湖南省部分学校2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题（Word版附解析）

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本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知是虚数单位，复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知M，N是圆O上的两点，若，则（ ）
A 3B. C. 9D.
4. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. D. 的最小正周期为
5. 已知双曲线E：（）的右焦点F到其一条渐近线的距离为1，则E的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
6. 在展开式中，的系数是（ ）
A. B. 5C. D. 10
7. 从装有3个白球、5个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，A表示事件“两次取出的球颜色相同”，B表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（ ）
A. B. C. D.
8. 设函数的定义域为，且满足，，，，都有，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 数据2，7，4，5，16，1，21，11的中位数为5
B. 当时，当且仅当事件A与B相互独立时，有
C. 若随机变量X服从正态分布，若，则
D. 已知一系列样本点（，2，3，…，n）的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则
10. 已知抛物线，直线过的焦点，且与交于两点，则（ ）
A. 准线方程为
B. 线段的长度的最小值为4
C. 存在唯一直线，使得为线段的中点
D. 以线段为直径的圆与的准线相切
11. 已知圆柱的高为，线段与分别为圆与圆的直径，则（ ）
A. 若为圆上的动点，，则直线与所成角为定值
B. 若为等边三角形，则四面体的体积为
C. 若，且，则
D. 若，且与所成的角为，则四面体外接球的表面积为或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面向量，，若，则____________.
13. 3月19日，习总书记在湖南省常德市考察调研期间来到河街，了解历史文化街区修复利用等情况，这片历史文化街区汇聚了常德高腔、常德丝弦、桃源刺绣、安乡木雕、澧水船工号子等品类繁多的非遗项目.现为了更好的宣传河街文化，某部门召集了200名志愿者，根据报名情况得到如下表格：
若从这200名志愿者中按照比例分配分层随机抽样方法抽取20人进行培训，再从这20人中随机选取3人聘为宣传大使，记X为这3人中来自澧水船工号子的人数，则X的数学期望为____________.
14. 已知函数，且时，，则的取值范围为____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 的内角的对边分别为，且．
（1）求角大小：
（2）若，的面积为，求的周长.
16. 已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线过点，且与交于两点，当最大时，求直线的方程.
17. 如图，四棱锥中，平面，，，．
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18. 已知正项数列的前n项和为，且.
（1）求，的值及数列的通项公式；
（2）求数列的最大项；
（3）若数列满足，求数列的前30项和（，）.
19. 已知函数，（）.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若对任意恒成立，求整数a的最小值.
项目
常德高腔
常德丝弦
桃源刺绣
安乡木雕
澧水船工号子
志愿者人数
30
60
50
40
20