第29节 直接找点与放缩找点 讲义-高考数学一轮复习导数从入门到精通

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1．在讨论函数零点个数时，一般采用研究函数的单调性，结合零点存在性定理进行严密地论证函数在某区间上的零点个数.例如，当我们论证出在区间上单调递减，在上单调递增，且时，如下图所示，为了严密论证在上有两个零点，需在左侧取出，右侧取出，才能得出共有两个零点的结论，这类问题一般称之为找点问题.
2．找点的方法一般有直接找.点、放缩找点、限位取点三种：
（1）直接找点：直接取出某自变量，代入函数的解析式能够满足要求即可，一般的原则是指数型解析式取对数点，对数型解析式取指数点，直接找点需要一定的经验积累以及较强的运算求解能力.
（2）放缩找点：当直接找点比较困难时，可以对函数的解析式进行适度放缩，再找点.放缩时可先分析函数解析式的各个部分中，哪些是主要部分，哪些是次要部分，放缩时，可以丢掉次要部分，也可以考虑放缩主要部分，放缩的目的是简化表达式，使其易于判断正负
（3）限位取点：例如，当我们发现取的点可以趋于正无穷时，不妨在时进行考虑，根据这一前提将表达式的次要部分进行放缩，以达到简化解析式的效果，限位取点本质上也是放缩取点.
3.下面给出一些找点问题中常见的放缩不等式
4.如何应对灵活的找点题
找点题较为灵活，能力要求高，已经成为近几年高考题、模拟题的热门题型.上面列出的那些常用的放缩不等式，其实也无需死记硬背，只需有将指数、对数放缩成低次、高次多项式的意识即可，在具体的问题中，可根据需要选择适当的放缩．想要成为找点高手，光看别人取出来的点多么漂亮，别人的放缩多么精妙是没有用的，同学们唯一能做的，就是亲自去尝试，只有自己尝试取点，才能真正看到这里面的风景，逐步提升自己取点的能力.
典型例题
【例1】（2018·新课标Ⅱ卷）已知函数
（1）若，证明：当时，；
（2）若在上只有一个零点，求a.
【例2】（2017·年新课标Ⅰ卷）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围.
【例3】已知函数，其中.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）当时，证明：有唯一的极小值点，
（3）对于（2）中的，若，证明：.
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l.证明：函数有两个零点.
2.已知函数.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若有且仅有1个零点，求m的取值范围.
3.（2021·新课标Ⅱ卷）设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.
4．已知函数，其导函数为.
（1）当时，求的最大值；
（2）若有两个极值点，求a的取值范围.
5．已知函数
（1）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若有且仅有1个零点，求实数a的取值范围.
6．已知函数，
（1）讨论的单调性；
（2）已知，若函数与的图象有两个交点，求a的取值范围.
7.已知函数，其中，，e为自然对数的底数.
（1）当时，证明：；
（2）若，证明：有且仅有2个零点.
8．已知函数，其中.
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若有3个零点，求a的取值范围.