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初中数学浙教版八年级上册第1章 三角形的初步知识1.1 认识三角形课后复习题
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这是一份初中数学浙教版八年级上册第1章 三角形的初步知识1.1 认识三角形课后复习题，共22页。
【知识点睛】
边：三角形任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边
角：三角形三个内角的和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和
应用：
1.判断三条线段能否构成三角形的方法：
①找出最长的线段，然后把最长的线段与较短的两条线段之和作比较；
②若较短的两条线段之和＞最长线段，则能构成三角形
若较短的两条线段之和≤最长线段，则不能构成三角形
2.三角形求角度问题常和角平分线、高线等结合考察，另外，有折叠，亦有角相等
飞镖模型：
【类题训练】
1．一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（ ）
A．10B．11C．12D．13
【分析】先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．
【解答】解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：5﹣2＜a＜5+2，
即3＜a＜7，
∵a为整数，
∴a的最大值为6，
则三角形的最大周长为6+2+5＝13．
故选：D．
2．为了估计池塘两岸A、B间的距离，小明在池塘的一侧选取了一点P，测得PA＝12m，PB＝13m，那么AB间的距离不可能是（ ）
A．6mB．18mC．26mD．20m
【分析】由PA＝12m，PB＝13m，直接利用三角形的三边关系求解即可求得AB的取值范围，继而求得答案．
【解答】解：∵PA＝12m，PB＝13m，
∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，
即1m＜AB＜25m，
∴AB间的距离不可能是：26m．
故选：C．
3．已知一个三角形的两边长分别为3和4第三边的长为整数，则该三角形的周长为（ ）
A．7B．8C．13D．14
【分析】根据三角形三边关系得出，任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．
【解答】解：∵此三角形且两边为3和4，
∴第三边的取值范围是：1＜x＜7，
∵第三边为整数，
∴周长为13这个范围内，符合要求．
故选：C．
4．下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3B．4，5，10
C．5，10，13D．2a，3a，6a（a＞0）
【分析】根据三角形的三边关系计算，判断即可．
【解答】解：A．∵1+2＝3，
∴不能构成三角形，本选项不符合题意；
B．∵4+5＜10，
∴不能构成三角形，本选项不符合题意；
C．∵13﹣5＜10＜5+13，
∴长度为5，10，13的三条线段能构成三角形，本选项符合题意；
D．∵2a+3a＜6a（a＞0），
∴不能构成三角形，本选项不符合题意．
故选：C．
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADB的度数为（ ）
A．100°B．90°C．80°D．50°
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠B与∠BAD的度数即可求解．
【解答】解：∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵∠BCE＝40°，
∴∠B＝50°，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD
＝180°﹣50°﹣30°
＝100°．
故选：A．
6．根据下列条件能判定△ABC是直角三角形的有（ ）
①∠A+∠B＝∠C，②，③∠A：∠B：∠C＝5：2：3，④∠A＝2∠B＝3∠C．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用三角形内角和定理，进行计算求解即可．
【解答】解：∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故①符合题意；
∵∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故②符合题意；
∵∠A：∠B：∠C＝5：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°×＝90°，∠B＝180°×＝36°，∠C＝180°×＝54°，
∴△ABC是直角三角形，
故③符合题意；
∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°，
∴∠A＝，
∴∠B＝，∠C＝，
∴△ABC不是直角三角形，
故④不符合题意；
综上，符合题意得有3个，
故选：C．
7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠至△FDE位置，点A的对应点为F．若∠A＝15°，∠BDF＝120°，则∠CEF的度数为（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
【分析】由折叠性质可得∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，由邻补角可求得∠ADF＝60°，则∠ADE＝30°，由三角形的内角和可求得∠AED＝135°，由三角形的外角求得∠DEG＝45°，则可求∠CEF的度数．
【解答】解：由题意得：∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，
∵∠BDF＝120°，
∴∠ADF＝180°﹣∠BDF＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝135°，
∠DEG＝∠A+∠ADE＝45°，
∴∠DEF＝135°，
∴∠CEF＝∠DEF﹣∠DEG＝90°．
故选：A．
8．（秦淮区期中）如图，在△CFF中，∠E＝80°，∠F＝60°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC、CD，则∠A的度数是 40 °．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠FCE，再利用平行线的性质说明∠A与∠FCE的关系得结论．
【解答】解：延长FC交AD于点G．
∵∠E＝80°，∠F＝60°，
∴∠FCE＝180°﹣∠E﹣∠F
＝180°﹣80°﹣60°
＝40°．
∵AB∥CF，AD∥CE
∴∠A＝∠FGD，∠FCE＝∠FGD．
∴∠A＝∠FCE＝40°．
故答案为：40．
9．（枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）
A．45°B．60°C．75°D．85°
【分析】先根据三角形的内角和得出∠CGF＝∠DGB＝45°，再利用∠α＝∠D+∠DGB可得答案．
【解答】解：如图，
∵∠ACD＝90°、∠F＝45°，
∴∠CGF＝∠DGB＝45°，
则∠α＝∠D+∠DGB＝30°+45°＝75°，
故选：C．
10．（吉林）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（ ）
A．85°B．75°C．65°D．60°
【分析】利用三角形外角的性质解答即可．
【解答】解：如图所示，
∠α＝∠E+∠ACB＝30°+45°＝75°，
故选：B．
11．已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC＝ 度．
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可求得∠ABD．再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，进而求出∠BHC．
【解答】解：在△ABD中，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝35°，
∴∠BHC＝90°+35°＝125°．
12．（和平区校级期中）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝ a﹣3b+c ．
【分析】根据三角形三边关系得到a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，再去绝对值，合并同类项即可求解．
【解答】解：∵a，b，c是一个三角形的三条边长，
∴a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，
|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝a+c﹣b﹣b+c﹣a+a﹣b﹣c＝a﹣3b+c，
故答案为：a﹣3b+c．
13．（东湖区期末）已知三角形的两条边长分别为3cm和2cm，如果这个三角形的第三条边长为奇数，则这个三角形的周长为 8 cm．
【分析】可先求出第三边的取值范围，找出其中为奇数的数，即为第三边的长，从而求得周长．
【解答】解：设第三边长为x．
根据三角形的三边关系，则有3﹣2＜x＜2+3，
即1＜x＜5，
因为第三边的长为奇数，
所以x＝3，
所以周长＝3+3+2＝8．
故答案为：8；
14．三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为110°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 ．
【分析】根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．
【解答】解：由题意得：α＝2β，α＝110°，则β＝55°，
180°﹣110°﹣55°＝15°，
故答案为：15°．
15．已知△ABC的三边长分别为a，b，c．
（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；
（2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值．
【分析】（1）直接根据非负数的性质即可得出结论；
（2）根据三角形的三边关系可得出c的取值范围，进而可得出结论．
【解答】解：（1）∵（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形；
（2）∵a＝5，b＝2，且c为整数，
∴5﹣2＜c＜5+2，即3＜c＜7，
∴c＝4，5，6，
∴当c＝4时，△ABC周长的最小值＝5+2+4＝11；
当c＝6时，△ABC周长的最大值＝5+2+6＝13．
16．（建湖县期中）如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）若∠A＝42°，∠BDC＝75°，求∠CED的度数；
（2）若∠A﹣∠ACD＝17°，∠EDB＝95°，求∠A的度数．
【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠ACB，再求出∠ECD，∠EDC即可求解；
（2）设∠A＝x°，则∠ACD＝x°﹣17°，根据∠EDB＝∠A+∠AED，构建方程求解即可．
【解答】解：（1）∵∠CDB＝∠A+∠ACD，
∴∠ACD＝75°﹣42°＝33°，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠DCB＝∠ACD＝33°，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB＝33°，
∴∠CED＝180°﹣33°﹣33°＝114°；
（2）设∠A＝x°，则∠ACD＝x°﹣17°，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACB＝2（x°﹣17°），
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB＝2（x°﹣17°），
∵∠EDB＝∠A+∠AED，
∴95°＝x°+2（x°﹣17°），
∴x＝43°，
∴∠A＝43°．
考点二三角形的“三线”及其作用
【知识点睛】
三角形角平分线夹角模型：
角的“8”字模型：
变型：
△高线与角平分线夹角模型：
【类题训练】
1．下列判断错误的是（ ）
A．三角形的三条高的交点在三角形内
B．三角形的三条中线交于三角形内一点
C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点
D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点
【分析】根据三角形的角平分线，中线，高的定义一一判断即可．
【解答】解：A、锐角三角形的三条高的交点在三角形内，故本选项说法错误，符合题意；
B、三角形的三条中线交于三角形内一点，故本选项说法正确，不符合题意；
C、直角三角形的三条高的交点在直角顶点，故本选项说法正确，不符合题意；
D、三角形的三条角平分线交于三角形内一点，故本选项说法正确，不符合题意．
故选：A．
2．如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、AC的中点，AG是△ABE的中线，连接BE、AD、GD，若△ABC的面积为40，则阴影部分△ADG的面积为（ ）
A．10B．5C．8D．4
【分析】连接DE，如图，先判断DG为△BCE的中位线，则DG∥AC，根据平行线之间的距离和三角形面积公式得到S△ADG＝S△EDG，然后利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则S△BCE＝S△ABC＝20，S△BDE＝S△EBC＝10，S△EDG＝S△BDE＝5．
【解答】解：连接DE，如图，
∵D为BC的中点，G为BE的中点，
∴DG为△BCE的中位线，
∴DG∥AC，
∴S△ADG＝S△EDG，
∵E点为AC的中点，
∴S△BCE＝S△ABC＝×40＝20，
∵D点为BC的中点，
∴S△BDE＝S△EBC＝×20＝10，
∵G点为BE的中点，
∴S△EDG＝S△BDE＝×10＝5．
故选：B．
3．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝10cm2，则阴影部分的面积为 cm2．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC＝×10＝5cm2，
∴S△BCE＝S△ABC＝5cm2，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×5＝cm2．
故答案为：．
4．如图，在△ABC中，BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若∠M＝117°，则∠A为（ ）
A．44°B．54°C．58°D．64°
【分析】先利用角平分线的性质得到∠MBC＝∠ABC，∠MCB＝∠ACB，再根据三角形内角和定理得到∠MBC+∠MCB+∠M＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，则∠M＝90°+∠A，然后把∠M＝117°代入可计算出∠A的度数．
【解答】解：∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，
∴∠MBC＝∠ABC，∠MCB＝∠ACB，
∴∠MBC+∠MCB＝（∠ABC+∠ACB），
∵∠MBC+∠MCB+∠M＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠M＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，
∵∠M＝117°，
∴90°+∠A＝117°，
∴∠A＝54°．
故选：B．
5．如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F，下列结论正确的有（ ）
①S△ABD＝S△DCA；②S△AEF＝S△BDF；③S四边形EFDC＝2S△AEF；④S△ABC＝3S△ABF
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据三角形面积公式，利用BD＝CD，AE＝CE得到S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，S△ABE＝S△BCE＝S△ABC，所以S△ABD＝S△ABE，则可对①进行判断；利用面积的和差得到S△AEF＝S△BDF，则可对②进行判断；连接CF，如图，利用三角形面积公式得到S△FBD＝S△FCD，S△FAE＝S△FCE，则可对③进行判断；先判断S△ABF＝S四边形EFDC，再利用S四边形EFDC＝2S△AEF，则可对④进行判断．
【解答】解：∵△ABC的中线AD、BE相交于点F，
∴BD＝CD，AE＝CE，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，S△ABE＝S△BCE＝S△ABC，所以①正确；
∴S△ABD＝S△ABE，
∴S△AEF＝S△BDF；所以②正确；
连接CF，如图，
∴S△FBD＝S△FCD，S△FAE＝S△FCE，
而S△AEF＝S△BDF，
∴S四边形EFDC＝2S△AEF；所以③正确；
∵S△ABE＝S△ADC＝S△ABC，
∴S△ABF＝S四边形EFDC，
而S四边形EFDC＝2S△AEF；
∴S△ABF＝S△AEF+S△BDF＝S四边形EFDC，
∴S△ABC＝3S△ABF，所以④正确．
故选：D．
6．如图，∠AOB＝60°，点M、N分别在OA、OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M、N的运动过程中，∠F的度数（ ）
A．变大B．变小C．等于45°D．等于30°
【分析】由∠AMN是△OMN的外角，∠EMN是△FMN的外角，得到∠AMN＝∠O+∠ONM，∠EMN＝∠F+∠FNM，
再由角平分线，得到∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，从而得到∠F＝∠O．
【解答】解：∵∠AMN是△OMN的外角，
∴∠AMN＝∠O+∠ONM，
∵∠EMN是△FMN的外角，
∴∠EMN＝∠F+∠FNM，
∵ME平分∠AMN，FN平分∠MNO，
∴∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，
∴∠O＝2∠F，
∴∠F＝30°．
故选：D．
7．（碑林区校级期中）如图，已知AM是△ABC的中线，点P是AC边上一动点，若△ABC的面积为10，AC＝4，则MP的最小值为（ ）
A．5B．2.5C．1.4D．1.25
【分析】根据AM是△ABC的中线，求出三角形AMC的面积，根据垂线段最短及三角形面积公式，求出MP的最小值．
【解答】解：∵AM是△ABC的中线，
∴S△AMC＝＝5，
当MP⊥AC时，MP有最小值，
×MP＝5，
∴MP＝2.5，
故选：B．
8．如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线．
（1）若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）若∠DAE＝15°，求∠C﹣∠B的大小．
【分析】（1）利用三角形的内角和定理、角平分线的性质先求出∠BAD，再利三角形外角与内角的关系求出∠ADE，最后利用三角形外角与内角的关系求出∠DAE；
（2）在Rt△ABE和Rt△ACE中表示出∠B、∠C，两式相减得结论．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．
∵AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线，
∴∠BAD＝∠BAC＝40°，∠AEC＝90°．
∵∠ADE＝∠B+∠BAD＝80°，∠AEC＝∠ADE+∠DAE，
∴∠DAE＝90°﹣80°＝10°．
（2）在Rt△ABE和Rt△ACE中，
∵∠B+∠BAE＝90°，∠C+∠CAE＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BAE，∠C＝90°﹣∠CAE．
∴∠C﹣∠B＝90°﹣∠CAE﹣（90°﹣∠BAE）
＝∠BAE﹣∠CAE
＝∠BAD+∠DAE﹣（∠CAD﹣∠DAE）
＝2∠DAE
＝30°．
9．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．
（1）【性质理解】
如图2，在“对顶三角形”△AOB与△COD中，∠EAO＝∠C，∠D＝2∠B，求证：∠EAB＝∠B；
（2）【性质应用】
如图3，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，∠BOD＝∠A，若∠ECD比∠DBE大20°，求∠BDO的度数．
【分析】（1）根据对顶三角形可得∠OAB+∠B＝∠C+∠D，再根据角的和差即可得解；
（2）根据对顶三角形的性质及四边形内角和求解即可．
【解答】（1）证明：由对顶三角形可得∠OAB+∠B＝∠C+∠D，
∴∠OAB﹣∠C＝∠D﹣∠B，
∵∠EAO＝∠C，∠D＝2∠B，
∴∠OAB﹣∠EAO＝∠B，
即∠EAB＝∠B；
（2）解：由题意得，∠ECD﹣∠DBE＝20°，
由（1）得，∠DBE+∠BDO＝∠ECD+∠OEC，
∵∠BDO﹣∠OEC＝∠ECD﹣∠DBE＝20°，
∵∠BOD＝∠A，∠BOD+∠DOE＝180°，
∴∠A+∠DOE＝180°，
∴∠ADO+∠AEO＝180°，
∵∠AEO+∠OEC＝∠BDO+∠ADO＝180°，
∴∠BDO＝∠AEO，
∴∠BDO+∠OEC＝180°，
∵∠BDO﹣∠OEC＝20°，
∴∠BDO＝100°．
10．在△ABC中，
（1）如图（1），∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P．
若∠A＝60°，求∠BPC的度数．
若∠A＝n°，则∠BPC＝ ．
（2）如图（2），在△ABC中的外角平分线相交于点Q，∠A＝n°，求∠BQC的度数．
（3）如图（3），△ABC的∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，它们的外角平分线相交于点Q．直接回答：
∠BPC与∠BQC具有怎样的数量关系？
（4）如图（4），△ABC中的内角平分线相交于点P，外角平分线相交于点Q，延长线段BP、QC交于点E，
△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
【分析】（1）利用角平分线性质和三角形内角和定理计算．
（2）利用三角形内、外角和定理及角平分线性质求解．
（3）利用（1）（2）题结论得出．
（4）利用（3）题结论列方程求解．
【解答】解：（1）∵∠A＝60°∴∠ABC+∠ACB＝120°
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB
∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝60°
∴∠BPC＝180°﹣（∠1+∠2）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A
＝120°．
故答案为：90°+n°．
（2）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠ABC+∠A，∠A＝n°
∴∠DBC+∠FCB＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A
＝180°+∠A
＝180°+n°．
∵△ABC的外角平分线相交于点Q．
∴∠QBC＝∠DBC，∠QCB＝∠FCB．
∴∠QBC+∠QCB＝（∠DBC+∠ECB）
＝（180°+n°）＝90°+n°．
∴∠BQC＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）
＝180°﹣（90°+n°）
＝90°﹣n°．
（3）由（1）知，∠BPC＝90°+n°，
由（2）知：∠BQC＝90°+n°，
∴∠BPC+∠BQC＝180°．
（4）∵BQ，BE分别是△ABC的外角平分线和内角平分线，
∴∠EBQ＝90°．
当∠EBQ＝2∠BQC时，90°＝2×（90°﹣n°）．
∴n＝90．
∴∠A＝90°．
当∠BQC＝2∠E时，
∵∠BQC+∠E＝90°．
∴∠BQC＝60°．
∴90°﹣n°＝60°．
∴n＝60．
∴∠A＝60°．
当∠EBQ＝2∠E时，2∠E＝90°，
∴∠E＝45°．
∴∠BQC＝90°﹣n°＝45°
∴n＝90．
∴∠A＝90°．
当∠E＝2∠BQC时，
∵∠E+∠BQC＝90°．
∴∠BQC＝30°．
∴90°﹣n°＝30°．
∴n＝120．
∴∠A＝120°．
综上：∠A＝90°，60°，120°
11．∠MON＝90°，点A，B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，当AO＝BO时，∠AEB＝ °；
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D，随着点A，B的运动∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；
（3）如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（3）①当∠EAF＝3∠E时，②当∠EAF＝3∠F时，③当∠F＝3∠E时，④当∠E＝3∠F时，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°，
∴∠AEB＝135°；
故答案为：135；
（2）∠D的度数不随点A、B的移动而发生变化，
设∠BAD＝α，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO＝2α，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2α，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC＝45°+α，
∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+α﹣α＝45°；
（3）∵∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E，
∴∠AOE＝135°，
∴∠E＝180°﹣∠EAO﹣∠AOE
＝45°﹣∠AOE
＝45°﹣∠BAO
＝45°﹣（180°﹣90°﹣∠ABO）
＝∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线，
∴∠EAF＝∠BAO+∠GAO＝×180°＝90°，
在△AEF中，若有一个角是另一个角的3倍，
则①当∠EAF＝3∠E时，得∠E＝30°，此时∠ABO＝60°；
②当∠EAF＝3∠F时，得∠E＝60°，
此时∠ABO＝120°＞90°，舍去；
③当∠F＝3∠E时，得∠E＝×90°＝22.5°，
此时∠ABO＝45°；
④当∠E＝3∠F时，得∠E＝×90°＝67.5°，
此时∠ABO＝135°＞90°，舍去．
综上可知，∠ABO的度数为60°或45°
A
B
C
D
如图，有：
类型
所在位置
作用
三角形的中线
线段
△内部
△的中线能把原△分成面积相等的两部分，同比三等分线可以三等分原△的面积
2.△三条中线的交点叫重心，重心将中线分为2:1两部分
三角形
的高线
线段
△内部、外部、边上
△中，有⊥时→求长度，想高线→有高线，想面积→有面积，想等积法；有⊥时→求角度，想90°→△中，直角外的两个小角互余
三角形的角平分线
线段
△内部
△的角平分线出现时，可得角相等，亦可得∠1=½∠2类结论
A
C
B
O
D
【知识点睛】
边：三角形任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边
角：三角形三个内角的和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和
应用：
1.判断三条线段能否构成三角形的方法：
①找出最长的线段，然后把最长的线段与较短的两条线段之和作比较；
②若较短的两条线段之和＞最长线段，则能构成三角形
若较短的两条线段之和≤最长线段，则不能构成三角形
2.三角形求角度问题常和角平分线、高线等结合考察，另外，有折叠，亦有角相等
飞镖模型：
【类题训练】
1．一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（ ）
A．10B．11C．12D．13
【分析】先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．
【解答】解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：5﹣2＜a＜5+2，
即3＜a＜7，
∵a为整数，
∴a的最大值为6，
则三角形的最大周长为6+2+5＝13．
故选：D．
2．为了估计池塘两岸A、B间的距离，小明在池塘的一侧选取了一点P，测得PA＝12m，PB＝13m，那么AB间的距离不可能是（ ）
A．6mB．18mC．26mD．20m
【分析】由PA＝12m，PB＝13m，直接利用三角形的三边关系求解即可求得AB的取值范围，继而求得答案．
【解答】解：∵PA＝12m，PB＝13m，
∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，
即1m＜AB＜25m，
∴AB间的距离不可能是：26m．
故选：C．
3．已知一个三角形的两边长分别为3和4第三边的长为整数，则该三角形的周长为（ ）
A．7B．8C．13D．14
【分析】根据三角形三边关系得出，任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．
【解答】解：∵此三角形且两边为3和4，
∴第三边的取值范围是：1＜x＜7，
∵第三边为整数，
∴周长为13这个范围内，符合要求．
故选：C．
4．下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3B．4，5，10
C．5，10，13D．2a，3a，6a（a＞0）
【分析】根据三角形的三边关系计算，判断即可．
【解答】解：A．∵1+2＝3，
∴不能构成三角形，本选项不符合题意；
B．∵4+5＜10，
∴不能构成三角形，本选项不符合题意；
C．∵13﹣5＜10＜5+13，
∴长度为5，10，13的三条线段能构成三角形，本选项符合题意；
D．∵2a+3a＜6a（a＞0），
∴不能构成三角形，本选项不符合题意．
故选：C．
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADB的度数为（ ）
A．100°B．90°C．80°D．50°
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠B与∠BAD的度数即可求解．
【解答】解：∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵∠BCE＝40°，
∴∠B＝50°，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD
＝180°﹣50°﹣30°
＝100°．
故选：A．
6．根据下列条件能判定△ABC是直角三角形的有（ ）
①∠A+∠B＝∠C，②，③∠A：∠B：∠C＝5：2：3，④∠A＝2∠B＝3∠C．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用三角形内角和定理，进行计算求解即可．
【解答】解：∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故①符合题意；
∵∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故②符合题意；
∵∠A：∠B：∠C＝5：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°×＝90°，∠B＝180°×＝36°，∠C＝180°×＝54°，
∴△ABC是直角三角形，
故③符合题意；
∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°，
∴∠A＝，
∴∠B＝，∠C＝，
∴△ABC不是直角三角形，
故④不符合题意；
综上，符合题意得有3个，
故选：C．
7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠至△FDE位置，点A的对应点为F．若∠A＝15°，∠BDF＝120°，则∠CEF的度数为（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
【分析】由折叠性质可得∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，由邻补角可求得∠ADF＝60°，则∠ADE＝30°，由三角形的内角和可求得∠AED＝135°，由三角形的外角求得∠DEG＝45°，则可求∠CEF的度数．
【解答】解：由题意得：∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，
∵∠BDF＝120°，
∴∠ADF＝180°﹣∠BDF＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝135°，
∠DEG＝∠A+∠ADE＝45°，
∴∠DEF＝135°，
∴∠CEF＝∠DEF﹣∠DEG＝90°．
故选：A．
8．（秦淮区期中）如图，在△CFF中，∠E＝80°，∠F＝60°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC、CD，则∠A的度数是 40 °．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠FCE，再利用平行线的性质说明∠A与∠FCE的关系得结论．
【解答】解：延长FC交AD于点G．
∵∠E＝80°，∠F＝60°，
∴∠FCE＝180°﹣∠E﹣∠F
＝180°﹣80°﹣60°
＝40°．
∵AB∥CF，AD∥CE
∴∠A＝∠FGD，∠FCE＝∠FGD．
∴∠A＝∠FCE＝40°．
故答案为：40．
9．（枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）
A．45°B．60°C．75°D．85°
【分析】先根据三角形的内角和得出∠CGF＝∠DGB＝45°，再利用∠α＝∠D+∠DGB可得答案．
【解答】解：如图，
∵∠ACD＝90°、∠F＝45°，
∴∠CGF＝∠DGB＝45°，
则∠α＝∠D+∠DGB＝30°+45°＝75°，
故选：C．
10．（吉林）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（ ）
A．85°B．75°C．65°D．60°
【分析】利用三角形外角的性质解答即可．
【解答】解：如图所示，
∠α＝∠E+∠ACB＝30°+45°＝75°，
故选：B．
11．已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC＝ 度．
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可求得∠ABD．再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，进而求出∠BHC．
【解答】解：在△ABD中，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝35°，
∴∠BHC＝90°+35°＝125°．
12．（和平区校级期中）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝ a﹣3b+c ．
【分析】根据三角形三边关系得到a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，再去绝对值，合并同类项即可求解．
【解答】解：∵a，b，c是一个三角形的三条边长，
∴a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，
|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝a+c﹣b﹣b+c﹣a+a﹣b﹣c＝a﹣3b+c，
故答案为：a﹣3b+c．
13．（东湖区期末）已知三角形的两条边长分别为3cm和2cm，如果这个三角形的第三条边长为奇数，则这个三角形的周长为 8 cm．
【分析】可先求出第三边的取值范围，找出其中为奇数的数，即为第三边的长，从而求得周长．
【解答】解：设第三边长为x．
根据三角形的三边关系，则有3﹣2＜x＜2+3，
即1＜x＜5，
因为第三边的长为奇数，
所以x＝3，
所以周长＝3+3+2＝8．
故答案为：8；
14．三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为110°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 ．
【分析】根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．
【解答】解：由题意得：α＝2β，α＝110°，则β＝55°，
180°﹣110°﹣55°＝15°，
故答案为：15°．
15．已知△ABC的三边长分别为a，b，c．
（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；
（2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值．
【分析】（1）直接根据非负数的性质即可得出结论；
（2）根据三角形的三边关系可得出c的取值范围，进而可得出结论．
【解答】解：（1）∵（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形；
（2）∵a＝5，b＝2，且c为整数，
∴5﹣2＜c＜5+2，即3＜c＜7，
∴c＝4，5，6，
∴当c＝4时，△ABC周长的最小值＝5+2+4＝11；
当c＝6时，△ABC周长的最大值＝5+2+6＝13．
16．（建湖县期中）如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）若∠A＝42°，∠BDC＝75°，求∠CED的度数；
（2）若∠A﹣∠ACD＝17°，∠EDB＝95°，求∠A的度数．
【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠ACB，再求出∠ECD，∠EDC即可求解；
（2）设∠A＝x°，则∠ACD＝x°﹣17°，根据∠EDB＝∠A+∠AED，构建方程求解即可．
【解答】解：（1）∵∠CDB＝∠A+∠ACD，
∴∠ACD＝75°﹣42°＝33°，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠DCB＝∠ACD＝33°，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB＝33°，
∴∠CED＝180°﹣33°﹣33°＝114°；
（2）设∠A＝x°，则∠ACD＝x°﹣17°，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACB＝2（x°﹣17°），
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB＝2（x°﹣17°），
∵∠EDB＝∠A+∠AED，
∴95°＝x°+2（x°﹣17°），
∴x＝43°，
∴∠A＝43°．
考点二三角形的“三线”及其作用
【知识点睛】
三角形角平分线夹角模型：
角的“8”字模型：
变型：
△高线与角平分线夹角模型：
【类题训练】
1．下列判断错误的是（ ）
A．三角形的三条高的交点在三角形内
B．三角形的三条中线交于三角形内一点
C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点
D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点
【分析】根据三角形的角平分线，中线，高的定义一一判断即可．
【解答】解：A、锐角三角形的三条高的交点在三角形内，故本选项说法错误，符合题意；
B、三角形的三条中线交于三角形内一点，故本选项说法正确，不符合题意；
C、直角三角形的三条高的交点在直角顶点，故本选项说法正确，不符合题意；
D、三角形的三条角平分线交于三角形内一点，故本选项说法正确，不符合题意．
故选：A．
2．如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、AC的中点，AG是△ABE的中线，连接BE、AD、GD，若△ABC的面积为40，则阴影部分△ADG的面积为（ ）
A．10B．5C．8D．4
【分析】连接DE，如图，先判断DG为△BCE的中位线，则DG∥AC，根据平行线之间的距离和三角形面积公式得到S△ADG＝S△EDG，然后利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则S△BCE＝S△ABC＝20，S△BDE＝S△EBC＝10，S△EDG＝S△BDE＝5．
【解答】解：连接DE，如图，
∵D为BC的中点，G为BE的中点，
∴DG为△BCE的中位线，
∴DG∥AC，
∴S△ADG＝S△EDG，
∵E点为AC的中点，
∴S△BCE＝S△ABC＝×40＝20，
∵D点为BC的中点，
∴S△BDE＝S△EBC＝×20＝10，
∵G点为BE的中点，
∴S△EDG＝S△BDE＝×10＝5．
故选：B．
3．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝10cm2，则阴影部分的面积为 cm2．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC＝×10＝5cm2，
∴S△BCE＝S△ABC＝5cm2，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×5＝cm2．
故答案为：．
4．如图，在△ABC中，BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若∠M＝117°，则∠A为（ ）
A．44°B．54°C．58°D．64°
【分析】先利用角平分线的性质得到∠MBC＝∠ABC，∠MCB＝∠ACB，再根据三角形内角和定理得到∠MBC+∠MCB+∠M＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，则∠M＝90°+∠A，然后把∠M＝117°代入可计算出∠A的度数．
【解答】解：∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，
∴∠MBC＝∠ABC，∠MCB＝∠ACB，
∴∠MBC+∠MCB＝（∠ABC+∠ACB），
∵∠MBC+∠MCB+∠M＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠M＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，
∵∠M＝117°，
∴90°+∠A＝117°，
∴∠A＝54°．
故选：B．
5．如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F，下列结论正确的有（ ）
①S△ABD＝S△DCA；②S△AEF＝S△BDF；③S四边形EFDC＝2S△AEF；④S△ABC＝3S△ABF
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据三角形面积公式，利用BD＝CD，AE＝CE得到S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，S△ABE＝S△BCE＝S△ABC，所以S△ABD＝S△ABE，则可对①进行判断；利用面积的和差得到S△AEF＝S△BDF，则可对②进行判断；连接CF，如图，利用三角形面积公式得到S△FBD＝S△FCD，S△FAE＝S△FCE，则可对③进行判断；先判断S△ABF＝S四边形EFDC，再利用S四边形EFDC＝2S△AEF，则可对④进行判断．
【解答】解：∵△ABC的中线AD、BE相交于点F，
∴BD＝CD，AE＝CE，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，S△ABE＝S△BCE＝S△ABC，所以①正确；
∴S△ABD＝S△ABE，
∴S△AEF＝S△BDF；所以②正确；
连接CF，如图，
∴S△FBD＝S△FCD，S△FAE＝S△FCE，
而S△AEF＝S△BDF，
∴S四边形EFDC＝2S△AEF；所以③正确；
∵S△ABE＝S△ADC＝S△ABC，
∴S△ABF＝S四边形EFDC，
而S四边形EFDC＝2S△AEF；
∴S△ABF＝S△AEF+S△BDF＝S四边形EFDC，
∴S△ABC＝3S△ABF，所以④正确．
故选：D．
6．如图，∠AOB＝60°，点M、N分别在OA、OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M、N的运动过程中，∠F的度数（ ）
A．变大B．变小C．等于45°D．等于30°
【分析】由∠AMN是△OMN的外角，∠EMN是△FMN的外角，得到∠AMN＝∠O+∠ONM，∠EMN＝∠F+∠FNM，
再由角平分线，得到∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，从而得到∠F＝∠O．
【解答】解：∵∠AMN是△OMN的外角，
∴∠AMN＝∠O+∠ONM，
∵∠EMN是△FMN的外角，
∴∠EMN＝∠F+∠FNM，
∵ME平分∠AMN，FN平分∠MNO，
∴∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，
∴∠O＝2∠F，
∴∠F＝30°．
故选：D．
7．（碑林区校级期中）如图，已知AM是△ABC的中线，点P是AC边上一动点，若△ABC的面积为10，AC＝4，则MP的最小值为（ ）
A．5B．2.5C．1.4D．1.25
【分析】根据AM是△ABC的中线，求出三角形AMC的面积，根据垂线段最短及三角形面积公式，求出MP的最小值．
【解答】解：∵AM是△ABC的中线，
∴S△AMC＝＝5，
当MP⊥AC时，MP有最小值，
×MP＝5，
∴MP＝2.5，
故选：B．
8．如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线．
（1）若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）若∠DAE＝15°，求∠C﹣∠B的大小．
【分析】（1）利用三角形的内角和定理、角平分线的性质先求出∠BAD，再利三角形外角与内角的关系求出∠ADE，最后利用三角形外角与内角的关系求出∠DAE；
（2）在Rt△ABE和Rt△ACE中表示出∠B、∠C，两式相减得结论．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．
∵AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线，
∴∠BAD＝∠BAC＝40°，∠AEC＝90°．
∵∠ADE＝∠B+∠BAD＝80°，∠AEC＝∠ADE+∠DAE，
∴∠DAE＝90°﹣80°＝10°．
（2）在Rt△ABE和Rt△ACE中，
∵∠B+∠BAE＝90°，∠C+∠CAE＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BAE，∠C＝90°﹣∠CAE．
∴∠C﹣∠B＝90°﹣∠CAE﹣（90°﹣∠BAE）
＝∠BAE﹣∠CAE
＝∠BAD+∠DAE﹣（∠CAD﹣∠DAE）
＝2∠DAE
＝30°．
9．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．
（1）【性质理解】
如图2，在“对顶三角形”△AOB与△COD中，∠EAO＝∠C，∠D＝2∠B，求证：∠EAB＝∠B；
（2）【性质应用】
如图3，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，∠BOD＝∠A，若∠ECD比∠DBE大20°，求∠BDO的度数．
【分析】（1）根据对顶三角形可得∠OAB+∠B＝∠C+∠D，再根据角的和差即可得解；
（2）根据对顶三角形的性质及四边形内角和求解即可．
【解答】（1）证明：由对顶三角形可得∠OAB+∠B＝∠C+∠D，
∴∠OAB﹣∠C＝∠D﹣∠B，
∵∠EAO＝∠C，∠D＝2∠B，
∴∠OAB﹣∠EAO＝∠B，
即∠EAB＝∠B；
（2）解：由题意得，∠ECD﹣∠DBE＝20°，
由（1）得，∠DBE+∠BDO＝∠ECD+∠OEC，
∵∠BDO﹣∠OEC＝∠ECD﹣∠DBE＝20°，
∵∠BOD＝∠A，∠BOD+∠DOE＝180°，
∴∠A+∠DOE＝180°，
∴∠ADO+∠AEO＝180°，
∵∠AEO+∠OEC＝∠BDO+∠ADO＝180°，
∴∠BDO＝∠AEO，
∴∠BDO+∠OEC＝180°，
∵∠BDO﹣∠OEC＝20°，
∴∠BDO＝100°．
10．在△ABC中，
（1）如图（1），∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P．
若∠A＝60°，求∠BPC的度数．
若∠A＝n°，则∠BPC＝ ．
（2）如图（2），在△ABC中的外角平分线相交于点Q，∠A＝n°，求∠BQC的度数．
（3）如图（3），△ABC的∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，它们的外角平分线相交于点Q．直接回答：
∠BPC与∠BQC具有怎样的数量关系？
（4）如图（4），△ABC中的内角平分线相交于点P，外角平分线相交于点Q，延长线段BP、QC交于点E，
△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
【分析】（1）利用角平分线性质和三角形内角和定理计算．
（2）利用三角形内、外角和定理及角平分线性质求解．
（3）利用（1）（2）题结论得出．
（4）利用（3）题结论列方程求解．
【解答】解：（1）∵∠A＝60°∴∠ABC+∠ACB＝120°
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB
∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝60°
∴∠BPC＝180°﹣（∠1+∠2）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A
＝120°．
故答案为：90°+n°．
（2）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠ABC+∠A，∠A＝n°
∴∠DBC+∠FCB＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A
＝180°+∠A
＝180°+n°．
∵△ABC的外角平分线相交于点Q．
∴∠QBC＝∠DBC，∠QCB＝∠FCB．
∴∠QBC+∠QCB＝（∠DBC+∠ECB）
＝（180°+n°）＝90°+n°．
∴∠BQC＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）
＝180°﹣（90°+n°）
＝90°﹣n°．
（3）由（1）知，∠BPC＝90°+n°，
由（2）知：∠BQC＝90°+n°，
∴∠BPC+∠BQC＝180°．
（4）∵BQ，BE分别是△ABC的外角平分线和内角平分线，
∴∠EBQ＝90°．
当∠EBQ＝2∠BQC时，90°＝2×（90°﹣n°）．
∴n＝90．
∴∠A＝90°．
当∠BQC＝2∠E时，
∵∠BQC+∠E＝90°．
∴∠BQC＝60°．
∴90°﹣n°＝60°．
∴n＝60．
∴∠A＝60°．
当∠EBQ＝2∠E时，2∠E＝90°，
∴∠E＝45°．
∴∠BQC＝90°﹣n°＝45°
∴n＝90．
∴∠A＝90°．
当∠E＝2∠BQC时，
∵∠E+∠BQC＝90°．
∴∠BQC＝30°．
∴90°﹣n°＝30°．
∴n＝120．
∴∠A＝120°．
综上：∠A＝90°，60°，120°
11．∠MON＝90°，点A，B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，当AO＝BO时，∠AEB＝ °；
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D，随着点A，B的运动∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；
（3）如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（3）①当∠EAF＝3∠E时，②当∠EAF＝3∠F时，③当∠F＝3∠E时，④当∠E＝3∠F时，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°，
∴∠AEB＝135°；
故答案为：135；
（2）∠D的度数不随点A、B的移动而发生变化，
设∠BAD＝α，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO＝2α，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2α，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC＝45°+α，
∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+α﹣α＝45°；
（3）∵∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E，
∴∠AOE＝135°，
∴∠E＝180°﹣∠EAO﹣∠AOE
＝45°﹣∠AOE
＝45°﹣∠BAO
＝45°﹣（180°﹣90°﹣∠ABO）
＝∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线，
∴∠EAF＝∠BAO+∠GAO＝×180°＝90°，
在△AEF中，若有一个角是另一个角的3倍，
则①当∠EAF＝3∠E时，得∠E＝30°，此时∠ABO＝60°；
②当∠EAF＝3∠F时，得∠E＝60°，
此时∠ABO＝120°＞90°，舍去；
③当∠F＝3∠E时，得∠E＝×90°＝22.5°，
此时∠ABO＝45°；
④当∠E＝3∠F时，得∠E＝×90°＝67.5°，
此时∠ABO＝135°＞90°，舍去．
综上可知，∠ABO的度数为60°或45°
A
B
C
D
如图，有：
类型
所在位置
作用
三角形的中线
线段
△内部
△的中线能把原△分成面积相等的两部分，同比三等分线可以三等分原△的面积
2.△三条中线的交点叫重心，重心将中线分为2:1两部分
三角形
的高线
线段
△内部、外部、边上
△中，有⊥时→求长度，想高线→有高线，想面积→有面积，想等积法；有⊥时→求角度，想90°→△中，直角外的两个小角互余
三角形的角平分线
线段
△内部
△的角平分线出现时，可得角相等，亦可得∠1=½∠2类结论
A
C
B
O
D
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