2023-2024学年北京市石景山区高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市石景山区高一（下）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.与−224°角终边相同的角是( )
A. 24°B. 113°C. 124°D. 136°
2.若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为( )
A. 1B. 2C. 4D. 6
3.复数1+3i3+i在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.已知向量a，b满足a+b=(2,3)，a−b=(−2,1)，则|a|2−|b|2=( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
5.在△ABC中，已知2sinAcsB=sinC，那么△ABC一定是( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 正三角形
6.古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数ctθ=1tanθ，正割函数secθ=1csθ，余割函数cscθ=1sinθ，正矢函数versinθ=1−csθ，余矢函数vercsθ=1−sinθ.如图角θ始边为x轴的非负半轴，其终边与单位圆交点P，A、B分别是单位圆与x轴和y轴正半轴的交点，过点P作PM垂直x轴，作PN垂直y轴，垂足分别为M、N，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线分别交θ的终边于T、S，其中AM、PS、BS、NB为有向线段，下列表示正确的是( )
A. versinθ=AM
B. cscθ=PS
C. ctθ=BS
D. secθ=NB
7.若cs(π4−α)=35，则sin2α=( )
A. 725B. 15C. −15D. −725
8.函数y=Asin(ωx−φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，则其解析式为( )
A. y=2sin(2x−π6)
B. y=2sin(2x−π3)
C. y=2sin(x−π3)
D. y=sin(2x−π3)
9.已知z1，z2为复数，下列结论错误的是( )
A. z1+z2−=z−1+z−2B. z1⋅z2−=z−1⋅z−2
C. 若z1⋅z2∈R，则z1=z−2D. 若z1⋅z2=0，则z1=0或z2=0
10.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=2，则下列命题：

①OB⋅OE=− 2；
②OA+OC=− 2OF；
③OA在OB上的投影向量为 22OB；
④若点P为正八边形边上的一个动点，则AP⋅AB的最大值为4．
其中正确的命题个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.化简：cs(π2+α)= ______．
12.若tanθ=13，则cs2θ= ______．
13.在△ABC中，AC=1，∠C=2π3，∠A=π6，则△ABC的外接圆半径为______
14.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则c⋅(a−b)= ______．
15.已知三角形ABC是边长为2的等边三角形.如图，将三角形ABC的顶点A与原点重合.AB在x轴上，然后将三角形沿着x轴顺时针滚动，每当顶点A再次回落到x轴上时，将相邻两个A之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论：
①一个周期是6；
②完成一个周期，顶点A的轨迹是一个半圆；
③完成一个周期，顶点A的轨迹长度是8π3；
④完成一个周期，顶点A的轨迹与x轴围成的面积是8π3+ 3．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
如图，以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边与单位圆O分别交于P、Q两点，已知点P的坐标为(−45,35)，点Q的坐标为(35,45)．
(Ⅰ)求sinα−sinβ的值；
(Ⅱ)求tan2β的值．
17.(本小题8分)
已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且asinB= 3bcsA．
(1)求A的值；
(2)若a=2，且△ABC的面积为 3，求b，c．
18.(本小题8分)
向量a=(csx,−12),b=( 3sinx,cs2x),x∈R，设函数f(x)=a⋅b．
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期并在右边直角坐标中画出函数f(x)在区间[0,π]内的草图；
(Ⅱ)若方程f(x)−m=0在[0,π]上有两个根α、β，求m的取值范围及α+β的值．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠A=2π3，AC= 2，CD平分∠ACB交AB于点D，CD= 3．
(Ⅰ)求∠ADC的值；
(Ⅱ)求△BCD的面积．
20.(本小题8分)
如图，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角∠POQ=π3，A是扇形弧上的动点，过A作OP的平行线交OQ于B.记∠AOP=α．
(Ⅰ)求AB的长(用α表示)；
(Ⅱ)求△OAB面积的最大值，并求此时角α的大小．
答案解析
1.D
【解析】解：因为−224°=136°−360°，
所以−224°角与136°角终边相同．
故选：D．
2.A
【解析】解：设扇形的半径为r，圆心角为α，则弧长l=αr=2r，
所以α=2，
扇形的面积S=12αr2=r2=1，解得r=1或r=−1(舍去)．
故选：A．
3.A
【解析】解：∵1+3i3+i=(1+3i)(3−i)10=35+45i，
∴复数1+3i3+i在复平面内对应的点(35,45)位于第一象限．
故选：A．
4.B
【解析】解：∵a+b=(2,3)，a−b=(−2,1)，
∴a=(0,2)，b=(2,1)，
∴|a|2−|b|2=4−5=−1．
故选：B．
5.B
【解析】解：由2sinAcsB=sinC，知2sinAcsB=sin(A+B)，
∴2sinAcsB=sinAcsB+csAsinB．
∴csAsinB−sinAcsB=0．
∴sin(B−A)=0，
∵A和B是三角形的内角，
∴B=A，△ABC一定是等腰三角形．
故本题选B．
6.C
【解析】解：根据题意，易得△OMP～△OAT～△SBO～△PNO，
对于A，因为1−csθ=1−OM=MA，即versinθ=MA，故A错误；
对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，cscθ=1sinθ=1MP=BOMP=OSOP=OS，故B错误；
对于C，ctθ=1tanθ=1tan∠OSB=BS，故C正确；
对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得secθ=1csθ=1OM=OAOM=OTOP=OT，故D错误．
故选：C．
7.D
【解析】解：∵cs(π4−α)=35，
∴sin2α=cs(π2−2α)=cs2(π4−α)
=2cs2(π4−α)−1=2×925−1=−725．
故选D．
8.B
【解析】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为−2，故A=2，
又T2=5π12−(−π12)=π2，故T=2πω=π，
解得ω=2，
所以y=2sin(2x−φ)，
因为函数图象过点(5π12,2)，
所以2sin(2×5π12−φ)=2，
则5π6−φ=2kπ+π2(k∈Z)，
解得φ=−2kπ+π3(k∈Z)，
因为0<φ<π，
所以k=0时，φ=π3，
故y=2sin(2x−π3)．
故选：B．
9.C
【解析】解：设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)，
对于A，z1+z2−=(a+c)+(b+d)i−=(a+c)−(b+d)i，z1−+z2−=a−bi+c−di=(a+c)−(b+d)i，
所以z1+z2−=z1−+z2−，故A正确；
对于B，∵z1⋅z2=(a+bi)⋅(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i，
∴z1⋅z2−=(ac−bd)−(ad+bc)i，
∵z1−⋅z2−=(a−bi)⋅(c−di)=(ac−db)−(ad+bc)i，
∴z1⋅z2−=z1−⋅z2−，故B正确；
对于C，z1⋅z2=(a+bi)⋅(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i，
若z1⋅z2∈R，则ad+bc=0，无法得到z1=z2−，故C错误；
对于D，z1⋅z2=(a+bi)⋅(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i，
若z1⋅z2=0，则ac−bd=0ad+bc=0，
解得a=0b=0或c=0d=0，
∴z1=0或z2=0，故D正确．
故选：C．
10.C
【解析】解：由题意可知，正八边形每个边所对的角都是45°，中心O到各顶点的距离为2，
对于①，OB⋅OE=|OB||OE|×cs∠BOE=2×2×cs135°=−2 2，故①错误；
对于②，∠AOC=90°，则以OA，OC为邻边的对角线长是|OA|的 2倍，
可得OA+OC= 2OB=− 2OF，故②正确；
对于③，OA在OB上的投影向量为OA⋅OB|OB|2OB=2×2cs45°4OB= 22OB，故③正确；
对于④，设AP，AB的夹角为θ，则AP⋅AB=|AP||AB|csθ，
其中|AP|csθ表示AP在AB上的投影，
易知DC⊥AB，延长DC交AB延长线于Q，
当P在线段DC上运动，投影最大，
易知△OAC为等腰直角三角形，且∠OAB=180°−45°2=67.5°，
则在Rt△CAQ中，AQ=AC⋅cs∠CAQ=AC⋅cs(67.5°−45°)=AC⋅cs22.5°，
在等腰三角形OAB中，AB=2OA⋅sin22.5°，
则(AP⋅AB)max=AC⋅cs22.5°×2OA⋅sin22.5°=AC×OA×sin45°=2 2×2× 22=4，故④正确．
综上，②③④正确．
故选：C．
11.−sinα
【解析】解：cs(π2+α)=−sinα．
故答案为：−sinα．
12.45
【解析】解：若tanθ=13，则cs2θ=cs2θ−sin2θcs2θ+sin2θ=1−tan2θ1+tan2θ=1−191+19=45．
故答案为：45．
13.1
【解析】解：在△ABC中，∵AC=1，∠C=2π3，∠A=π6，
∴∠B=π−2π3−π6=π6，设△ABC的外接圆半径为r，
由正弦定理得：ACsinB=112=2r，
∴r=1．
故答案为：1．
14.−1
【解析】解：如图：
建立平面直角坐标系．由图可知，c=OC=(2,1)，
a−b=AD−AB=BD=OD−OB=(3,−1)−(2,2)=(1,−3)，
故c⋅(a−b)=1×2+(−3)×1=−1．
故答案为：−1．
15.①③④
【解析】解：点A一个周期的运动轨迹如图所示，
对于①，当A再次回落到x轴上时，发生了6个单位的位移，则一个周期为6，故①正确；
对于②，完成一个周期，顶点A的轨迹由以C为圆心，2为半径的13圆和以B为圆心，2为半径的13圆共同组成，不是一个半圆，故②错误；
对于③，由②知，顶点A的轨迹为2×13×2π×2=8π3，故③正确；
对于④，顶点A的轨迹与x轴围成的区域面积为两个13圆的面积与△ABC的面积之和，
即所求面积为2×13π×22+12×22× 32=8π3+ 3，故④正确．
故选：①③④．
16.解：(Ⅰ)因为0<β<α<π，角α与β的终边与单位圆O分别交于P，Q两点，
P(−45,35)，Q(35,45)，
由三角函数的定义可得sinα=35,csα=−45，sinβ=45，
故sinα−sinβ=sinα+csα=35−45=−15；
(Ⅱ)由(1)可知sinβ=45，csβ=34，故tanβ=43，
根据二倍角公式得tan2β=2tanβ1−tan2β=2×431−(43)2=−247．
【解析】(Ⅰ)由任意角的三角函数的定义可得sinα，csα，sinβ的值，由此可得出sinα−sinβ的值；
(Ⅱ)由任意角的三角函数的定义可得sinβ，csβ的值，可求得tanβ的值，再利用二倍角的正切公式可求得tan2β的值．
17.解：(1)在△ABC中，由正弦定理得：asinA=bsinB=csinC，
∴ 3bcsA=asinB可等价转化为 3sinBcsA=sinAsinB，
其中B∈(0,π)，故sinB≠0．
∴ 3csA=sinA，
即tanA= 3，
因为A∈(0,π)，
所以A=π3．
(2)因为S△ABC=12bcsinA= 34bc= 3，所以bc=4，
由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA=(b+c)2−3bc
即4=(b+c)2−12，所以b+c=4，
所以b=2，c=2．
【解析】(1)根据 3bcsA=asinB，利用正弦定理转化为 3sinBcsA=sinAsinB求解；
(2)由三角形的面积可得bc=4，由余弦定理，可得b+c=4，从而可得答案．
18.解：(Ⅰ)向量a=(csx ,−12) ,b=( 3 sinx , cs2x) ,x∈R，
函数f(x)=a⋅b
= 32sin2x−12cs2x=sin(2x−π6)．

f(x)的最小正周期T=π；
(Ⅱ)由图可知，当m∈(−1,−12)时，α+β2=5π6，即α+β=5π3，
当m∈(−12,1)时，α+β2=π3，即α+β=2π3，
∴α+β=2π3或5π3．
【解析】(Ⅰ)利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简求解f(x)的表达式，利用三角函数的周期公式求出函数的周期，然后在直角坐标系中画出函数f(x)在区间[0,π]内的草图；
(Ⅱ)结合函数的图象求解方程f(x)−m=0在[0,π]上有两个根α、β，以及α+β的值．
19.解：(Ⅰ)在△ADC中，由正弦定理可得，ACsin∠ADC=CDsinA，
则sin∠ADC=AC⋅sinACD= 2× 32 3= 22，
∵0<∠ADC<π3，
∴∠ADC=π4；
(Ⅱ)由(I)可知，∠ACD=π−23π−π4=π12，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠ACB=π6，
∴∠B=∠ADC−∠BCD=π6，
∴△ABC为等腰三角形，
∴BC=2×AC×csπ6= 6，
∵sin∠ACD=sin(π3−π4)= 32× 22−12× 22= 6− 24，
∴△BCD的面积为12×BC×CD×sin∠ACD=12× 6× 3× 6− 24=3 3−34．
【解析】(I)根据已知条件，结合正弦定理，即可求解；
(Ⅱ)先求出BC，再结合正弦的两角和公式，以及三角形的面积公式，即可求解．
20.解：(Ⅰ)过A、B作OP的垂线，垂足分别为C、D，如图所示：
则OD=OPcsα=csα，BC=AD=OPsinα=sinα，0<α<π3，
所以OC=BCtan∠POQ=sinα 3，
所以AB=CD=OD−OC=csα−sinα 3=csα− 33sinα．
(Ⅱ)△OAB的面积为S=12AB×BC=12(csα− 33sinα)sinα=14sin2α− 312(1−cs2α)
=12 3( 32sin2α+12cs2α)− 312= 36sin(2α+π6)− 312，
因为0<α<π3，所以π6<2α+π6<5π6，
所以2α+π6=π2，即α=π6时，S最大= 36− 312= 312，
所以α=π6时，△OAB面积的最大值为 312．
【解析】(Ⅰ)过A、B作OP的垂线，垂足分别为C、D，计算OD、BC，求出OC、AB即可．
(Ⅱ)求出△OAB的面积，利用三角函数求出最大值以及取最大值时对应α的值．