第8节 讨论单调区间讲义-高考数学一轮复习导数从入门到精通

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研究带参函数的单调性往往需要对参数进行分类讨论，常见的题型有两类：
1．单零点：至多只有1个零点，讨论的逻辑如图1所示.
2．双零点：至多只有2个零点，讨论的逻辑如图2所示.
求
图1
求
图2
注意：这类题主要的难点是分类讨论的逻辑不易理清，建议同学们刷题后反思一下该题是属于上面的哪种类型，不断强化寻找分类讨论分界点的方法.
典型例题
【例1】讨论的单调性.
【解析】由题意，，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
变式1 讨论的单调性.
【解析】由题意，，
当时，，所以在R上单调递增，
当时，由得：，由得：，
所以在上单调递减，在上单调递增.
变式2 讨论在上的单调性.
【解析】由题意，，当时，，
当时，，所以，故在上单调递增，
当时，，所以，故在上单调递减，
当时，，由得：，由得：，
所以在上单调递减，在上单调递增.
变式3 （2017·新课标Ⅰ卷·节选）已知函数，讨论的单调性.
【解析】由题意，，
当时，，所以在R上单调递减，
当时，由得：，由得：，
所以在上单调递减，在上单调递增.
【反思】例1及其变式这几道题都是属于最多有一个零点的情况，讨论的依据就是在定义域范围内是否有零点.
【例2】（2019·新课标III卷·节选）己知函数，讨论的单调性.
【解析】由题意，，
当时，由得：或，由得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，恒成立，所以在R上单调递增，
当时，由得：或，由得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
变式1 已知函数，讨论的单调性.
【解析】由题意，，
当时，由得：，由得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，由得：或，由得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，恒成立，所以在上单调递增，
当时，由得：或，由得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
变式2 已知函数，讨论的单调性.
【解析】由题意，，，
当时，，所以在上单调递增，
当时，或，
，
所以在，上单调递增，在上单调递减.
变式3 已知函数，讨论的单调性.
【解析】由题意，，
当时，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，或，
，所以在，上单调递增，在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增.
变式4 已知函数，其中a为实数，讨论的单调性.
【解析】由题意，，，
当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，或，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，恒成立，所以在R上单调递增，
当时，或，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
变式5 已知函数，其中a为实数，讨论的单调性.
【解析】由题意，，，
当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，或，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，恒成立，所以在R上单调递增，
当时，或，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
【反思】例2及其变式这几道题，都是属于最多有两个零点的情形，讨论的依据首先是有一个零点还是两个零点，其次是有两个零点的情形下，这两个零点的大小关系是怎样的.
强化训练
1.已知函数，讨论在上的单调性.
【解析】由题意，，当时，，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
2.已知函数，讨论的单调性.
【解析】由题意，，
当时，恒成立，所以在上单调递增，
当时，，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
3.已知函数，求在上的最小值.
【解析】由题意，，当时，，
当时，恒成立，所以在上单调递减，故，
当时，，所以在上单调递增，故，
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
综上所述，在上，
4.已知函数，讨论的单调性.
【解析】由题意，，
当时，或，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，，所以在R上单调递增，
当时，或，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
5.已知函数，讨论的单调性.
【解析】由题意，，
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，所以或，
，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，恒成立，所以在R上递增，
当时，，所以或，
，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
6.（2016·山东·节选）已知，，讨论的单调性.
【解析】由题意，，，
当时，恒成立，所以，，
故在上单调递增，在上单调递减，
当时，，所以或，，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，恒成立，所以在上单调递增，
当时，，所以或，，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
【反思】本题在时，虽然看似可以有1、这三个零点，但实际上，在定义域范围内只有两个零点.
7.已知函数，讨论的单调性.
【解析】由题意，，，
当时，，所以，，
故在上单调递增，在上单调递减，
当时，，或，
当时，恒成立，所以在上单调递减，
当时，，或，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
8.已知函数，讨论的单调性.
【解析】由题意，，，
当时，，所以，，
故在上单调递减，在上单调递增，
当时，，所以，，
故在上单调递增，在上单调递减，
当时，，所以或，，
故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
当时，，所以在上单调递减，
当时，时，所以或，
，
故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.