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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式精品当堂检测题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式精品当堂检测题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022秋•历下区校级月考）若x＞0，则有（ ）
A．最大值18B．最大值2C．最小值3D．最小值6
2．（2022秋•南关区校级月考）已知x，y为非零实数，则下列不等式中不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．x2+y2≥2|xy|
3．（2022•弋江区校级开学）某快递公司为降低新冠肺炎疫情带来的经济影响，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买x台机器人的总成本为P（x）＝+x+150（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人（ ）
A．100台B．200台C．300台D．400台
4．（2022秋•历下区校级月考）某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为5000kg，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋•越秀区校级月考）设正实数x、y、z满足4x2﹣3xy+y2﹣z＝0，则的最大值为（ ）
A．0B．2C．1D．3
6．（2022秋•江西月考）已知x＞0，y＞0，满足x2+2xy﹣1＝0，则3x+2y的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋•沭阳县校级月考）已知实数a，b，c满足a2+b2+c2＝1，则2ab+3c的最大值为（ ）
A．3B．C．2D．5
8．（2022秋•河北月考）已知经过第一、二、四象限的直线经过点P（2，1），则2a+b的最小值为（ ）
A．4B．C．8D．9
9．（2022•孝义市开学）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值是4
B．的最小值是2
C．2a+2b的最小值是
D．lg2a+lg2b的最小值是﹣2
10．（2022春•洛阳月考）已知正数x，y满足，则xy的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题。
11．（2022秋•长沙月考）已知a＞0，b＞0，且2a+b＝1，若不等式恒成立，则实数m的最大值是 ．
12．（2022秋•芦溪县校级月考）已知x＞0，y＞0，x+y＝1，则++的最小值为 ．
13．（2022秋•官渡区校级月考）已知x＞0，y＞0，且x+y＝1，则的最小值为 ．
14．（2022秋•肇州县校级月考）若两个正实数x，y满足4x+y﹣xy＝0，且不等式xy≥m2﹣6m恒成立，则实数m的取值范围是 ．
15．（2022•上海自主招生）x，y，z为正整数，求的最小值为 ．
16．（2021•龙凤区校级模拟）已知实数x，y满足3x﹣y≤ln（x+2y﹣3）+ln（2x﹣3y+5），则x+y＝ ．
三、解答题。
17．（2022春•新都区期末）已知x+2y＝5．
（1）若x、y∈（0，+∞），求m＝xy的最大值；
（2）若x、y∈[﹣5，2]，求n＝x2+y2的取值范围．
18．（2022春•保定月考）已知a+10b＝1（a＞0，b＞0）．
（1）求ab的最大值；
（2）求的最小值．
19．（2022秋•岳麓区校级月考）已知2x+5y＝8．
（1）当x＞0，y＞0时，求xy的最大值；
（2）当x＞﹣1，y＞﹣2时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围．
20．（2022秋•安化县校级月考）求下列式子的最值：
（1）若0＜x＜，求6x（3﹣4x）的最大值；
（2）设x＞﹣1，求y＝的最小值．
21．（2022秋•兴庆区校级月考）（1）已知x＞5，求的最小值；
（2）已知x，y是正实数，且2x+3y＝4，求xy的最大值．
22．（2022秋•东莞市校级月考）（1）已知x＞1，求4x+1+的最小值；
（2）已知0＜x＜1，求x（4﹣3x）的最大值．
23．（2022•南京模拟）已知正数a，b，c满足a2＝b2+c2，且，求的取值范围．
24．（2022•贵州模拟）已知函数的定义域为集合D，最大值为m，记，其中a，b，c是正实数．
（1）求m；
（2）∀x∈D，求证：f（x）≤g（a，b，c）．
25．（2022•德阳模拟）已知函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c∈（0，+∞），且++＝m，证明：a+2b+3c≥9．
专题2.2 基本不等式（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•历下区校级月考）若x＞0，则有（ ）
A．最大值18B．最大值2C．最小值3D．最小值6
【答案】D。
【解答】解：x＞0时，≥2＝2×3＝6，当且仅当x＝，即x＝3时取“＝”，
所以x＞0时有最小值6．
故选：D．
2．（2022秋•南关区校级月考）已知x，y为非零实数，则下列不等式中不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．x2+y2≥2|xy|
【答案】B。
【解答】解：由＝≥0可知A显然成立；
当xy＜0时，B显然不成立；
因为|x+|＝|x|+||≥2，当且仅当|x|＝1时取等号，C成立；
由于（x±y）2≥0，
所以x2+y2≥2|xy|恒成立，D正确．
故选：B．
3．（2022•弋江区校级开学）某快递公司为降低新冠肺炎疫情带来的经济影响，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买x台机器人的总成本为P（x）＝+x+150（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人（ ）
A．100台B．200台C．300台D．400台
【答案】C。
【解答】解：由题意＝+1+≥2+1＝2，当且仅当＝，即x＝300时，等号成立，
所以应购买300台，可使每台机器人的平均成本最低，
故选：C．
4．（2022秋•历下区校级月考）某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为5000kg，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B。
【解答】解：用两种方法求出第三年的产量分别为5000（1+a）（1+b），5000（1+x）2，
则（1+x）2＝（1+a）（1+b）．
所以1+x＝≤＝1+，
所以x≤，当且仅当a＝b时等号成立．
故选：B．
5．（2022秋•越秀区校级月考）设正实数x、y、z满足4x2﹣3xy+y2﹣z＝0，则的最大值为（ ）
A．0B．2C．1D．3
【答案】C。
【解答】解：因为4x2﹣3xy+y2﹣z＝0，所以z＝4x2﹣3xy+y2，
所以＝＝≤＝＝1，
当且仅当＝，即y＝2x时取“＝”，
所以的最大值为1．
故选：C．
6．（2022秋•江西月考）已知x＞0，y＞0，满足x2+2xy﹣1＝0，则3x+2y的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D。
【解答】解：由已知得y＝＞0，
所以0＜x＜1，
则3x+2y＝3x+＝2x+，当且仅当2x＝即x＝时取等号，
所以3x+2y的最小值为2．
故选：D．
7．（2022秋•沭阳县校级月考）已知实数a，b，c满足a2+b2+c2＝1，则2ab+3c的最大值为（ ）
A．3B．C．2D．5
【答案】A。
【解答】解：∵a2+b2+c2＝1，∴1﹣c²＝a²+b²≥0，即c²≤1，解得﹣1≤c≤1，
由基本不等式可得1﹣c²＝a²+b²≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，∴2ab+3c≤﹣c²+3c+1，
令f（c）＝﹣c²+3c+1＝﹣（c﹣）²+，
∴f（c）在[﹣1，1]上单调递增，当c＝1，即a＝b＝0时，f（c）max＝f（1）＝3，
故2ab+3c的最大值为3，
故选：A．
8．（2022秋•河北月考）已知经过第一、二、四象限的直线经过点P（2，1），则2a+b的最小值为（ ）
A．4B．C．8D．9
【答案】D。
【解答】解：由题意得＝1，a＞0，b＞0，
所以2a+b＝（2a+b）（）＝5++＝9，
当且仅当且＝1即a＝b＝3时取等号，此时2a+b取得最小值9．
故选：D．
9．（2022•孝义市开学）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值是4
B．的最小值是2
C．2a+2b的最小值是
D．lg2a+lg2b的最小值是﹣2
【答案】C。
【解答】解：对于选项A，
＝（）（a+b）
＝++3
≥2+3，
当且仅当＝，即a＝﹣1，b＝2﹣时，等号成立，
故的最小值为2+3，
故错误；
对于选项B，
∵ab≤（）2，即0＜ab≤，
又∵函数y＝x+在（0，1）上单调递减，
∴≥4+＝，
故的最小值为，
故错误；
对于选项C，
2a+2b≥2＝2，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，
故2a+2b的最小值是，
故正确；
对于选项D，
lg2a+lg2b＝lg2ab，
∵0＜ab≤，
∴lg2ab≤﹣2，
故lg2a+lg2b的最大值是﹣2，
故错误；
故选：C．
10．（2022春•洛阳月考）已知正数x，y满足，则xy的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B。
【解答】解：因为，
所以xy＝•[+]＝（+），
令x+2y＝m，m＞0，3x+2y＝n，n＞0，x＝，y＝，
xy＝（+）＝[+]＝（+﹣）≥（2﹣）＝（6﹣）＝，
当且仅当＝，即n＝2m，即x＝，y＝时等号成立，
所以xy的最小值是．
故选：B．
二、填空题。
11．（2022秋•长沙月考）已知a＞0，b＞0，且2a+b＝1，若不等式恒成立，则实数m的最大值是 9 ．
【答案】9。
【解答】解：＝＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，
∵不等式恒成立，
∴m≤9，
故实数m的最大值为9．
故答案为：9．
12．（2022秋•芦溪县校级月考）已知x＞0，y＞0，x+y＝1，则++的最小值为 6 ．
【答案】6。
【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y＝1，
∴++＝++＝2++≥2+2＝6，
当且仅当＝，即y＝，x＝时，等号成立，
∴++的最小值为6，
故答案为：6．
13．（2022秋•官渡区校级月考）已知x＞0，y＞0，且x+y＝1，则的最小值为 7+4 ．
【答案】7+4。
【解答】解：因为x＞0，y＞0，且x+y＝1，
则＝＝7+＝7+4，
当且仅当且x+y＝1，即y＝4﹣2，x＝2时取等号，此时的最小值为7+4．
故答案为：7+4．
14．（2022秋•肇州县校级月考）若两个正实数x，y满足4x+y﹣xy＝0，且不等式xy≥m2﹣6m恒成立，则实数m的取值范围是 [﹣2，8] ．
【答案】[﹣2，8]。
【解答】解：因为两个正实数x，y满足4x+y﹣xy＝0，
所以xy＝4x+y＝4，当且仅当y＝4x且4x+y﹣xy＝0，即x＝2，y＝8时取等号，
所以xy≥16，
因为不等式xy≥m2﹣6m恒成立，
所以m2﹣6m≤16，
解得﹣2≤m≤8．
故答案为：[﹣2，8]．
15．（2022•上海自主招生）x，y，z为正整数，求的最小值为 4 ．
【答案】4。
【解答】解：引入参数k值，使之满足10x2+10y2+z2＝kx2+ky2+（10﹣k）x2+≥2kxy+，
依据取等号的条件，有2k＝，
整理得：t＝4，
故的最小值为4．
故答案为：4．
16．（2021•龙凤区校级模拟）已知实数x，y满足3x﹣y≤ln（x+2y﹣3）+ln（2x﹣3y+5），则x+y＝ ．
【答案】。
【解答】解：由f（t）＝lnt﹣t+1的导数为：
f′（t）＝﹣1＝，
当t＞1时，f′（t）＜0，f（t）递减，
当0＜t＜1时，f′（t）＞0，f（t）递增，
可得f（t）的最大值为f（1）＝0，
即有lnt≤t﹣1，
则ln（x+2y﹣3）+ln（2x﹣3y+5）
≤x+2y﹣3﹣1+2x﹣3y+5﹣1＝3x﹣y，
当且仅当x+2y﹣3＝2x﹣3y+5＝1时，取得等号，
则x＝，y＝，
可得x+y＝，
故答案为：．
三、解答题。
17．（2022春•新都区期末）已知x+2y＝5．
（1）若x、y∈（0，+∞），求m＝xy的最大值；
（2）若x、y∈[﹣5，2]，求n＝x2+y2的取值范围．
【解答】解：（1）m＝xy≤（）2＝，当且仅当x＝2y时取等号，
（2）n＝x2+y2＝（5﹣2y）2+y2＝5y2﹣20y+25＝5[（y﹣2）2+1]，
∵x，y∈[﹣5，2]，且x+2y＝5，
∴
∴n∈[5，]．
18．（2022春•保定月考）已知a+10b＝1（a＞0，b＞0）．
（1）求ab的最大值；
（2）求的最小值．
【解答】解：（1）因为a＞0，b＞0，所以，
所以，
当且仅当a＝10b，即时，等号成立，
所以ab的最大值为；
（2）因为a+10b＝1（a＞0，b＞0），
所以＝，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
19．（2022秋•岳麓区校级月考）已知2x+5y＝8．
（1）当x＞0，y＞0时，求xy的最大值；
（2）当x＞﹣1，y＞﹣2时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）因为2x+5y＝8，当x＞0，y＞0时，xy＝（2x•5y）≤•＝×＝1.6，
当且仅当2x＝5y，即x＝2，y＝时取“＝”，所以xy的最大值是1.6；
（2）当x＞﹣1，y＞﹣2时，因为2x+5y＝8，所以2（x+1）+5（y+2）＝20，
所以+＝×（+）×[2（x+1）+5（y+2）]＝×[20+5++]≥×[25+2]＝×（25+20）＝，
当且仅当＝，即x＝，y＝﹣时取“＝”，
所以恒成立，等价于≥m2+4m，
化简得4m2+16m﹣9≤0，即（2m+9）（2m﹣1）≤0，
解得﹣≤m≤，
所以实数m的取值范围是[﹣，]．
20．（2022秋•安化县校级月考）求下列式子的最值：
（1）若0＜x＜，求6x（3﹣4x）的最大值；
（2）设x＞﹣1，求y＝的最小值．
【解答】解：（1）若0＜x＜，则6x（3﹣4x）＝＝，
当且仅当4x＝3﹣4x即x＝时取等号，
此时上式取得最大值；
（2）x＞﹣1，则t＝x+1＞0，
y＝＝＝t++5＝9，当且仅当t＝即t＝2，x＝1时取等号，
此时函数取得最小值9．
21．（2022秋•兴庆区校级月考）（1）已知x＞5，求的最小值；
（2）已知x，y是正实数，且2x+3y＝4，求xy的最大值．
【解答】解：（1）因为x＞5，
所以＝x﹣5++5+5＝9，
当且仅当x﹣5＝，即x＝7时取等号，此时取最小值9；
（2）因为x，y是正实数，且4＝2x+3y，
当且仅当2x＝3y＝2，即x＝1，y＝时取等号，
所以xy即最大值为．
22．（2022秋•东莞市校级月考）（1）已知x＞1，求4x+1+的最小值；
（2）已知0＜x＜1，求x（4﹣3x）的最大值．
【解答】解：（1）因为x＞1，
所以4x+1+＝4x﹣4++5+5＝9，
当且仅当4x﹣4＝，即x＝时取等号，此时4x+1+取得最小值9；
（2）因为0＜x＜1，
所以x（4﹣3x）＝＝，
当且仅当3x＝4﹣3x即x＝时取等号，此时x（4﹣3x）取得最大值．
23．（2022•南京模拟）已知正数a，b，c满足a2＝b2+c2，且，求的取值范围．
【解答】解：∵，
∴，
∴a2≥3b2．
∵b2＝a2﹣c2，
∴a2≥3（a2﹣c2），
整理得3c2≥2a2，
∴．
由a2＝b2+c2，有，
从而，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故的取值范围为．
24．（2022•贵州模拟）已知函数的定义域为集合D，最大值为m，记，其中a，b，c是正实数．
（1）求m；
（2）∀x∈D，求证：f（x）≤g（a，b，c）．
【解答】解：（1）要使有意义得，
解得1≤x≤3，所以D＝{x|1≤x≤3}，由柯西不等式，
得，当且仅当，即x＝2∈D，
所以，当x＝2时，
证明：（2）令b+c＝x，c+a＝y，a+b＝z，
因为a，b，c是正实数，所以x，y，z是正实数，
则，
所以
＝
当且仅当x＝y＝z时取等号，此时a＝b＝c，
所以，
故f（x）≤g（a，b，c）．
25．（2022•德阳模拟）已知函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c∈（0，+∞），且++＝m，证明：a+2b+3c≥9．
【解答】解：（1）函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]，
可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，即有[﹣m，m}＝{﹣1，1]，
可得m＝1；
（2）证明：a，b，c∈（0，+∞），且++＝1，
则a+2b+3c＝（a+2b+3c）（++）
＝3+（+）+（+）+（+）
≥3+2+2+2
＝3+2+2+2＝9，
当且仅当a＝2b＝3c＝3，取得等号．
1．（2022秋•历下区校级月考）若x＞0，则有（ ）
A．最大值18B．最大值2C．最小值3D．最小值6
2．（2022秋•南关区校级月考）已知x，y为非零实数，则下列不等式中不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．x2+y2≥2|xy|
3．（2022•弋江区校级开学）某快递公司为降低新冠肺炎疫情带来的经济影响，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买x台机器人的总成本为P（x）＝+x+150（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人（ ）
A．100台B．200台C．300台D．400台
4．（2022秋•历下区校级月考）某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为5000kg，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋•越秀区校级月考）设正实数x、y、z满足4x2﹣3xy+y2﹣z＝0，则的最大值为（ ）
A．0B．2C．1D．3
6．（2022秋•江西月考）已知x＞0，y＞0，满足x2+2xy﹣1＝0，则3x+2y的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋•沭阳县校级月考）已知实数a，b，c满足a2+b2+c2＝1，则2ab+3c的最大值为（ ）
A．3B．C．2D．5
8．（2022秋•河北月考）已知经过第一、二、四象限的直线经过点P（2，1），则2a+b的最小值为（ ）
A．4B．C．8D．9
9．（2022•孝义市开学）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值是4
B．的最小值是2
C．2a+2b的最小值是
D．lg2a+lg2b的最小值是﹣2
10．（2022春•洛阳月考）已知正数x，y满足，则xy的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题。
11．（2022秋•长沙月考）已知a＞0，b＞0，且2a+b＝1，若不等式恒成立，则实数m的最大值是 ．
12．（2022秋•芦溪县校级月考）已知x＞0，y＞0，x+y＝1，则++的最小值为 ．
13．（2022秋•官渡区校级月考）已知x＞0，y＞0，且x+y＝1，则的最小值为 ．
14．（2022秋•肇州县校级月考）若两个正实数x，y满足4x+y﹣xy＝0，且不等式xy≥m2﹣6m恒成立，则实数m的取值范围是 ．
15．（2022•上海自主招生）x，y，z为正整数，求的最小值为 ．
16．（2021•龙凤区校级模拟）已知实数x，y满足3x﹣y≤ln（x+2y﹣3）+ln（2x﹣3y+5），则x+y＝ ．
三、解答题。
17．（2022春•新都区期末）已知x+2y＝5．
（1）若x、y∈（0，+∞），求m＝xy的最大值；
（2）若x、y∈[﹣5，2]，求n＝x2+y2的取值范围．
18．（2022春•保定月考）已知a+10b＝1（a＞0，b＞0）．
（1）求ab的最大值；
（2）求的最小值．
19．（2022秋•岳麓区校级月考）已知2x+5y＝8．
（1）当x＞0，y＞0时，求xy的最大值；
（2）当x＞﹣1，y＞﹣2时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围．
20．（2022秋•安化县校级月考）求下列式子的最值：
（1）若0＜x＜，求6x（3﹣4x）的最大值；
（2）设x＞﹣1，求y＝的最小值．
21．（2022秋•兴庆区校级月考）（1）已知x＞5，求的最小值；
（2）已知x，y是正实数，且2x+3y＝4，求xy的最大值．
22．（2022秋•东莞市校级月考）（1）已知x＞1，求4x+1+的最小值；
（2）已知0＜x＜1，求x（4﹣3x）的最大值．
23．（2022•南京模拟）已知正数a，b，c满足a2＝b2+c2，且，求的取值范围．
24．（2022•贵州模拟）已知函数的定义域为集合D，最大值为m，记，其中a，b，c是正实数．
（1）求m；
（2）∀x∈D，求证：f（x）≤g（a，b，c）．
25．（2022•德阳模拟）已知函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c∈（0，+∞），且++＝m，证明：a+2b+3c≥9．
专题2.2 基本不等式（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•历下区校级月考）若x＞0，则有（ ）
A．最大值18B．最大值2C．最小值3D．最小值6
【答案】D。
【解答】解：x＞0时，≥2＝2×3＝6，当且仅当x＝，即x＝3时取“＝”，
所以x＞0时有最小值6．
故选：D．
2．（2022秋•南关区校级月考）已知x，y为非零实数，则下列不等式中不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．x2+y2≥2|xy|
【答案】B。
【解答】解：由＝≥0可知A显然成立；
当xy＜0时，B显然不成立；
因为|x+|＝|x|+||≥2，当且仅当|x|＝1时取等号，C成立；
由于（x±y）2≥0，
所以x2+y2≥2|xy|恒成立，D正确．
故选：B．
3．（2022•弋江区校级开学）某快递公司为降低新冠肺炎疫情带来的经济影响，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买x台机器人的总成本为P（x）＝+x+150（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人（ ）
A．100台B．200台C．300台D．400台
【答案】C。
【解答】解：由题意＝+1+≥2+1＝2，当且仅当＝，即x＝300时，等号成立，
所以应购买300台，可使每台机器人的平均成本最低，
故选：C．
4．（2022秋•历下区校级月考）某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为5000kg，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B。
【解答】解：用两种方法求出第三年的产量分别为5000（1+a）（1+b），5000（1+x）2，
则（1+x）2＝（1+a）（1+b）．
所以1+x＝≤＝1+，
所以x≤，当且仅当a＝b时等号成立．
故选：B．
5．（2022秋•越秀区校级月考）设正实数x、y、z满足4x2﹣3xy+y2﹣z＝0，则的最大值为（ ）
A．0B．2C．1D．3
【答案】C。
【解答】解：因为4x2﹣3xy+y2﹣z＝0，所以z＝4x2﹣3xy+y2，
所以＝＝≤＝＝1，
当且仅当＝，即y＝2x时取“＝”，
所以的最大值为1．
故选：C．
6．（2022秋•江西月考）已知x＞0，y＞0，满足x2+2xy﹣1＝0，则3x+2y的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D。
【解答】解：由已知得y＝＞0，
所以0＜x＜1，
则3x+2y＝3x+＝2x+，当且仅当2x＝即x＝时取等号，
所以3x+2y的最小值为2．
故选：D．
7．（2022秋•沭阳县校级月考）已知实数a，b，c满足a2+b2+c2＝1，则2ab+3c的最大值为（ ）
A．3B．C．2D．5
【答案】A。
【解答】解：∵a2+b2+c2＝1，∴1﹣c²＝a²+b²≥0，即c²≤1，解得﹣1≤c≤1，
由基本不等式可得1﹣c²＝a²+b²≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，∴2ab+3c≤﹣c²+3c+1，
令f（c）＝﹣c²+3c+1＝﹣（c﹣）²+，
∴f（c）在[﹣1，1]上单调递增，当c＝1，即a＝b＝0时，f（c）max＝f（1）＝3，
故2ab+3c的最大值为3，
故选：A．
8．（2022秋•河北月考）已知经过第一、二、四象限的直线经过点P（2，1），则2a+b的最小值为（ ）
A．4B．C．8D．9
【答案】D。
【解答】解：由题意得＝1，a＞0，b＞0，
所以2a+b＝（2a+b）（）＝5++＝9，
当且仅当且＝1即a＝b＝3时取等号，此时2a+b取得最小值9．
故选：D．
9．（2022•孝义市开学）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值是4
B．的最小值是2
C．2a+2b的最小值是
D．lg2a+lg2b的最小值是﹣2
【答案】C。
【解答】解：对于选项A，
＝（）（a+b）
＝++3
≥2+3，
当且仅当＝，即a＝﹣1，b＝2﹣时，等号成立，
故的最小值为2+3，
故错误；
对于选项B，
∵ab≤（）2，即0＜ab≤，
又∵函数y＝x+在（0，1）上单调递减，
∴≥4+＝，
故的最小值为，
故错误；
对于选项C，
2a+2b≥2＝2，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，
故2a+2b的最小值是，
故正确；
对于选项D，
lg2a+lg2b＝lg2ab，
∵0＜ab≤，
∴lg2ab≤﹣2，
故lg2a+lg2b的最大值是﹣2，
故错误；
故选：C．
10．（2022春•洛阳月考）已知正数x，y满足，则xy的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B。
【解答】解：因为，
所以xy＝•[+]＝（+），
令x+2y＝m，m＞0，3x+2y＝n，n＞0，x＝，y＝，
xy＝（+）＝[+]＝（+﹣）≥（2﹣）＝（6﹣）＝，
当且仅当＝，即n＝2m，即x＝，y＝时等号成立，
所以xy的最小值是．
故选：B．
二、填空题。
11．（2022秋•长沙月考）已知a＞0，b＞0，且2a+b＝1，若不等式恒成立，则实数m的最大值是 9 ．
【答案】9。
【解答】解：＝＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，
∵不等式恒成立，
∴m≤9，
故实数m的最大值为9．
故答案为：9．
12．（2022秋•芦溪县校级月考）已知x＞0，y＞0，x+y＝1，则++的最小值为 6 ．
【答案】6。
【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y＝1，
∴++＝++＝2++≥2+2＝6，
当且仅当＝，即y＝，x＝时，等号成立，
∴++的最小值为6，
故答案为：6．
13．（2022秋•官渡区校级月考）已知x＞0，y＞0，且x+y＝1，则的最小值为 7+4 ．
【答案】7+4。
【解答】解：因为x＞0，y＞0，且x+y＝1，
则＝＝7+＝7+4，
当且仅当且x+y＝1，即y＝4﹣2，x＝2时取等号，此时的最小值为7+4．
故答案为：7+4．
14．（2022秋•肇州县校级月考）若两个正实数x，y满足4x+y﹣xy＝0，且不等式xy≥m2﹣6m恒成立，则实数m的取值范围是 [﹣2，8] ．
【答案】[﹣2，8]。
【解答】解：因为两个正实数x，y满足4x+y﹣xy＝0，
所以xy＝4x+y＝4，当且仅当y＝4x且4x+y﹣xy＝0，即x＝2，y＝8时取等号，
所以xy≥16，
因为不等式xy≥m2﹣6m恒成立，
所以m2﹣6m≤16，
解得﹣2≤m≤8．
故答案为：[﹣2，8]．
15．（2022•上海自主招生）x，y，z为正整数，求的最小值为 4 ．
【答案】4。
【解答】解：引入参数k值，使之满足10x2+10y2+z2＝kx2+ky2+（10﹣k）x2+≥2kxy+，
依据取等号的条件，有2k＝，
整理得：t＝4，
故的最小值为4．
故答案为：4．
16．（2021•龙凤区校级模拟）已知实数x，y满足3x﹣y≤ln（x+2y﹣3）+ln（2x﹣3y+5），则x+y＝ ．
【答案】。
【解答】解：由f（t）＝lnt﹣t+1的导数为：
f′（t）＝﹣1＝，
当t＞1时，f′（t）＜0，f（t）递减，
当0＜t＜1时，f′（t）＞0，f（t）递增，
可得f（t）的最大值为f（1）＝0，
即有lnt≤t﹣1，
则ln（x+2y﹣3）+ln（2x﹣3y+5）
≤x+2y﹣3﹣1+2x﹣3y+5﹣1＝3x﹣y，
当且仅当x+2y﹣3＝2x﹣3y+5＝1时，取得等号，
则x＝，y＝，
可得x+y＝，
故答案为：．
三、解答题。
17．（2022春•新都区期末）已知x+2y＝5．
（1）若x、y∈（0，+∞），求m＝xy的最大值；
（2）若x、y∈[﹣5，2]，求n＝x2+y2的取值范围．
【解答】解：（1）m＝xy≤（）2＝，当且仅当x＝2y时取等号，
（2）n＝x2+y2＝（5﹣2y）2+y2＝5y2﹣20y+25＝5[（y﹣2）2+1]，
∵x，y∈[﹣5，2]，且x+2y＝5，
∴
∴n∈[5，]．
18．（2022春•保定月考）已知a+10b＝1（a＞0，b＞0）．
（1）求ab的最大值；
（2）求的最小值．
【解答】解：（1）因为a＞0，b＞0，所以，
所以，
当且仅当a＝10b，即时，等号成立，
所以ab的最大值为；
（2）因为a+10b＝1（a＞0，b＞0），
所以＝，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
19．（2022秋•岳麓区校级月考）已知2x+5y＝8．
（1）当x＞0，y＞0时，求xy的最大值；
（2）当x＞﹣1，y＞﹣2时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）因为2x+5y＝8，当x＞0，y＞0时，xy＝（2x•5y）≤•＝×＝1.6，
当且仅当2x＝5y，即x＝2，y＝时取“＝”，所以xy的最大值是1.6；
（2）当x＞﹣1，y＞﹣2时，因为2x+5y＝8，所以2（x+1）+5（y+2）＝20，
所以+＝×（+）×[2（x+1）+5（y+2）]＝×[20+5++]≥×[25+2]＝×（25+20）＝，
当且仅当＝，即x＝，y＝﹣时取“＝”，
所以恒成立，等价于≥m2+4m，
化简得4m2+16m﹣9≤0，即（2m+9）（2m﹣1）≤0，
解得﹣≤m≤，
所以实数m的取值范围是[﹣，]．
20．（2022秋•安化县校级月考）求下列式子的最值：
（1）若0＜x＜，求6x（3﹣4x）的最大值；
（2）设x＞﹣1，求y＝的最小值．
【解答】解：（1）若0＜x＜，则6x（3﹣4x）＝＝，
当且仅当4x＝3﹣4x即x＝时取等号，
此时上式取得最大值；
（2）x＞﹣1，则t＝x+1＞0，
y＝＝＝t++5＝9，当且仅当t＝即t＝2，x＝1时取等号，
此时函数取得最小值9．
21．（2022秋•兴庆区校级月考）（1）已知x＞5，求的最小值；
（2）已知x，y是正实数，且2x+3y＝4，求xy的最大值．
【解答】解：（1）因为x＞5，
所以＝x﹣5++5+5＝9，
当且仅当x﹣5＝，即x＝7时取等号，此时取最小值9；
（2）因为x，y是正实数，且4＝2x+3y，
当且仅当2x＝3y＝2，即x＝1，y＝时取等号，
所以xy即最大值为．
22．（2022秋•东莞市校级月考）（1）已知x＞1，求4x+1+的最小值；
（2）已知0＜x＜1，求x（4﹣3x）的最大值．
【解答】解：（1）因为x＞1，
所以4x+1+＝4x﹣4++5+5＝9，
当且仅当4x﹣4＝，即x＝时取等号，此时4x+1+取得最小值9；
（2）因为0＜x＜1，
所以x（4﹣3x）＝＝，
当且仅当3x＝4﹣3x即x＝时取等号，此时x（4﹣3x）取得最大值．
23．（2022•南京模拟）已知正数a，b，c满足a2＝b2+c2，且，求的取值范围．
【解答】解：∵，
∴，
∴a2≥3b2．
∵b2＝a2﹣c2，
∴a2≥3（a2﹣c2），
整理得3c2≥2a2，
∴．
由a2＝b2+c2，有，
从而，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故的取值范围为．
24．（2022•贵州模拟）已知函数的定义域为集合D，最大值为m，记，其中a，b，c是正实数．
（1）求m；
（2）∀x∈D，求证：f（x）≤g（a，b，c）．
【解答】解：（1）要使有意义得，
解得1≤x≤3，所以D＝{x|1≤x≤3}，由柯西不等式，
得，当且仅当，即x＝2∈D，
所以，当x＝2时，
证明：（2）令b+c＝x，c+a＝y，a+b＝z，
因为a，b，c是正实数，所以x，y，z是正实数，
则，
所以
＝
当且仅当x＝y＝z时取等号，此时a＝b＝c，
所以，
故f（x）≤g（a，b，c）．
25．（2022•德阳模拟）已知函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c∈（0，+∞），且++＝m，证明：a+2b+3c≥9．
【解答】解：（1）函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]，
可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，即有[﹣m，m}＝{﹣1，1]，
可得m＝1；
（2）证明：a，b，c∈（0，+∞），且++＝1，
则a+2b+3c＝（a+2b+3c）（++）
＝3+（+）+（+）+（+）
≥3+2+2+2
＝3+2+2+2＝9，
当且仅当a＝2b＝3c＝3，取得等号．
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