高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线习题，共5页。试卷主要包含了2.1　双曲线及其标准方程等内容，欢迎下载使用。
A级——基础过关练
1．已知(2，0)是双曲线x2－ eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的一个焦点，则b＝( )
A．1 B． eq \r(2) C． eq \r(3) D．2
【答案】C 【解析】由题意知c＝2，a＝1，所以b＝ eq \r(c2－a2)＝ eq \r(3).
2．已知F1(－8，3)，F2(2，3)为定点，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a＝3和a＝5时，P点的轨迹分别为( )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线的一支和一条直线
C．双曲线和一条射线
D．双曲线的一支和一条射线
【答案】D 【解析】易得|F1F2|＝10.当a＝3时，2a＝6，即2a0，b>0)上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是( )
A．x2－ eq \f(y2,3)＝1 B． eq \f(y2,2)－ eq \f(x2,3)＝1
C． eq \f(y2,3)－x2＝1 D．x2－ eq \f(y2,4)＝1
【答案】A 【解析】由题意知c＝2，设该双曲线方程是 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,4－a2)＝1，把点P(2，－3)代入，得 eq \f(4,a2)－ eq \f(9,4－a2)＝1，解得a2＝1或a2＝16(舍去).所以该双曲线方程为x2－ eq \f(y2,3)＝1.
7．(多选)已知双曲线的焦点在坐标轴上，且实半轴长为4，虚半轴长为5，则双曲线的标准方程为( )
A． eq \f(x2,25)－ eq \f(y2,16)＝1 B． eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,25)＝1
C． eq \f(y2,25)－ eq \f(x2,15)＝1 D． eq \f(y2,16)－ eq \f(x2,25)＝1
【答案】BD 【解析】①当双曲线的焦点在y轴上时，且实半轴长为4，虚半轴长为5，可得a＝4，b＝5，所以双曲线方程为 eq \f(y2,16)－ eq \f(x2,25)＝1.②当双曲线的焦点在x轴上时，且实半轴长为4，虚半轴长为5，可得a＝4，b＝5，所以双曲线方程为 eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,25)＝1.故B，D正确．故选BD.
8．已知双曲线的两个焦点分别为F1(－ eq \r(5)，0)，F2( eq \r(5)，0)，P是双曲线上一点，且 eq \(PF1,\s\up6(→))· eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为____________．
【答案】 eq \f(x2,4)－y2＝1 【解析】由题意可设双曲线方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0).由 eq \(PF1,\s\up6(→))· eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，得PF1⊥PF2.根据勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，即|PF1|2＋|PF2|2＝20.根据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝±2a.两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2得20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1，所以双曲线方程为 eq \f(x2,4)－y2＝1.
9．在平面直角坐标系Oxy中，方程 eq \f(x2,k－1)＋ eq \f(y2,k－3)＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为__________．
【答案】(1，3) 【解析】将方程化为 eq \f(x2,k－1)－ eq \f(y2,3－k)＝1，若表示焦点在x轴上的双曲线，则有k－1>0且3－k>0，即10).
由|PM|－|PN|＝4得2a＝4，a＝2，a2＝4.
由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10.
所以b2＝c2－a2＝96，所以所求双曲线方程为 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,96)＝1.
同理，当焦点在y轴上时的方程为 eq \f(y2,4)－ eq \f(x2,96)＝1
B级——能力提升练
11．(多选)下列说法正确的是( )
A．a＝4，经过点A(1，－ eq \f(4\r(10),3))的双曲线的标准方程为 eq \f(y2,16)－ eq \f(x2,9)＝1
B．经过点(3，0)，(－6，－3)的双曲线的标准方程为 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,3)＝1
C．经过点P(－3，2 eq \r(7))和Q(－6 eq \r(2)，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是 eq \f(y2,75)－ eq \f(x2,25)＝1
D．与椭圆 eq \f(x2,27)＋ eq \f(y2,36)＝1有共同的焦点，且过点( eq \r(15)，4)的双曲线的标准方程为 eq \f(y2,4)－ eq \f(x2,5)＝1
【答案】ABD 【解析】对于A，当焦点在x轴上时，设所求标准方程为 eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,b2)＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝－ eq \f(16,15)× eq \f(160,9)0)，把A点的坐标代入，得b2＝9，∴所求双曲线的标准方程为 eq \f(y2,16)－ eq \f(x2,9)＝1，A正确．对于B，设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn