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初中数学浙教版八年级上册1.1 认识三角形同步练习题
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这是一份初中数学浙教版八年级上册1.1 认识三角形同步练习题，共51页。试卷主要包含了三角形按边长关系，可分为，已知中，，则图中的度数为，现有以下说法等内容，欢迎下载使用。
知识点01：三角形的基本概念
三角形：不在同一条直线上的三条线段首尾相接所组成的图形．
（2023秋·浙江·八年级专题练习）
1．一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（ ）
A．B．
C．D．
（2023·浙江·八年级假期作业）
2．如图，在△BCE中，边BE所对的角是 ，∠CBE所对的边是 ；在△AEC中，边AE所对的角是 ，∠A为内角的三角形是 ．
知识点02：三角形的分类：
1．按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形（定义，区别）．
2．按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形．
（2023春·山东枣庄·七年级校联考阶段练习）
3．三角形按边长关系，可分为（ ）
A．等腰三角形，直角三角形B．直角三角形，不等边三角形
C．等腰三角形，不等边三角形D．等腰三角形，等边三角形
（2023·浙江·八年级假期作业）
4．如图，ABC被撕去了一角，经测量得∠A=68°，∠B=21°，则ABC是 三角形.（填“锐角”、“直角”或“钝角”）
知识点03：三角形的基本性质
1．三角形的内角和是180°．
2．三角形的任何两边的和大于第三边（由两点之间线段最短得到）．
三角形的任何两边的差小于第三边
三角形的任何两边之和大于第三边大于两边之差．
应用：知两条确定第三条范围；知三条判断能否组成三角形；知四条及以上
3．三角形的外角：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角．
三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角的和（教材P7做一做）．
（2023秋·全国·八年级专题练习）
5．已知中，，则图中的度数为（ ）
A．180°B．220°C．230°D．240°
（2023春·江苏镇江·七年级校考期末）
6．如图，在中，点D是上一点，，，则 °．
知识点04：几条重要的线
1．三角形的角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和
对边中点；三条角平分线都在三角形内且相交于一点；等量关系式∠1=∠2=二分之一∠α ；
2．三角形的中线：连接一个顶点和它对边的中点的线段；三条中线都在三角形内且相交于一点；等量关系式AP=BP=二分之一AB ．等积三角形；周长差三角形
3．三角形的高；从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线段．
锐角三角形的三条高在三角形的内部相交于一点．
直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，三条高在三角形的直角顶点处相交于一点．
钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，三条高在三角形的外部相交于一点．
会带来面积问题、直角、直角三角形
（2023春·宁夏石嘴山·七年级校考期末）
7．如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）
8．如图，的周长为，，是边上的中线，的周长比的周长大2，则的长为 ．
题型01 三角形的概念与分类
（2023秋·湖南永州·八年级校考阶段练习）
9．现有以下说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形的两边之差大于第三边；③三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形；④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．正确的有（ ）
A．4个B．3 个C．2个D．1个
（2023·浙江·八年级假期作业）
10．如图，在直角中，边上有，，三点，，，，垂足为．以为中线的三角形是 ；以为角平分线的三角形是 ；以为高线的三角形有 个．
（2023秋·全国·八年级专题练习）
11．说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形．
题型02 三角形的稳定性
（2023秋·全国·八年级专题练习）
12．在日常生活中，数学知识有着广泛的应用．观察下列四幅图片，解释不正确的是（ ）
A．图①用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状固定不变，这是利用了三角形的稳定性
B．图②用四根木条钉成四边形框架，它的形状是可以改变的，这说明四边形具有不稳定性
C．图③固定木条旋转木条，当时有，这是因为“同位角相等，两直线平行”
D．图④是体育课上老师测量学生跳远成绩，这是利用了“两点之间，线段最短”的道理
（2023春·上海·七年级专题练习）
13．赵师傅在做完门框后，为防止变形，如图中所示的那样在门上钉上两条斜拉的木条（即图中的，两根木条），这其中的数学原理是 ．
（2023秋·全国·八年级专题练习）
14．为使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，哥哥准备如图①那样再钉上两根木条，弟弟准备如图②那样再钉上两根木条，哪种方法能使木架不变形？为什么？
题型03 构成三角形的条件
（2023春·四川成都·七年级成都市树德实验中学校考期中）
15．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是( )
A．，，B．，，
C．，，D．，，
（2023春·江苏南京·七年级统考期中）
16．下列各组数：①1，2，3；②2，3，4；③3，4，5；④3，6，9，其中能作为三角形的三边长的是 （填写所有符合题意的序号）．
2023·全国·九年级专题练习）
17．有四条线段，长度分别为4 cm，8 cm，10 cm，12 cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三角形？分别写出来．
题型04 三角形三边关系的应用
（2023春·吉林长春·七年级校考期末）
18．木工师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为和的木条，需要将其中一根木条分为两段与另一根木条组成一个三角形．如果不考虑损耗和接头部分，那么木工师傅应该选择把哪根木条分为两段？（ ）
A．长为的木条B．长为的木条C．两根都可以D．两根都不行
（2023春·江苏泰州·七年级校考周测）
19．已知、、为的三边，化简： ．
（2023春·四川达州·七年级校联考期中）
20．已知，，为的三边长，且，，都是整数．
(1)化简：；
(2)若，求的周长．
题型05 与三角形的高有关的计算问题
（2023春·江苏扬州·七年级统考期中）
21．如图，在中，D是的中点，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为6，则的面积为（ ）
A．16B．18C．20D．22
（2023春·黑龙江鸡西·七年级期中）
22．如图，在中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ，理由是 ．
（2023春·湖南邵阳·七年级统考期末）
23．如图，在中，，．垂足为，，，，则点到直线的距离为 cm．
题型06 根据三角形的中线求解
（2023春·河南郑州·七年级校考期中）
24．在中，是边上的中线，的周长比的周长多3，与的和为13，则的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
（2023春·内蒙古包头·七年级包头市第三十五中学校考期中）
25．如图，已知B是的中线，，，和的周长的差是 ．
（2023秋·全国·八年级专题练习）
26．如图，在中，点为中点，E为上一点，，若与四边形的周长相等，求的值．
题型07 三角形内角和定理的证明与应用
（2023·浙江·八年级假期作业）
27．定理：三角形的内角和是180°．
已知：、、是的三个内角．
求证：．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①③
（2023秋·山东聊城·八年级统考期末）
28．如图，，，，则 ．
（2023春·山东德州·七年级校考阶段练习）
29．我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°我们是通过度量和剪拼得到这一结论的，我们马上就要升入八年级，在八年级的数学学习中，“三角形的内角和等于180°”是需要通过推理的方法去证明的，接下来我们需要接受挑战，完成下列题目要求：
（1）在证法一中的括号内，填上推理的根据．
（2）在证法二的提示下写出证明过程．并写清楚推理的根据．
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．
已知：如图1，
求证：．
证法一：如图2，作的延长线，过点C作，
则（ ），
（ ），
又∵（ ），
∴（ ）．
证法二：提示：如图3，过点C作．
题型08 三角形的外角的定义及性质
（2023春·四川宜宾·七年级统考期末）
30．如图，在中，平分．则、、的数量关系为（ ）
A．B．
C．D．
（2023春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）
31．一幅三角板如图摆放，点在上，，交于点，交于点．其中，，， °．
（2023春·福建福州·七年级校考期末）
32．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点．
(1)若，，求的度数；
(2)请你写出、、三个角之间存在的等量关系，并写出证明过程．
A夯实基础
（2023春·辽宁沈阳·七年级统考阶段练习）
33．如图，的边上的高是（ ）
A．线段B．线段C．线段D．线段
（2023春·山东枣庄·七年级校联考阶段练习）
34．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的几何原理是（ ）
A．两点之间线段最短B．垂线段最短
C．两定确定一条直线D．三角形具有稳定性
（2023春·河南郑州·七年级校考期中）
35．有两根长度分别为和的木棒，下列长度的木棒能与它们摆成三角形的是（ ）
A．B．C．D．
（2023春·宁夏石嘴山·七年级校考期末）
36．如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
（2023春·河南新乡·七年级期中）
37．安装空调外机时一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是 ．
（2023春·上海嘉定·七年级校考期末）
38．如图，，，垂足为点，如果，那么
（2023秋·全国·八年级专题练习）
39．在中，如果，那么的外角等于 度．
（2022秋·宁夏固原·八年级校考期中）
40．如图，是的的中线，是的的中线，若的面积为，则的面积为 ．
（2023春·山东济南·七年级校考期中）
41．如图，中，，平分，，，求的度数．
（2023春·江苏无锡·七年级统考期中）
42．画图并填空：如图，每个小正方形的边长为个单位，小正方形的顶点叫格点．
(1)将向左平移格，再向上平移格，请在图中画出平移后的；
(2)利用网格在图中画出的高线；
(3)在平移过程中线段所扫过的面积为______ ；
(4)在图中能使的格点的个数有______ 个点异于．
B能力提升
（2023春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）
43．下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（ ）
A．、、B．、、
C．、、D．、、
（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）
44．一个三角形两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ）
A．2cmB．11cmC．10cmD．9cm
（2023·陕西榆林·校考三模）
45．如图，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
（2023春·黑龙江鸡西·七年级期中）
46．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求的度数（ ）
A．B．C．D．
（2023春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）
47．一幅三角板如图摆放，点在上，，交于点，交于点．其中，，， °．
（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）
48．如图，已知点是射线上一动点(可在射线上运动)，，当满足 时，为锐角三角形．
（2023春·江苏泰州·七年级校考周测）
49．如图，点O是内一点，，、分别平分和，则 °．
（2023春·江苏泰州·七年级校考周测）
50．已知、、为的三边，化简： ．
（2023春·浙江宁波·七年级校联考期中）
51．如图，D、B、P分别是边、． 上一点，．
(1)试判断与的位置关系．并说明理由：
(2)苔．求的度数．
（2023春·海南海口·七年级校联考阶段练习）
52．如图，在中，，，平分．
(1)求的度数；
(2)在图中画出边上的高，并求的度数．
C综合素养
（2023春·贵州贵阳·八年级校考期中）
53．已知是的三条边，且满足，则是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形
（2023春·山东烟台·七年级统考期中）
54．如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，，，，．为了舒适，需调整的大小，使，且、、保持不变，则应调整为（ ）
A．B．C．D．
（2023秋·全国·八年级专题练习）
55．如图，的两个外角的平分线相交于点O，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
（2023春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）
56．如图，的中线相交于点F，若的面积为12，则四边形的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．5
（2023春·河南新乡·七年级期中）
57．已知（非直角三角形）中，，，边上的高所在的直线交于点，则 ．
（2023春·四川宜宾·七年级统考期末）
58．如图，中，点是延长线上的一点，于点的平分线与的平分线交于点．当时，则的度数为 ．
（2023春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期中）
59．如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接，若，则为 ．
（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）
60．如图，在中，，，D是的中点，点E是边上一个动点，将沿翻折，使点A落在点处，当时，的度数为 ．
（2023春·四川自贡·七年级校考期中）
61．探究题：
学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
(1)小明遇到了下面的问题：如图1，，点P在、内部，探究，，的关系．小明过点P作的平行线，可证，，之间的数量关系是： ．
(2)如图2，若，点P在AC、BD外部，，，的数量关系是否发生变化？请你补全下面的证明过程．
证明：过点P作，
．
，
，
．
，
．
(3)随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途，试构造平行线解决以下问题：
已知：如图3，三角形，求证：．
（2023春·江苏泰州·七年级校考周测）
62．如果两个角的差等于30°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如，，，则α和β互为“伙伴角”，即α是β的“伙伴角”，β也是α的“伙伴角”
(1)已知和互为“伙伴角”，，且和互补，求的度数；
(2)在中，，是角平分线．
① 如图1，过点C作的垂线，垂足为D，、相交于点F．若与互为“伙伴角”，则_______．
② 如图2，过点C作的平行线，射线平分，且与射线交于点N．若与互为“伙伴角”，求的度数；
课程标准
学习目标
1．三角形的基本概念；
2．三角形的分类；
3．三角形的内角和与外角和；
1．掌握三角形的基本概念，掌握三角形的分类情况；2．掌握三角形的三边关系及性质；
3、掌握三角形的内角和定理与外角的性质；
4、通过观察和动手操作，体验探索过程，学会推理的数学思想方法，培养敢干实践及合作交流的习惯．
参考答案：
1．D
【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；
B、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；
C、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；
D、不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接，是三角形，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查三角形图形的知识，根据三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。判断是否三条线段首尾顺次相接是解决本题的关键。
2． ∠BCE##∠ECB CE##EC ∠ACE##∠ECA △ABD，△ABC，△ACE
【分析】根据的边、角的定义，即可求解．
【详解】解：在△BCE中，边BE所对的角是∠BCE，∠CBE所对的边是CE；
在△AEC中，边AE所对的角是∠ACE，∠AEC所对的边是AC；
∠A为内角的三角形是△ABD，△ABC，△ACE．
故答案为：∠BCE；CE；∠ACE；△ABD，△ABC，△ACE
【点睛】本题考查了三角形的知识，掌握由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角是解题的关键．
3．C
【分析】根据三角形按边的分类方法即可得到答案．
【详解】解：三角形按边长关系，可分为等腰三角形和不等边三角形，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的分类，要注意等腰三角形是包含等边三角形的．
4．钝角
【分析】由三角形内角和定理求出∠C=91°＞90°，即可得出结论．
【详解】解：由三角形内角和定理得：
∠C=180°∠A∠B=180°68°21°=91°＞90°，
∴ABC是钝角三角形；
故答案为：钝角．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及钝角三角形的定义；熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
5．C
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件．
6．80
【分析】根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】解：是的一个外角，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
7．A
【分析】根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出．
【详解】解：∵，是的角平分线，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，解题的关键是掌握三角形的角平分线将三角形的内角平均为为两份．
8．4
【分析】依据的周长为，的周长比的周长大2，可得，由此即可解题．
【详解】解：∵的周长为，，
∴，
∵的周长比的周长大2，
∴，
∴，，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了三角形三角形中线的定义，解题时注意：中线分成的两个三角形周长差等于边长差．
9．C
【分析】根据三角形的分类，三角形的三边关系，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：①等边三角形是等腰三角形，故①正确；
②三角形的两边之差小于第三边，故②错误；
③三角形按边分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形，的说法是错误的（因为等边三角形属于等腰三角形），故③错误
④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故④正确
∴上述说法中正确的有2个.
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的分类，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的分类是解题的关键．
10．
【分析】根据三角形直线的定义得出以为中线的三角形是，根据三角形角平分线的定义得出以为角平分线的三角形是，根据三角形高的定义数出三角形的个数即可求解．
【详解】解：，
以为中线的三角形是；
，
以为角平分线的三角形是；
，
以为高线的三角形有、、、、、、、、、，共个，
故答案为：；；．
【点睛】本题考查了三角形中线的定义，三角形角平分线的定义，三角形高的定义，掌握以上知识是解题的关键．
11．锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有：
【分析】根据三角形的分类进行求解即可．
【详解】解：由题意得：锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有：．
【点睛】本题主要考查了三角形的分类，熟知三角形的分类方法是解题的关键．
12．D
【分析】根据三角形的稳定性，四边形的不稳定性，同位角相等，两直线平行，以及垂线段最短，进行判断即可．
【详解】解：A、图①用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状固定不变，这是利用了三角形的稳定性，说法正确，不符合题意；
B、图②用四根木条钉成四边形框架，它的形状是可以改变的，这说明四边形具有不稳定性，说法正确，不符合题意；
C、图③固定木条旋转木条，当时有，这是因为“同位角相等，两直线平行” 说法正确，不符合题意；
D、图④是体育课上老师测量学生跳远成绩，这是利用了“点到直线，垂线段最短”的道理，原说法错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查三角形的稳定性，四边形的不稳定性，同位角相等，两直线平行，以及垂线段最短．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
13．三角形的稳定性
【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
【详解】解：赵师傅这样做是运用了三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
14．见解析
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【详解】解：哥哥的如图①那样钉上两根木条能使木架不变形，
因为三角形具有稳定性．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，理解概念是解题的关键．
15．C
【分析】根据三角形的三边关系：通过验证两短边和大于最大边，即可进行判断．
【详解】解：A、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；
B、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；
C、，符合三角形三边关系，故能构成三角形；
D、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；
故选C．
【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
16．②③##③②
【分析】利用三角形的三边关系，逐一进行判断即可．
【详解】解：①，不能构成三角形；
②，可以构成三角形；
③，可以构成三角形；
④，不能构成三角形；
综上，能作为三角形的三边长的是②③；
故答案为：②③．
【点睛】本题考查三角形的三边关系．熟练掌握两短边之和大于第三边，三条线段能构成三角形，是解题的关键．
17．可以组成3个三角形，见解析
【分析】根据三角形的三边关系，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴可以组成3个三角形，
分别为：（1）8 cm，10 cm，12 cm；（2）4 cm，10 cm，12 cm；（3）4 cm，8 cm，10 cm．
【点睛】本题考查三角形的三边关系．熟练掌握利用两短边之和大于第三边即可组成三角形，是解题的关键．
18．B
【分析】根据三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边解答即可．
【详解】解：三角形的任意两边之和大于第三边，
两根长度分别为和的细木条做一个三角形的框架，可以把的木条分为两截．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系在实际中的应用，熟练掌握三角形的三边关系是关键．
19．##
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到，再根据绝对值的性质进行化简计算．
【详解】解：∵、、为的三边，
∴，，
∴
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系和绝对值的化简，关键是根据三角形的三边关系判断出，．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的三边的性质，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，然后去绝对值，即可；
（2）对进行化简，求出，的值，然后根据三角形三边的关系，确定的值，即可．
【详解】（1）∵，，为的三边长，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
．
（2）∵，
∴，
，
，
∴，；
∵，
∴，
∵，，都是整数，
∴，
∴的周长为：．
【点睛】本题考查三角形，绝对值的知识，解题的关键是掌握三角形三边的性质，绝对值的非负性．
21．C
【分析】连接，根据中点求出，根据，得到，设，求出 得到，可得，从而求出x的值，根据即可求解．
【详解】连接，
∵D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
设，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的面积，根据题意得出是解题的关键．
22． 4.8 垂线段最短
【分析】根据垂线段最短，得出当时，最小，理由等积法求出最小值即可．
【详解】解：∵垂线段最短，
∴当时，最小，
∵此时，
∴．
故答案为：；垂线段最短．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短．
23．##
【分析】根据三角形面积公式和点到直线的距离进行求解；
【详解】如图所示：
故点到直线的距离为
故答案为
【点睛】本题主要考查了三角形的面积和点到直线的距离，难度不大．
24．D
【分析】由题意易得，，然后问题可求解．
【详解】解：∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，①
∴，②
∴①+②得：，
∴；
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键．
25．
【分析】根据三角形中线的性质，得出，再根据三角形的周长，得出和的周长的差为，然后把数据代入，计算即可．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∴和的周长的差，
∵，，
∴和的周长的差．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，解本题的关键在理清线段之间的数量关系．
26．
【分析】由图可知三角形的周长，四边形的周长，，所以，则可解得，进而解题．
【详解】解：由图可知：三角形的周长，四边形的周长，
又∵三角形的周长与四边形的周长相等，是的中点，
∴，，
∴，
又∵，，，
∴，
∴
∴cm，
∴，
∴
【点睛】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键．
27．C
【分析】根据平行线的性质得出，，即可推出结论．
【详解】解：证明：如图，作点E作直线，使得，
∴（两直线平行，内错角相等），
∴，
∴．
①*表示两直线平行，内错角相等；故①不正确，不符合题意；
②@表示，故②正确，符合题意；
③④上述证明得到的结论，在任何三角形均适用；故③不正确，不符合题意；④正确，符合题意；
综上：正确的有②④，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的证明，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
28．
【分析】根据三角形的内角和等于，得出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可得出的度数．
【详解】解：∵，
又∵，，
∴，
解得：，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
29．（1）两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；平角定义；等量代换；（2）见解析
【分析】（1）作的延长线，过点C作，根据平行线的性质得到，，然后利用平角的概念证明即可；
（2）过点C作，根据平行线的性质得到，，然后利用平角的概念证明即可．
【详解】解：（1）证法一：如图2，作的延长线，过点C作，
则（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同位角相等）
又∵（平角定义）
∴（等量代换）
故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；平角定义；等量代换；
（2）如图，∵
则，（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，内错角相等），
又∵（平角定义）
∴（等量代换）．
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
30．D
【分析】根据平分，则，再根据三角形的外角和，即可．
【详解】∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查角平分线，三角形的外角和，解题的关键是掌握角平分线的性质，三角形的外角和．
31．
【分析】由，推出，根据三角形的外角性质即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形的外角性质，关键是由平行线的性质得到．
32．(1)
(2)；证明见解析
【分析】（1）根据三角形外角性质求出，即可求出，再利用三角形的外角的性质求出即可；
（2）根据三角形外角性质求出，根据三角形外角求出即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）结论：．
证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴
，
即．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键掌握三角形外角的性质．
33．C
【分析】边上的高即为过点B向边所在直线所作的垂线段，据此解答即可.
【详解】解：如图，的边上的高是线段；
故选：C.
【点睛】本题考查了三角形的高，属于应知应会题型，熟知三角形的高的定义是解题关键.
34．D
【分析】三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点．
【详解】解：如图所示：可知点O、A、B构成了一个三角形，利用了三角形具有稳定性的特点．
选项A：错误；选项B：错误；选项C：错误；选项D：正确．
故选：D
【点睛】本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用．掌握相关结论即可．
35．B
【分析】根据三角形的三边长的关系即可求解．
【详解】解：设摆成三角形的第三边长为，
∴，
即，
∴观察各选项，符合条件的选项为，
故选：．
【点睛】本题主要考查构成三角形的三边长的条件，理解并掌握构成三角形的条件是解题的关键．
36．A
【分析】根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出．
【详解】解：∵，是的角平分线，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，解题的关键是掌握三角形的角平分线将三角形的内角平均为为两份．
37．三角形的稳定性
【分析】钉在墙上的方法是构造三角形，因而应用了三角形的稳定性．
【详解】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．
38．
【分析】延长交于，由平行线的性质得到，求出，由邻补角的性质即可求解．
【详解】解：延长交于，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是由平行线的性质得到．
39．120
【分析】三角形的外角等于与它不相邻的两内角和，据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴的外角的度数为：．
故答案为：120．
【点睛】本题考查三角形的外角定理．熟记相关结论是解题关键．
40．3
【分析】利用三角形中线把三角形分成面积相等的两个小三角形的性质即可求解．
【详解】解：是的的中线，且的面积为，
，
又是的的中线，
,
故答案为：3．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
41．
【分析】由三角形的内角和可得，再由角平分线可求得，从而可得，结合，即可求的度数．
【详解】∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，解答的关键是熟记三角形内角和为．
42．(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的即可；
（2）延长，作垂直于，交的延长线于点，即为的高线；
（3）利用大长方形减去四个小长方形的面积即可得出结论；
（4）过点作直线的平行线，此直线与格点的交点即为点．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：延长，作垂直于，交的延长线于点，的高线如图，
（3）解：如图所示，
线段所扫过的面积：
．
故答案为：．
（4）解：过点作直线的平行线，此直线与格点的交点即为点，如图，共有个点．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是作图平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
43．C
【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断．实际判断中，可选取较短的两条边之和与最长的一条边相比较即可．
【详解】解：A、，能做成三角形框架,不符合题意；
B、，能做成三角形框架,不符合题意；
C、，不能做成三角形框架,符合题意；
D、，能做成三角形框架,不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了构成三角形的条件，解题的关键是：一定要注意构成三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
44．D
【分析】根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”分析判断即可．
【详解】解：由三角形三条边的关系，可得：第三边，
即第三边，只有D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．
45．A
【分析】根据三角形的外角定理得出，再根据平行线的性质得出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的外角定理，平行线的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角之和，两直线平行，同位角相等．
46．A
【分析】延长、交于点D，根据，得出，根据邻补角求出，根据三角形外角的性质得出．
【详解】解：延长、交于点D，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
47．
【分析】由，推出，根据三角形的外角性质即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形的外角性质，关键是由平行线的性质得到．
48．
【分析】根据锐角三角形的定义可得都小于，根据三角形内角和定理可得，进而即可求解．
【详解】根据题意，时，为锐角三角形．
∴且
即
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形的内角和定理和题目的要求得到某一个角需要满足的条件即为本题的答案．
49．70
【分析】先根据三角形的内角和得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据三角形的内角和即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵、分别平分和，
∴，
∴，
∴，
故答案为：70．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和为．
50．##
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到，再根据绝对值的性质进行化简计算．
【详解】解：∵、、为的三边，
∴，，
∴
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系和绝对值的化简，关键是根据三角形的三边关系判断出，．
51．(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等，可得，进而可得，问题的得证；
（2）根据题意可得，，即可求出，再根据三角形内角和定理即可作答．
【详解】（1）．理由如下：
∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等），
∵，
∴，
∴（内错角相等，两直线平行）．
（2）∵，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握平行线的判定与性质，是解答本题的关键．
52．(1)
(2)见解析，
【分析】（1）先求出，利用角平分线的定义和三角形外角和性质即可求解；
（2）根据高线的定义画出图形，再利用三角形内角和定理即可求出角度．
【详解】（1）∵，，
∴；
∵平分，
∴，
∴；
（2）作出高线如下：
．
【点睛】本题考查三角形三角形内角和、高线的定义、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的基本知识是解题的关键．
53．D
【分析】将等式变形为，再将等式左边因式分解，利用三角形的三边关系即可得到的数量关系．
【详解】解：，
，
对等式的左边，进行因式分解得，
根据三角形的三边关系可得：，
，即，
是等腰三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解及三角形的三边关系，结合已知条件求得是解题的关键．
54．D
【分析】连接，并延长至点M，在中，利用三角形内角和定理，可得出的度数，结合对顶角相等，可得出的度数，利用三角形外角的性质，可得出，，二者相加后，可求出的度数，即可求出结论．
【详解】解：连接，并延长至点M，如图所示．
在中，，，
∴，
∴．
∵，，
∴， 即，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，根据各角之间的关系，找出与之间的关系是解题的关键．
55．B
【分析】如图，由，可得，则，由的平分线相交于点O，可得，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∵的平分线相交于点O，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
56．C
【分析】连接，根据中线的性质得到三角形面积之间的关系，即可求解．
【详解】解：连接，如下图：
∵的中线相交于点F，
∴，，
∵，
∴
∴
∵，
∴
∵的面积为12
∴
解得
∴
故选：C
【点睛】此题考查了与三角形中线有关的计算，解题的关键是构造辅助线，确定出三角形之间的面积关系．
57．或
【分析】①当是锐角三角形时，先根据高线的定义求出，然后根据直角三角形两锐角互余可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可解答 ；②是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出即可解答．
【详解】解：①如图1，是锐角三角形时，
∵是的高线，
∴，
∵在中，，
∴，
∴；
②如图2，是钝角三角形时，
∵是的高线，
∴，
∵（对顶角相等），
∴．
综上所述，的度数是或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了三角形的高、三角形外角的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
58．##110度
【分析】如图所示，设交于点，根据可求出的关系，根据角平分线的性质可得的关系，由此可得，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图所示，设交于点，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
59．4
【分析】如图，连接，设的面积为m．利用等高模型的性质，用m表示出各个三角形的面积，可得的面积为18m，构建方程，可得结论．
【详解】解：如图，连接，设的面积为m．
∵，
∴的面积为2m，的面积为3m，
∵，
∴的面积的面积，
∵，
∴的面积，的面积，
∵，
∴的面积的面积，
∴的面积，即．
则，
∴的面积为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查三角形的面积，等高模型的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．
60．或
【分析】根据点在直线的上方与下方，分两种情况分别讨论．先计算，再根据翻折的对称性可求得，再由求得，再由翻折对称性求得为的一半．另一种情况仿此可求得．
【详解】分两种情况讨论：
①点位于直线的下方，延长，交于点H．如图．
由得，
由沿翻折为，
∴
∴，
由得，
∴．
∴．
②点位于直线的上方，连接，交于点M．如图．
由得，
∴．
由得．
∴．
综合①②可知，或
故答案为：或．
【点睛】本题考查了图形翻折的轴对称性、三角形的内角和等知识点，解题的关键是画出图形，分两种情况讨论．
61．(1)
(2)，，
(3)见解析
【分析】（1）设过点P作的平行线为，易得出，从而得出，．再根据，即得出；
（2）根据平行线的性质结合角的和与差补全证明过程即可；
（3）过点作，根据平行线的性质结合平角为即可证明．
【详解】（1）解：如图，设过点P作的平行线为．
∵，，
∴，
∴，．
∵，
∴．
故答案为：；
（2）证明：过点P作，
．
，
，
．
，
．
故答案为：，，；
（3）证明：过点作，
∴，．
∵，
∴．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质．正确作出辅助线是解题关键．
62．(1)
(2)①或；②或
【分析】（1）根据题目所给“伙伴角”和互补的定义，列出方程组求解即可；
（2）①设，分两种情况进行讨论或，即可求解；②设，分两种情况进行讨论，或，
当时，即可求解．
【详解】（1）解：∵和互为“伙伴角”，，
∴，
∵和互补，
∴，
联立得：，
解得：；
（2）解：①设，
∵与互为“伙伴角”，
∴或，
当时，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴；
当时，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴；
综上：或；
故答案为：或；
②设，
∵与互为“伙伴角”，
∴或，
当时，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：，
当时，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：，
综上：或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和，平行线的性质，解题的关键是正确理解题目所给“伙伴角”的定义，掌握直角三角形两锐角互余；三角形的内角和为；两直线平信个，同位角相等．
知识点01：三角形的基本概念
三角形：不在同一条直线上的三条线段首尾相接所组成的图形．
（2023秋·浙江·八年级专题练习）
1．一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（ ）
A．B．
C．D．
（2023·浙江·八年级假期作业）
2．如图，在△BCE中，边BE所对的角是 ，∠CBE所对的边是 ；在△AEC中，边AE所对的角是 ，∠A为内角的三角形是 ．
知识点02：三角形的分类：
1．按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形（定义，区别）．
2．按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形．
（2023春·山东枣庄·七年级校联考阶段练习）
3．三角形按边长关系，可分为（ ）
A．等腰三角形，直角三角形B．直角三角形，不等边三角形
C．等腰三角形，不等边三角形D．等腰三角形，等边三角形
（2023·浙江·八年级假期作业）
4．如图，ABC被撕去了一角，经测量得∠A=68°，∠B=21°，则ABC是 三角形.（填“锐角”、“直角”或“钝角”）
知识点03：三角形的基本性质
1．三角形的内角和是180°．
2．三角形的任何两边的和大于第三边（由两点之间线段最短得到）．
三角形的任何两边的差小于第三边
三角形的任何两边之和大于第三边大于两边之差．
应用：知两条确定第三条范围；知三条判断能否组成三角形；知四条及以上
3．三角形的外角：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角．
三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角的和（教材P7做一做）．
（2023秋·全国·八年级专题练习）
5．已知中，，则图中的度数为（ ）
A．180°B．220°C．230°D．240°
（2023春·江苏镇江·七年级校考期末）
6．如图，在中，点D是上一点，，，则 °．
知识点04：几条重要的线
1．三角形的角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和
对边中点；三条角平分线都在三角形内且相交于一点；等量关系式∠1=∠2=二分之一∠α ；
2．三角形的中线：连接一个顶点和它对边的中点的线段；三条中线都在三角形内且相交于一点；等量关系式AP=BP=二分之一AB ．等积三角形；周长差三角形
3．三角形的高；从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线段．
锐角三角形的三条高在三角形的内部相交于一点．
直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，三条高在三角形的直角顶点处相交于一点．
钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，三条高在三角形的外部相交于一点．
会带来面积问题、直角、直角三角形
（2023春·宁夏石嘴山·七年级校考期末）
7．如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）
8．如图，的周长为，，是边上的中线，的周长比的周长大2，则的长为 ．
题型01 三角形的概念与分类
（2023秋·湖南永州·八年级校考阶段练习）
9．现有以下说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形的两边之差大于第三边；③三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形；④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．正确的有（ ）
A．4个B．3 个C．2个D．1个
（2023·浙江·八年级假期作业）
10．如图，在直角中，边上有，，三点，，，，垂足为．以为中线的三角形是 ；以为角平分线的三角形是 ；以为高线的三角形有 个．
（2023秋·全国·八年级专题练习）
11．说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形．
题型02 三角形的稳定性
（2023秋·全国·八年级专题练习）
12．在日常生活中，数学知识有着广泛的应用．观察下列四幅图片，解释不正确的是（ ）
A．图①用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状固定不变，这是利用了三角形的稳定性
B．图②用四根木条钉成四边形框架，它的形状是可以改变的，这说明四边形具有不稳定性
C．图③固定木条旋转木条，当时有，这是因为“同位角相等，两直线平行”
D．图④是体育课上老师测量学生跳远成绩，这是利用了“两点之间，线段最短”的道理
（2023春·上海·七年级专题练习）
13．赵师傅在做完门框后，为防止变形，如图中所示的那样在门上钉上两条斜拉的木条（即图中的，两根木条），这其中的数学原理是 ．
（2023秋·全国·八年级专题练习）
14．为使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，哥哥准备如图①那样再钉上两根木条，弟弟准备如图②那样再钉上两根木条，哪种方法能使木架不变形？为什么？
题型03 构成三角形的条件
（2023春·四川成都·七年级成都市树德实验中学校考期中）
15．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是( )
A．，，B．，，
C．，，D．，，
（2023春·江苏南京·七年级统考期中）
16．下列各组数：①1，2，3；②2，3，4；③3，4，5；④3，6，9，其中能作为三角形的三边长的是 （填写所有符合题意的序号）．
2023·全国·九年级专题练习）
17．有四条线段，长度分别为4 cm，8 cm，10 cm，12 cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三角形？分别写出来．
题型04 三角形三边关系的应用
（2023春·吉林长春·七年级校考期末）
18．木工师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为和的木条，需要将其中一根木条分为两段与另一根木条组成一个三角形．如果不考虑损耗和接头部分，那么木工师傅应该选择把哪根木条分为两段？（ ）
A．长为的木条B．长为的木条C．两根都可以D．两根都不行
（2023春·江苏泰州·七年级校考周测）
19．已知、、为的三边，化简： ．
（2023春·四川达州·七年级校联考期中）
20．已知，，为的三边长，且，，都是整数．
(1)化简：；
(2)若，求的周长．
题型05 与三角形的高有关的计算问题
（2023春·江苏扬州·七年级统考期中）
21．如图，在中，D是的中点，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为6，则的面积为（ ）
A．16B．18C．20D．22
（2023春·黑龙江鸡西·七年级期中）
22．如图，在中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ，理由是 ．
（2023春·湖南邵阳·七年级统考期末）
23．如图，在中，，．垂足为，，，，则点到直线的距离为 cm．
题型06 根据三角形的中线求解
（2023春·河南郑州·七年级校考期中）
24．在中，是边上的中线，的周长比的周长多3，与的和为13，则的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
（2023春·内蒙古包头·七年级包头市第三十五中学校考期中）
25．如图，已知B是的中线，，，和的周长的差是 ．
（2023秋·全国·八年级专题练习）
26．如图，在中，点为中点，E为上一点，，若与四边形的周长相等，求的值．
题型07 三角形内角和定理的证明与应用
（2023·浙江·八年级假期作业）
27．定理：三角形的内角和是180°．
已知：、、是的三个内角．
求证：．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①③
（2023秋·山东聊城·八年级统考期末）
28．如图，，，，则 ．
（2023春·山东德州·七年级校考阶段练习）
29．我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°我们是通过度量和剪拼得到这一结论的，我们马上就要升入八年级，在八年级的数学学习中，“三角形的内角和等于180°”是需要通过推理的方法去证明的，接下来我们需要接受挑战，完成下列题目要求：
（1）在证法一中的括号内，填上推理的根据．
（2）在证法二的提示下写出证明过程．并写清楚推理的根据．
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．
已知：如图1，
求证：．
证法一：如图2，作的延长线，过点C作，
则（ ），
（ ），
又∵（ ），
∴（ ）．
证法二：提示：如图3，过点C作．
题型08 三角形的外角的定义及性质
（2023春·四川宜宾·七年级统考期末）
30．如图，在中，平分．则、、的数量关系为（ ）
A．B．
C．D．
（2023春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）
31．一幅三角板如图摆放，点在上，，交于点，交于点．其中，，， °．
（2023春·福建福州·七年级校考期末）
32．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点．
(1)若，，求的度数；
(2)请你写出、、三个角之间存在的等量关系，并写出证明过程．
A夯实基础
（2023春·辽宁沈阳·七年级统考阶段练习）
33．如图，的边上的高是（ ）
A．线段B．线段C．线段D．线段
（2023春·山东枣庄·七年级校联考阶段练习）
34．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的几何原理是（ ）
A．两点之间线段最短B．垂线段最短
C．两定确定一条直线D．三角形具有稳定性
（2023春·河南郑州·七年级校考期中）
35．有两根长度分别为和的木棒，下列长度的木棒能与它们摆成三角形的是（ ）
A．B．C．D．
（2023春·宁夏石嘴山·七年级校考期末）
36．如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
（2023春·河南新乡·七年级期中）
37．安装空调外机时一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是 ．
（2023春·上海嘉定·七年级校考期末）
38．如图，，，垂足为点，如果，那么
（2023秋·全国·八年级专题练习）
39．在中，如果，那么的外角等于 度．
（2022秋·宁夏固原·八年级校考期中）
40．如图，是的的中线，是的的中线，若的面积为，则的面积为 ．
（2023春·山东济南·七年级校考期中）
41．如图，中，，平分，，，求的度数．
（2023春·江苏无锡·七年级统考期中）
42．画图并填空：如图，每个小正方形的边长为个单位，小正方形的顶点叫格点．
(1)将向左平移格，再向上平移格，请在图中画出平移后的；
(2)利用网格在图中画出的高线；
(3)在平移过程中线段所扫过的面积为______ ；
(4)在图中能使的格点的个数有______ 个点异于．
B能力提升
（2023春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）
43．下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（ ）
A．、、B．、、
C．、、D．、、
（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）
44．一个三角形两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ）
A．2cmB．11cmC．10cmD．9cm
（2023·陕西榆林·校考三模）
45．如图，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
（2023春·黑龙江鸡西·七年级期中）
46．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求的度数（ ）
A．B．C．D．
（2023春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）
47．一幅三角板如图摆放，点在上，，交于点，交于点．其中，，， °．
（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）
48．如图，已知点是射线上一动点(可在射线上运动)，，当满足 时，为锐角三角形．
（2023春·江苏泰州·七年级校考周测）
49．如图，点O是内一点，，、分别平分和，则 °．
（2023春·江苏泰州·七年级校考周测）
50．已知、、为的三边，化简： ．
（2023春·浙江宁波·七年级校联考期中）
51．如图，D、B、P分别是边、． 上一点，．
(1)试判断与的位置关系．并说明理由：
(2)苔．求的度数．
（2023春·海南海口·七年级校联考阶段练习）
52．如图，在中，，，平分．
(1)求的度数；
(2)在图中画出边上的高，并求的度数．
C综合素养
（2023春·贵州贵阳·八年级校考期中）
53．已知是的三条边，且满足，则是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形
（2023春·山东烟台·七年级统考期中）
54．如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，，，，．为了舒适，需调整的大小，使，且、、保持不变，则应调整为（ ）
A．B．C．D．
（2023秋·全国·八年级专题练习）
55．如图，的两个外角的平分线相交于点O，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
（2023春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）
56．如图，的中线相交于点F，若的面积为12，则四边形的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．5
（2023春·河南新乡·七年级期中）
57．已知（非直角三角形）中，，，边上的高所在的直线交于点，则 ．
（2023春·四川宜宾·七年级统考期末）
58．如图，中，点是延长线上的一点，于点的平分线与的平分线交于点．当时，则的度数为 ．
（2023春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期中）
59．如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接，若，则为 ．
（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）
60．如图，在中，，，D是的中点，点E是边上一个动点，将沿翻折，使点A落在点处，当时，的度数为 ．
（2023春·四川自贡·七年级校考期中）
61．探究题：
学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
(1)小明遇到了下面的问题：如图1，，点P在、内部，探究，，的关系．小明过点P作的平行线，可证，，之间的数量关系是： ．
(2)如图2，若，点P在AC、BD外部，，，的数量关系是否发生变化？请你补全下面的证明过程．
证明：过点P作，
．
，
，
．
，
．
(3)随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途，试构造平行线解决以下问题：
已知：如图3，三角形，求证：．
（2023春·江苏泰州·七年级校考周测）
62．如果两个角的差等于30°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如，，，则α和β互为“伙伴角”，即α是β的“伙伴角”，β也是α的“伙伴角”
(1)已知和互为“伙伴角”，，且和互补，求的度数；
(2)在中，，是角平分线．
① 如图1，过点C作的垂线，垂足为D，、相交于点F．若与互为“伙伴角”，则_______．
② 如图2，过点C作的平行线，射线平分，且与射线交于点N．若与互为“伙伴角”，求的度数；
课程标准
学习目标
1．三角形的基本概念；
2．三角形的分类；
3．三角形的内角和与外角和；
1．掌握三角形的基本概念，掌握三角形的分类情况；2．掌握三角形的三边关系及性质；
3、掌握三角形的内角和定理与外角的性质；
4、通过观察和动手操作，体验探索过程，学会推理的数学思想方法，培养敢干实践及合作交流的习惯．
参考答案：
1．D
【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；
B、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；
C、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；
D、不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接，是三角形，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查三角形图形的知识，根据三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。判断是否三条线段首尾顺次相接是解决本题的关键。
2． ∠BCE##∠ECB CE##EC ∠ACE##∠ECA △ABD，△ABC，△ACE
【分析】根据的边、角的定义，即可求解．
【详解】解：在△BCE中，边BE所对的角是∠BCE，∠CBE所对的边是CE；
在△AEC中，边AE所对的角是∠ACE，∠AEC所对的边是AC；
∠A为内角的三角形是△ABD，△ABC，△ACE．
故答案为：∠BCE；CE；∠ACE；△ABD，△ABC，△ACE
【点睛】本题考查了三角形的知识，掌握由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角是解题的关键．
3．C
【分析】根据三角形按边的分类方法即可得到答案．
【详解】解：三角形按边长关系，可分为等腰三角形和不等边三角形，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的分类，要注意等腰三角形是包含等边三角形的．
4．钝角
【分析】由三角形内角和定理求出∠C=91°＞90°，即可得出结论．
【详解】解：由三角形内角和定理得：
∠C=180°∠A∠B=180°68°21°=91°＞90°，
∴ABC是钝角三角形；
故答案为：钝角．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及钝角三角形的定义；熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
5．C
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件．
6．80
【分析】根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】解：是的一个外角，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
7．A
【分析】根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出．
【详解】解：∵，是的角平分线，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，解题的关键是掌握三角形的角平分线将三角形的内角平均为为两份．
8．4
【分析】依据的周长为，的周长比的周长大2，可得，由此即可解题．
【详解】解：∵的周长为，，
∴，
∵的周长比的周长大2，
∴，
∴，，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了三角形三角形中线的定义，解题时注意：中线分成的两个三角形周长差等于边长差．
9．C
【分析】根据三角形的分类，三角形的三边关系，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：①等边三角形是等腰三角形，故①正确；
②三角形的两边之差小于第三边，故②错误；
③三角形按边分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形，的说法是错误的（因为等边三角形属于等腰三角形），故③错误
④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故④正确
∴上述说法中正确的有2个.
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的分类，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的分类是解题的关键．
10．
【分析】根据三角形直线的定义得出以为中线的三角形是，根据三角形角平分线的定义得出以为角平分线的三角形是，根据三角形高的定义数出三角形的个数即可求解．
【详解】解：，
以为中线的三角形是；
，
以为角平分线的三角形是；
，
以为高线的三角形有、、、、、、、、、，共个，
故答案为：；；．
【点睛】本题考查了三角形中线的定义，三角形角平分线的定义，三角形高的定义，掌握以上知识是解题的关键．
11．锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有：
【分析】根据三角形的分类进行求解即可．
【详解】解：由题意得：锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有：．
【点睛】本题主要考查了三角形的分类，熟知三角形的分类方法是解题的关键．
12．D
【分析】根据三角形的稳定性，四边形的不稳定性，同位角相等，两直线平行，以及垂线段最短，进行判断即可．
【详解】解：A、图①用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状固定不变，这是利用了三角形的稳定性，说法正确，不符合题意；
B、图②用四根木条钉成四边形框架，它的形状是可以改变的，这说明四边形具有不稳定性，说法正确，不符合题意；
C、图③固定木条旋转木条，当时有，这是因为“同位角相等，两直线平行” 说法正确，不符合题意；
D、图④是体育课上老师测量学生跳远成绩，这是利用了“点到直线，垂线段最短”的道理，原说法错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查三角形的稳定性，四边形的不稳定性，同位角相等，两直线平行，以及垂线段最短．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
13．三角形的稳定性
【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
【详解】解：赵师傅这样做是运用了三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
14．见解析
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【详解】解：哥哥的如图①那样钉上两根木条能使木架不变形，
因为三角形具有稳定性．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，理解概念是解题的关键．
15．C
【分析】根据三角形的三边关系：通过验证两短边和大于最大边，即可进行判断．
【详解】解：A、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；
B、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；
C、，符合三角形三边关系，故能构成三角形；
D、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；
故选C．
【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
16．②③##③②
【分析】利用三角形的三边关系，逐一进行判断即可．
【详解】解：①，不能构成三角形；
②，可以构成三角形；
③，可以构成三角形；
④，不能构成三角形；
综上，能作为三角形的三边长的是②③；
故答案为：②③．
【点睛】本题考查三角形的三边关系．熟练掌握两短边之和大于第三边，三条线段能构成三角形，是解题的关键．
17．可以组成3个三角形，见解析
【分析】根据三角形的三边关系，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴可以组成3个三角形，
分别为：（1）8 cm，10 cm，12 cm；（2）4 cm，10 cm，12 cm；（3）4 cm，8 cm，10 cm．
【点睛】本题考查三角形的三边关系．熟练掌握利用两短边之和大于第三边即可组成三角形，是解题的关键．
18．B
【分析】根据三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边解答即可．
【详解】解：三角形的任意两边之和大于第三边，
两根长度分别为和的细木条做一个三角形的框架，可以把的木条分为两截．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系在实际中的应用，熟练掌握三角形的三边关系是关键．
19．##
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到，再根据绝对值的性质进行化简计算．
【详解】解：∵、、为的三边，
∴，，
∴
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系和绝对值的化简，关键是根据三角形的三边关系判断出，．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的三边的性质，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，然后去绝对值，即可；
（2）对进行化简，求出，的值，然后根据三角形三边的关系，确定的值，即可．
【详解】（1）∵，，为的三边长，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
．
（2）∵，
∴，
，
，
∴，；
∵，
∴，
∵，，都是整数，
∴，
∴的周长为：．
【点睛】本题考查三角形，绝对值的知识，解题的关键是掌握三角形三边的性质，绝对值的非负性．
21．C
【分析】连接，根据中点求出，根据，得到，设，求出 得到，可得，从而求出x的值，根据即可求解．
【详解】连接，
∵D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
设，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的面积，根据题意得出是解题的关键．
22． 4.8 垂线段最短
【分析】根据垂线段最短，得出当时，最小，理由等积法求出最小值即可．
【详解】解：∵垂线段最短，
∴当时，最小，
∵此时，
∴．
故答案为：；垂线段最短．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短．
23．##
【分析】根据三角形面积公式和点到直线的距离进行求解；
【详解】如图所示：
故点到直线的距离为
故答案为
【点睛】本题主要考查了三角形的面积和点到直线的距离，难度不大．
24．D
【分析】由题意易得，，然后问题可求解．
【详解】解：∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，①
∴，②
∴①+②得：，
∴；
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键．
25．
【分析】根据三角形中线的性质，得出，再根据三角形的周长，得出和的周长的差为，然后把数据代入，计算即可．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∴和的周长的差，
∵，，
∴和的周长的差．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，解本题的关键在理清线段之间的数量关系．
26．
【分析】由图可知三角形的周长，四边形的周长，，所以，则可解得，进而解题．
【详解】解：由图可知：三角形的周长，四边形的周长，
又∵三角形的周长与四边形的周长相等，是的中点，
∴，，
∴，
又∵，，，
∴，
∴
∴cm，
∴，
∴
【点睛】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键．
27．C
【分析】根据平行线的性质得出，，即可推出结论．
【详解】解：证明：如图，作点E作直线，使得，
∴（两直线平行，内错角相等），
∴，
∴．
①*表示两直线平行，内错角相等；故①不正确，不符合题意；
②@表示，故②正确，符合题意；
③④上述证明得到的结论，在任何三角形均适用；故③不正确，不符合题意；④正确，符合题意；
综上：正确的有②④，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的证明，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
28．
【分析】根据三角形的内角和等于，得出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可得出的度数．
【详解】解：∵，
又∵，，
∴，
解得：，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
29．（1）两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；平角定义；等量代换；（2）见解析
【分析】（1）作的延长线，过点C作，根据平行线的性质得到，，然后利用平角的概念证明即可；
（2）过点C作，根据平行线的性质得到，，然后利用平角的概念证明即可．
【详解】解：（1）证法一：如图2，作的延长线，过点C作，
则（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同位角相等）
又∵（平角定义）
∴（等量代换）
故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；平角定义；等量代换；
（2）如图，∵
则，（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，内错角相等），
又∵（平角定义）
∴（等量代换）．
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
30．D
【分析】根据平分，则，再根据三角形的外角和，即可．
【详解】∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查角平分线，三角形的外角和，解题的关键是掌握角平分线的性质，三角形的外角和．
31．
【分析】由，推出，根据三角形的外角性质即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形的外角性质，关键是由平行线的性质得到．
32．(1)
(2)；证明见解析
【分析】（1）根据三角形外角性质求出，即可求出，再利用三角形的外角的性质求出即可；
（2）根据三角形外角性质求出，根据三角形外角求出即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）结论：．
证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴
，
即．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键掌握三角形外角的性质．
33．C
【分析】边上的高即为过点B向边所在直线所作的垂线段，据此解答即可.
【详解】解：如图，的边上的高是线段；
故选：C.
【点睛】本题考查了三角形的高，属于应知应会题型，熟知三角形的高的定义是解题关键.
34．D
【分析】三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点．
【详解】解：如图所示：可知点O、A、B构成了一个三角形，利用了三角形具有稳定性的特点．
选项A：错误；选项B：错误；选项C：错误；选项D：正确．
故选：D
【点睛】本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用．掌握相关结论即可．
35．B
【分析】根据三角形的三边长的关系即可求解．
【详解】解：设摆成三角形的第三边长为，
∴，
即，
∴观察各选项，符合条件的选项为，
故选：．
【点睛】本题主要考查构成三角形的三边长的条件，理解并掌握构成三角形的条件是解题的关键．
36．A
【分析】根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出．
【详解】解：∵，是的角平分线，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，解题的关键是掌握三角形的角平分线将三角形的内角平均为为两份．
37．三角形的稳定性
【分析】钉在墙上的方法是构造三角形，因而应用了三角形的稳定性．
【详解】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．
38．
【分析】延长交于，由平行线的性质得到，求出，由邻补角的性质即可求解．
【详解】解：延长交于，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是由平行线的性质得到．
39．120
【分析】三角形的外角等于与它不相邻的两内角和，据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴的外角的度数为：．
故答案为：120．
【点睛】本题考查三角形的外角定理．熟记相关结论是解题关键．
40．3
【分析】利用三角形中线把三角形分成面积相等的两个小三角形的性质即可求解．
【详解】解：是的的中线，且的面积为，
，
又是的的中线，
,
故答案为：3．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
41．
【分析】由三角形的内角和可得，再由角平分线可求得，从而可得，结合，即可求的度数．
【详解】∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，解答的关键是熟记三角形内角和为．
42．(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的即可；
（2）延长，作垂直于，交的延长线于点，即为的高线；
（3）利用大长方形减去四个小长方形的面积即可得出结论；
（4）过点作直线的平行线，此直线与格点的交点即为点．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：延长，作垂直于，交的延长线于点，的高线如图，
（3）解：如图所示，
线段所扫过的面积：
．
故答案为：．
（4）解：过点作直线的平行线，此直线与格点的交点即为点，如图，共有个点．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是作图平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
43．C
【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断．实际判断中，可选取较短的两条边之和与最长的一条边相比较即可．
【详解】解：A、，能做成三角形框架,不符合题意；
B、，能做成三角形框架,不符合题意；
C、，不能做成三角形框架,符合题意；
D、，能做成三角形框架,不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了构成三角形的条件，解题的关键是：一定要注意构成三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
44．D
【分析】根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”分析判断即可．
【详解】解：由三角形三条边的关系，可得：第三边，
即第三边，只有D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．
45．A
【分析】根据三角形的外角定理得出，再根据平行线的性质得出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的外角定理，平行线的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角之和，两直线平行，同位角相等．
46．A
【分析】延长、交于点D，根据，得出，根据邻补角求出，根据三角形外角的性质得出．
【详解】解：延长、交于点D，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
47．
【分析】由，推出，根据三角形的外角性质即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形的外角性质，关键是由平行线的性质得到．
48．
【分析】根据锐角三角形的定义可得都小于，根据三角形内角和定理可得，进而即可求解．
【详解】根据题意，时，为锐角三角形．
∴且
即
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形的内角和定理和题目的要求得到某一个角需要满足的条件即为本题的答案．
49．70
【分析】先根据三角形的内角和得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据三角形的内角和即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵、分别平分和，
∴，
∴，
∴，
故答案为：70．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和为．
50．##
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到，再根据绝对值的性质进行化简计算．
【详解】解：∵、、为的三边，
∴，，
∴
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系和绝对值的化简，关键是根据三角形的三边关系判断出，．
51．(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等，可得，进而可得，问题的得证；
（2）根据题意可得，，即可求出，再根据三角形内角和定理即可作答．
【详解】（1）．理由如下：
∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等），
∵，
∴，
∴（内错角相等，两直线平行）．
（2）∵，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握平行线的判定与性质，是解答本题的关键．
52．(1)
(2)见解析，
【分析】（1）先求出，利用角平分线的定义和三角形外角和性质即可求解；
（2）根据高线的定义画出图形，再利用三角形内角和定理即可求出角度．
【详解】（1）∵，，
∴；
∵平分，
∴，
∴；
（2）作出高线如下：
．
【点睛】本题考查三角形三角形内角和、高线的定义、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的基本知识是解题的关键．
53．D
【分析】将等式变形为，再将等式左边因式分解，利用三角形的三边关系即可得到的数量关系．
【详解】解：，
，
对等式的左边，进行因式分解得，
根据三角形的三边关系可得：，
，即，
是等腰三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解及三角形的三边关系，结合已知条件求得是解题的关键．
54．D
【分析】连接，并延长至点M，在中，利用三角形内角和定理，可得出的度数，结合对顶角相等，可得出的度数，利用三角形外角的性质，可得出，，二者相加后，可求出的度数，即可求出结论．
【详解】解：连接，并延长至点M，如图所示．
在中，，，
∴，
∴．
∵，，
∴， 即，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，根据各角之间的关系，找出与之间的关系是解题的关键．
55．B
【分析】如图，由，可得，则，由的平分线相交于点O，可得，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∵的平分线相交于点O，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
56．C
【分析】连接，根据中线的性质得到三角形面积之间的关系，即可求解．
【详解】解：连接，如下图：
∵的中线相交于点F，
∴，，
∵，
∴
∴
∵，
∴
∵的面积为12
∴
解得
∴
故选：C
【点睛】此题考查了与三角形中线有关的计算，解题的关键是构造辅助线，确定出三角形之间的面积关系．
57．或
【分析】①当是锐角三角形时，先根据高线的定义求出，然后根据直角三角形两锐角互余可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可解答 ；②是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出即可解答．
【详解】解：①如图1，是锐角三角形时，
∵是的高线，
∴，
∵在中，，
∴，
∴；
②如图2，是钝角三角形时，
∵是的高线，
∴，
∵（对顶角相等），
∴．
综上所述，的度数是或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了三角形的高、三角形外角的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
58．##110度
【分析】如图所示，设交于点，根据可求出的关系，根据角平分线的性质可得的关系，由此可得，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图所示，设交于点，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
59．4
【分析】如图，连接，设的面积为m．利用等高模型的性质，用m表示出各个三角形的面积，可得的面积为18m，构建方程，可得结论．
【详解】解：如图，连接，设的面积为m．
∵，
∴的面积为2m，的面积为3m，
∵，
∴的面积的面积，
∵，
∴的面积，的面积，
∵，
∴的面积的面积，
∴的面积，即．
则，
∴的面积为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查三角形的面积，等高模型的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．
60．或
【分析】根据点在直线的上方与下方，分两种情况分别讨论．先计算，再根据翻折的对称性可求得，再由求得，再由翻折对称性求得为的一半．另一种情况仿此可求得．
【详解】分两种情况讨论：
①点位于直线的下方，延长，交于点H．如图．
由得，
由沿翻折为，
∴
∴，
由得，
∴．
∴．
②点位于直线的上方，连接，交于点M．如图．
由得，
∴．
由得．
∴．
综合①②可知，或
故答案为：或．
【点睛】本题考查了图形翻折的轴对称性、三角形的内角和等知识点，解题的关键是画出图形，分两种情况讨论．
61．(1)
(2)，，
(3)见解析
【分析】（1）设过点P作的平行线为，易得出，从而得出，．再根据，即得出；
（2）根据平行线的性质结合角的和与差补全证明过程即可；
（3）过点作，根据平行线的性质结合平角为即可证明．
【详解】（1）解：如图，设过点P作的平行线为．
∵，，
∴，
∴，．
∵，
∴．
故答案为：；
（2）证明：过点P作，
．
，
，
．
，
．
故答案为：，，；
（3）证明：过点作，
∴，．
∵，
∴．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质．正确作出辅助线是解题关键．
62．(1)
(2)①或；②或
【分析】（1）根据题目所给“伙伴角”和互补的定义，列出方程组求解即可；
（2）①设，分两种情况进行讨论或，即可求解；②设，分两种情况进行讨论，或，
当时，即可求解．
【详解】（1）解：∵和互为“伙伴角”，，
∴，
∵和互补，
∴，
联立得：，
解得：；
（2）解：①设，
∵与互为“伙伴角”，
∴或，
当时，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴；
当时，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴；
综上：或；
故答案为：或；
②设，
∵与互为“伙伴角”，
∴或，
当时，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：，
当时，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：，
综上：或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和，平行线的性质，解题的关键是正确理解题目所给“伙伴角”的定义，掌握直角三角形两锐角互余；三角形的内角和为；两直线平信个，同位角相等．
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