【重难点讲义】浙教版数学八年级上册-第03讲 全等三角形常见模型专题探究
展开第3讲 全等三角形常见模型专题探究
模型一 K型图
【知识点睛】
K型图模型总结
图形 | 条件与结论 | 辅助线 | 注意事项 |
条件:AC=BC,AC⊥BC 结论: △ADC≌△CEB(AAS) | 分别过点A、B作AD⊥l, BE⊥l | K型图可以和等腰直角三角板结合,也可以和正方形结合 |
K型全等模型变形——三垂定理:
如图,亦有△ADC≌△CEB(AAS)
总结:当一个直角放在一条直线上时,常通过构造K型全等来证明边相等,或者边之间的数量关系
【类题训练】
1.(2021秋•九龙坡区校级期末)如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D、E,AD=7cm,BE=3cm,则DE的长是( )
A.3cm B.3.5cm C.4cm D.4.5cm
2.(2021秋•惠民县月考)如图,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据,计算图中实线所围成的图形的面积S= .
3.(2021秋•海丰县期末)如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E.
(1)求证:△ACD≌△CBE;
(2)试探究线段AD,DE,BE之间有什么样的数量关系,请说明理由.
4.(2020秋•永年区月考)如图,在△ABC中,AB=AC=3,∠B=∠C=50°,点D在边BC上运动(点D不与BC点重合),连接AD,作∠ADE=50°,DE交边AC于点E.
(1)当∠BDA=100°时,∠EDC= °,∠DEC= °;
(2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE,请说明理由.
5.(2022春•锦江区校级期中)已知Rt△ABC和Rt△ADE,AB=AC,AD=AE.连接BD、CE,过点A作AH⊥CE于点H,反向延长线段AH交BD于点F.
(1)如图1,当AB=AD时
①请直接写出BF与DF的数量关系:BF DF(填“>”、“<”、“=”)
②求证:CE=2AF
(2)如图2,当AB≠AD时,上述①②结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
6.(2021秋•涡阳县期末)如图,把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,试回答下列问题:
(1)若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转,当AB∥MN时,∠2= 度;
(2)在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中,分别作AM⊥MN于M,BN⊥MN与N,若AM=6,BN=2,求MN.
(3)三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置,其他条件不变,则AM、BN与MN之间有什么关系?请说明理由.
模型二 手拉手模型
【知识点睛】
手拉手模型总结
图形 | 条件与结论 | 辅助线 |
条件: AD=AE、AB=AC ∠BAC=∠DAE 结论: △ABD≌△ACE(SAS) BD=CE |
分别连接BD、CE |
手拉手模型在第一章只是表面应用,后续深层次应用需要在等腰三角形学完之后探究
【类题训练】
1.(2021秋•诸暨市月考)已知:如图,在△ABC、△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上,连接BD.
(1)求证:△BAD≌△CAE;
(2)线段BD与线段CE的关系为 ,请说明理由.
2.(2021秋•宣化区期末)已知:如图,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,连接CD,C,D,E三点在同一条直线上,连接BD,BE.以下四个结论:①BD=CE;②∠ACE+∠ABD=45°;③∠BAE+∠DAC=180°;④BD⊥CE.其中正确的是 .(只填序号)
3.(2021秋•长沙期末)如图,△ABD、△AEC都是等边三角形,直线CD与直线BE交于点F.
(1)求证:CD=BE;
(2)求∠CFB的度数.
4.(2021秋•大连期末)在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一动点(不与B、C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转∠BAC的度数,得到线段AE,连接CE,设∠BAC=α,∠BCE=β.
(1)如图1,当点D在线段BC上时,用等式表示α与β之间的数量关系,并证明;
(2)如图2,当点D在线段CB延长线上时,补全图形,用等式表示α与β之间的数量关系,并证明.
模型三 对称全等模型
【知识点睛】
对称全等模型总结
常见基本图形:
模型提取:1.对称变换基本特征:必有对称轴
2.对称型全等模型常隐含的条件:
具有公共边、公共角、有时全等三角形不止一对、对称轴会平分公共角
3.全等证明常用解决手段:
多想角度间的等量代换方法—角平分线的定义、内角和公式、外角定理等
4.其特殊应用环境:角平分线的常见辅助线
角平分线基本性质:角平分线上的点到角两边的距离相等
(对称类全等经常和角平分线结合,可以考察角平分线的定义,也可以考察角平分线的性质定理)
【类题训练】
1.(2022•梧州模拟)如图,在△ABC中,∠A=90°,BE是△ABC的角平分线,ED⊥BC于点D,CD=4,△CDE周长为12,则AC的长是( )
A.14 B.8 C.16 D.6
2.(2021秋•泗水县期末)如图,△ABC的面积为10cm2,AP垂直∠B的平分线BP于P,则△PBC的面积为( )
A.4cm2 B.5cm2
C.6cm2 D.7cm2
3.(2020秋•江岸区校级月考)如图,△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB,AC边翻折形成的,若∠1:∠2:∠3=13:3:2,CD与BE交于O点,则∠EOC的度数为( )
A.80° B.85° C.90° D.100°
4.(2022•永嘉县模拟)如图,△ABC的角平分线BD,CE交于点F,AB=AC.
(1)求证:△ABD≌△ACE.
(2)当∠A=40°时,求∠BFC的度数.
5.(2022•嘉兴一模)在①OA=OD,②∠ABC=∠DCB,③∠ABO=∠DCO这三个条件中选择其中一个,补充在下面的问题中,并完成问题的解答.
问题:如图,AC与BD相交于点O,∠1=∠2.
若 ,求证:AB=DC.
6.(2021秋•台安县月考)如图,四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,∠BCD=150°,CB=CD,M,N为AB、AD上的两个动点,且∠MCN=75°.求证:MN=BM+DN.
7.(2021春•西安期末)如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.
(1)△ABC≌△ADE吗?为什么?
(2)求∠FAE的度数;
(3)延长BF到G,使得FG=FB,试说明CD=2BF+DE.
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