区间[−2,+∞)上单调递增；
②当b=−8时，T(x)是偶函数；
③当b<0时，T(x)有3个零点；
④当b≥8时，对任意x∈R，都有T(x)>0.
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
已知集合A={x|x2−3x−4≤0}，B={x|x−a>0}.
(Ⅰ)当a=4时，求A∪B；
(Ⅱ)若A∩(∁RB)=⌀，求实数a的取值范围.
18.(本小题13分)
已知α，β为锐角，sinα= 210，tan(α+β)=12.
(Ⅰ)求tanα和tanβ的值；
(Ⅱ)求α+2β的值.
19.(本小题15分)
设函数f(x)=lg2(4x+m)(m>−1).
(Ⅰ)当m=0时，求f(1)的值；
(Ⅱ)判断f(x)在区间[0,+∞)上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论；
(Ⅲ)当x∈[0,+∞)时，f(x)的最小值为3，求m的值.
20.(本小题14分)
设函数f(x)=2cs2ωx+2 3sinωxcsωx+m(ω>0)，且f(0)=1.
(Ⅰ)求m的值；
(Ⅱ)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω的值及f(x)的零点.
条件①：f(x)是奇函数；
条件②：f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离是π；
条件③：f(x)在区间[0,π6]上单调递增，在区间[π6,π3]上单调递减.
注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
21.(本小题15分)
已知集合A={a1,a2,…，an}，其中n∈N*且n≥4，ai∈N*(i=1,2,…，n)，非空集合B⊆A，记T(B)为集合B中所有元素之和，并规定当B中只有一个元素b时，T(B)=b.
(Ⅰ)若A={1,2,5,6,7,8}，T(B)=8，写出所有可能的集合B；
(Ⅱ)若A={3,4,5,9,10,11}，B={b1,b2,b3}，且T(B)是12的倍数，求集合B的个数；
(Ⅲ)若a∈{1,2,3,…，2n−1}(i=1,2,…，n)，证明：存在非空集合B⊆A，使得T(B)是2n的倍数.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={−2,1,2,3}，B={x|x=2k,k∈Z}，
则A∩B={−2,2}.
故选：B.
利用交集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：“∀x∈R，都有|x|+x≥0”的否定为：∃x∈R，使得|x|+x<0.
故选：A.
任意改存在，将结论取反，即可求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵a，b，c是任意实数，且a>b，
∴选项A，如0>−1，则选项A不成立，
选项B，如3>−1，则选项B不成立，
选项C，如c=0，则选项C不成立，
选项D，根据y=2x增函数，则2a>2b，选项D正确，
故选：D.
运用不等式的性质直接求解．
本题考查了比较两数大小的方法，是基础题．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查充要条件的判定方法的应用，考查计算能力．
直接利用充要条件的判定方法判断即可．
【解答】
解：因为“x>1”，则“x2>1”；
但是“x2>1”不一定有“x>1”；
所以“x>1”，是“x2>1”成立的充分不必要条件．
故选：A.
5.【答案】D
【解析】解：因为y=ex，y=x3在R上都为增函数，
所以f(x)=ex+x3在R上递增，
又x0是函数f(x)=ex+x3的一个零点，a∈(−∞,x0)，b∈(x0,0)，
所以f(a)<0，f(b)>0.
故选：D.
先判断函数的单调性，然后结合函数的零点存在定理即可判断．
本题主要考查了函数零点存在定理的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：∵0<(13)12<(23)12<(23)0=1，
∴0∵lg2312>lg2323=1，∴c>1，
∴b故选：C.
利用指数函数和对数函数的单调性求解．
本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由题意得12T=7π4−3π4，
即T=2πω=2π，可得ω=1，
所以f(x)=2sin(x+φ)，
又f(3π4+14T)=f(5π4)=2sin(5π4+φ)=−2，
所以5π4+φ=2kπ+3π2，k∈Z，可得φ=2kπ+π4，k∈Z，
又−π2<φ<π2，
故φ=π4.
故选：B.
先求出函数的周期，可求ω，然后结合特殊点的三角函数值可求φ，即可得解．
本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：∵f(x)=|sinx|+csx，
∴f(−x)=|sin(−x)|+cs(−x)=|sinx|+csx=f(x)，
∴f(x)为偶函数，排除A、B；
∴f(2π+x)=|sin(x+2π)|+cs(x+2π)=|sinx|+csx=f(x)，
∴当x∈[0,π]时，x+π4∈[π4,5π4]，sin(x+π4)∈[− 22,1]，
∴f(x)=sinx+csx= 2sin(x+π4)∈[−1, 2]；①
当x∈(π,2π]时，x+π4∈[5π4,9π4]，cs(x+π4)∈(− 22,1],
∴f(x)=−sinx+csx= 2cs(x+π4)∈(−1, 2]；②
由①②知，f(x)的最小值为−1，最大值为 2，故C错误，D正确．
故选：D.
分析可得f(x)为周期为2π的偶函数，可排除A、B；再对x分x∈[0,π]与x∈(π,2π]两类讨论，利用辅助角公式及正、余弦函数的性质可判断C、D，得到答案．
本题考查了函数奇偶性的性质与判断及三角函数的最值问题，考查综合应用能力，属于中档题．
9.【答案】B
【解析】解：因为f(2−x)+f(x)=0，
所以f(x)=−f(2−x)，
所以y=f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，
又因为f(2)=3，
所以f(0)=−f(2)=−3，
又因为f(x)在区间[1,+∞)上单调递增，
所以f(x)在区间(−∞,1)上单调递增，
作出函数y=f(x)的大致图象，如图所示：
又因为−3所以0解得−1故选：B.
由题意可得y=f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，且在区间(−∞,1)上单调递增，f(0)=−3，作出大致图象，结合图象求解即可．
本题考查了抽象函数的性质、数形结合思想及转化思想，属于中档题．
10.【答案】C
【解析】解：由题可得0.15%=c0+λ0.09%=c0+λe−5δ0.07%=c0+λe−10δ，解得c0=0.06%，λ=0.09%，e−5δ=13，
所以当t=15时，c=0.06%+0.09%e−15δ=0.06%+0.09%×127≈0.06%.
故选：C.
由表格所对数据可求得c0，δ，λ的值，再代入t=15即可求解．
本题考查函数模型在解决实际问题上的应用，属于中档题．
11.【答案】(−1,+∞)
【解析】解：由x+1>0，得x>−1，所以原函数的定义域为(−1,+∞).
故答案为(−1,+∞).
函数给出的是含对数式的复合函数，求其定义域，需保证真数大于0.
本题考查了函数定义域及其求法，解答的关键是保证构成函数式的每一部分都有意义，属基础题．
12.【答案】3
【解析】解：∵x>1，∴x−1>0，
x+1x−1=(x−1)+1x−1+1≥2 (x−1)⋅1x−1+1=3，
当且仅当x=2时，等号成立．
故x+1x−1的最小值为3.
故答案为：3.
直接利用关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．
本题考查了基本不等式性质的应用，属于基础题．
13.【答案】35 45
【解析】解：角α的终边经过点P(−45,35)，
则sinα=35 (−45)2+(35)2=35，同理可得，csα=−45，
角β的终边与角α的终边关于原点对称，
则β=α+π+2kπ，k∈Z，
csβ=cs(α+π+2kπ)=−csα=45.
故答案为：35；45.
根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，以及β=α+π+2kπ，k∈Z，即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
14.【答案】1−1
【解析】解：∵函数f(x)=a⋅2x−1的图象过原点，
∴a−1=0，
∴a=1，
∴f(x)=2x−1，
∵对∀x∈R，2x>0，
∴对∀x∈R，f(x)=2x−1>−1，
∵对∀x∈R，都有f(x)>m，
∴m≤−1，
即m的最大值为−1.
故答案为：1；−1.
由f(0)=0即可求出a的值，由指数函数的性质可得对∀x∈R，f(x)=2x−1>−1，所以m≤−1，进而求出m的最大值．
本题主要考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．
15.【答案】π4(答案不唯一)
【解析】解：函数f(x)=sin2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)=sin(2x+2φ)的图象．若函数g(x)的图象关于y轴对称，
故2φ=kπ+π2，(k∈Z)，整理得φ=kπ2+π4，(k∈Z).
由于φ>0，
故当k=0时，φ=π4.
故答案为：π4(答案不唯一).
首先利用函数的图象的平移变换求出函数g(x)的解析式，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．
本题考查的知识要点：函数图象的平移变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
16.【答案】①③
【解析】解：因为g(x)为偶函数，且当x≥0时，g(x)=x2−4x，
当x<0时，可得g(x)=g(−x)=x2+4x，所以g(x)=x2−4x,x≥0x2+4x,x<0.
对于①，当b=0时，f(x)=2x，令f(x)=g(x)，解得x=0，x=−2，x=6，
如图所示，
T(x)=x2+4x,x<−22x,−2≤x≤2,x2−4x,x>2
结合图象，可得函数T(x)在区间[−2,+∞)上单调递增，所以①正确；
对于②，当b=−8时，可得f(x)=2x−8，
令x2−4x=2x−8，即x2−6x+8=0，解得x=2或x=4，
当x<2时，可得T(x)=g(x)；当2≤x≤4时，可得T(x)=f(x)；
当x>4时，可得T(x)=g(x)，
即T(x)=x2+4x,x<0x2−4x,0≤x<22x−8,2≤x<4x2−4x,x≥4，其中f(−3)=−3，f(3)=−2，所以f(−3)≠f(3)，
所以当b=−8时，函数T(x)不是偶函数，所以②不正确；
对于③，当b<0时，令f(x)=0，即2x+b=0，解得x=−b2>0，
当x<0时，令g(x)=0，即x2+4x=0，解得x=−4，
当x≥0时，令g(x)=0，即x2−4x=0，解得x=0或x=4，
若0<−b2<4时，函数T(x)有三个零点，分别为x=−4，x=0和x=−b2；
若−b2=4时，即b=−8时，函数T(x)有三个零点，分别为x=−4，x=0和x=4；
若−b2>4时，即b<−8时，函数T(x)有三个零点，分别为x=−4，x=0和x=4；
综上可得，当b<0时，函数T(x)有三个零点，所以③正确；
对于④，当x<0时，令g(x)=0，即x2+4x=0，解得x=−4，
将点(−4,0)代入函数y=f(x)，可得2×(−4)+b=0，解得b=8，如图所示，
当b≥8时，函数T(x)≥0，所以④不正确．
故答案为：①③．
根据题意，结合函数f(x)，g(x)的解析式，利用函数的新定义，结合函数的图象、函数的零点的定义，逐项判定，即可求解．
本题考查了分段函数的应用，考查了分段函数的性质，考查了数形结合思想，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)A={x|x2−3x−4≤0}={x|−1≤x≤4}，
a=4时，B={x|x−a>0}={x|x>4}，
所以A∪B={x|x≥−1}；
(Ⅱ)B={x|x−a>0}={x|x>a}，所以∁RB={x|x≤a}，
因为A∩(∁RB)=⌀，所以a<−1，
所以实数a的取值范围{a|a<−1}.
【解析】(Ⅰ)求出集合A，B，进而求出A∪B的结果；
(Ⅱ)求出∁RB，再由A∩(∁RB)=⌀，求出a的范围．
本题考查二次不等式的求法及集合的运算性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)α，β为锐角，sinα= 210，tan(α+β)=12，
所以csα=7 210，tanα=sinαcsα=17，
则tanβ=tan(α+β−α)=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)tanα=12−171+12×17=13，
(Ⅱ)tan(α+2β)=tan(α+β+β)=tan(α+β)+tanβ1−tan(α+β)tanβ=12+131−12×13=1，
因为tanα<1，tanβ<1，且α，β为锐角，
所以0<α<π4，0<β<π4，0<α+2β<3π4，
所以α+2β=π4.
【解析】(Ⅰ)由已知结合同角基本关系先求出tanα，然后结合两角差的正切公式即可求解；
(Ⅱ)结合两角和的正切公式先求出tan(α+2β)，进而可求α+2β.
本题主要考查了同角基本关系，和差角公式及二倍角公式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)当m=0时，f(x)=lg24x=lg222x=2x，
所以f(1)=2；
(Ⅱ)函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，证明如下：
在[0,+∞)上任取x1，x2，且x1则f(x1)−f(x2)=lg2(4x1+m)−lg2(4x2+m)=lg24x1+m4x2+m，
因为任取x1，x2，且x1−1，所以1<4x1<4x2，
所以0<4x1+m<4x2+m，即0<4x1+m4x2+m<1，
所以lg24x1+m4x2+m<0，即f(x1)−f(x2)<0，
所以f(x1)即证得f(x)在[0,+∞)上单调递增；
(Ⅲ)x∈[0,+∞)时，由(Ⅱ)可得f(x)在[0,+∞)上单调递增，
所以f(x)min=f(0)=lg2(40+m)=lg2(1+m)=3，
可得m=23−1=7.
【解析】(Ⅰ)求出函数f(x)的解析式，进而求出f(1)的值；
(Ⅱ)由函数的单调性的定义证得为增函数；
(Ⅲ)由(Ⅱ)的单调性，可得f(x)min=f(0)=3，求出m的值．
本题考查对数函数的性质的应用及定义法证明函数的单调性的应用，属于基础题．
20.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=2cs2ωx+2 3sinωxcsωx+m=cs2ωx+ 3sin2ωx+m+1=2sin(2ωx+π6)+m+1(ω>0)，
由f(0)=2+m=1，解得m=−1；
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=2sin(2ωx+π6)，
选条件①：f(x)是奇函数，即f(x)=2sin(2ωx+π6)为奇函数，这不可能；
选条件②：f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离是π，即T2=π2ω=π，则ω=12，
故f(x)=2sin(x+π6)，
令x+π6=kπ(k∈Z)，
则x=kπ−π6(k∈Z)，f(x)的零点为x=kπ−π6(k∈Z)；
选条件③：f(x)在区间[0,π6]上单调递增，在区间[π6,π3]上单调递减，
则f(x)max=f(π6)=2sin(πω3+π6)=2，
∴πω3+π6=2kπ+π2(k∈Z)，解得ω=6k+1(k∈Z)，
又T2=π2ω≥π6，∴0<ω≤3，
∴ω=1，
∴f(x)=2sin(2x+π6)，
令2x+π6=kπ(k∈Z)，
则x=kπ2−π6(k∈Z)，f(x)的零点为x=kπ2−π6(k∈Z).
【解析】(Ⅰ)由f(0)=2+m=1，可解得m；
(Ⅱ)若选条件①不合题意；
若选条件②：由T2=π2ω=π，可求得ω的值及f(x)的零点；
若选条件③：由πω3+π6=2kπ+π2(k∈Z)，解得ω=6k+1(k∈Z)，结合T2=π2ω≥π6，可求得ω的值，进而可求得f(x)的零点．
本题考查了三角函数的恒等变换及三角函数性质的应用，考查了运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)所有可能的集合B为：{8}，{1,7}，{2,6}，{1,2,5}.
(Ⅱ)不妨设：b1所以3+4+5=12≤T(B)=b1+b2+b3≤30=9+10+11.
由题意，T(B)是12的倍数时，T(B)=12或T(B)=24.
当T(B)=12时，因为b1+b2+b3≥3+4+5=12，
所以当且仅当B={3,4,5}时，T(B)=12成立，故B={3,4,5}符合题意．
当T(B)=24时，
若b3=11，则b1+b2=13，故B={3,10,11}或B={4,9,11}符合题意；
若b3=10，则b1+b2=14，故B={5,9,10}符合题意；
若b3=9，则b1+b2+b3≤4+5+9=18，无解．
综上，所有可能的集合B为{3,4,5}，{3,10,11}，{4,9,11}，{5,9,10}.
故满足条件的集合B的个数为4.
(Ⅲ)(1)当n∉A时，设a1则a1，a2，，an，2n−a1，2n−a2，，2n−an∈{1,2,3,n−1,n+1,−1}，
这2n个数取2n−2个值，故其中有两个数相等．
又因为a12n−a2>⋯>2n−an，
从而a1，a2，⋯，an互不相等，2n−a1，2n−a2，⋯，2n−an互不相等，
所以存在μ，v∈{1,2,⋯,n}使得aμ=2n−av.
又因aμ≠n，av≠n故μ≠v.
则B={aμ,av}，则T(B)=aμ+av=2n，结论成立．
(2)当n∈A时，不妨设an=n，
则a1，a2，⋯，an−1(n≥4)，在这n−1个数中任取3个数，ai若aj−ai与ak−aj都是n的倍数，ak−ai=(ak−aj)+(aj−ai)≥2n，
这与ai，aj，ak∈(0,2n−1]矛盾．
则ai，aj，ak至少有2个数，它们之差不是n的倍数，不妨设a2−a1(a2>a1)不是n的倍数．
考虑这n个数：a1，a2，a1+a2，a1+a2+a3，⋯，a1+a2+⋯+an−1.
①若这n个数除以n的余数两两不同，则其中必有一个是n的倍数，又a1，a2<2n且均不为n，
故存在2≤r≤n−1，使得a1+a2+⋯+ar=pn(n∈N*).
若p为偶数，取B={a1,a2,⋯,ar}，则T(B)=pn，结论成立；
若p为奇数，取B={a1,a2,⋯,ar,an}，则T(B)=pn+n=(p+1)n，结论成立．
②若这n个数除以n的余数中有两个相同，则它们之差是n的倍数，又a2−a1，a1均不是n的倍数，
故存在2≤s若q为偶数，取B={as+1,as+2,⋯,at}，则T(B)=qn，结论成立；
若q为奇数，取B={as+1,as+2,⋯,at,an}，则T(B)=qn+n=(q+1)n，结论成立．
综上，存在非空集合B⊆A，使得T(B)是2n的倍数．
【解析】根据条件，可列出(Ⅰ)(Ⅱ)中所有满足条件的B；对(Ⅲ)，分情况讨论，寻找使T(B)是2n倍数的集合B.
本题主要考查集合的运算，属于中档题．t
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