第5节 用导数研究函数最值讲义-高考数学一轮复习导数从入门到精通

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一般地，求函数在上的最大最小值的步骤为：
（1）求函数在上的极值；
（2）将的各极值与、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
注意：很多时候，也可以通过求，研究函数的单调性，借助函数的草图来判断函数的最大最小值的位置，进而求得最值.
典型例题
【例1】求函数在区间上的最大最小值.
【解析】由题意，，
当时，或，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，，，所以，.
【例2】求函数在区间上的最大最小值.
【解析】由题意，，当时，，
，所以在上单调递减，在上单调递增，故，又，，所以，故.
变式 求函数在区间上的最大最小值.
【解析】由题意，，当时，，，所以，
当时，，，所以，从而在上单调递减，在上单调递增，故，又，所以.
【例3】求函数的最大值.
【解析】由题意，，所以，，
从而在上单调递增，在上单调递减，故.
变式 求函数的最小值.
【解析】由题意，，当时，，
所以，当时，，所以，
从而在上单调递减，在上单调递增，故.
强化训练
1.求函数在区间上的最大最小值.
【解析】由题意，，
所以当时，或，，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，，，故，.
2.求函数在上的最大最小值.
【解析】由题意，，所以当时，，，从而在上单调递减，在上单调递增，故，又，所以.
3.求函数在上的最小值.
【解析】由题意，，，所以在上单调递增，
又，所以，从而在上单调递增，故.
4.求函数在上的最大最小值.
【解析】由题意，，所以当时，，
从而在上单调递增，故，.
5.求函数在上的最大最小值.
【解析】由题意，，所以当时，，，从而在上单调递减，在上单调递增，故，
又，所以.
6.求函数的最大值.
【解析】由题意，，设，则，所以在上单调递减，又，所以当时，，故，当时，，故，所以在上单调递增，在上单调递减，故.
7.（2017·北京）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
【解析】（1）由题意，，所以，又，故所求切线为.
（2）由（1）知，所以在上单调递减，又，所以，故在区间上单调递减，
从而，.