新高考数学二轮复习 专题5 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质（讲） 【新教材·新高考】

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高考数学一轮靠老师勤奋、学生努力；高考数学二轮主要看老师的把握水平(课标、考纲)，研究水平(选题、集体备课)，辅导水平(课堂辅导，课后个辅)。
二、高考数学二轮复习要注意明确两个做法：抓审题，抓个辅
抓审题：让学生说出来，让思维呈现出来。充分调动学生审题、变题能力;
抓个辅：教师要有个辅学生问题清单，让辅导有针对性;个辅全程性，个辅不只在课后，课堂个辅也是关键。
三、高考数学二轮复习要注意坚持三个过关：必须记忆过关;必须限时过关;必须心理过关
1、高考数学每节课必须花5分钟过关记忆性知识。
2、学生训练最大的状态就是能限时过关，应试能力也是数学解题能力，极大限度地减少题海战术。
3、学生最大的障碍就是就是心理问题。
四、高三数学二轮复习要注意避免四个重复：
重复一轮复习老路；重复成套试题训练；重复迷信名校资料；重复个人喜好方向。

第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质（讲·学生版）
高考定位
1．圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容．一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题．多以选择、填空题的形式考查，难度中等．
2．通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养．
核心整合
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(00)的渐近线方程为————.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．
5.与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
真题体验
1．（2021•新高考全国II卷）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1B．2C．D．4
2．（2021•全国高考乙卷文科）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 2
3.（2021•全国高考甲卷理科）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4.（2021•全国高考甲卷文科）点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A. B. C. D.
5.（2021•全国高考乙卷理科）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.（2021•全国高考甲卷文、理科）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
7.（2021•北京高考）已知抛物线，焦点为，点为抛物线上的点，且，则的横坐标是_______；作轴于，则_______．
8.（2021•浙江高考）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.
能力突破
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
【例1】 1．（2021•北京高考）双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
2．(2020·高考全国Ⅰ卷)设F1，F2是双曲线C：x2－eq \f(y2,3)＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为( )
A.eq \f(7,2) B．3
C.eq \f(5,2) D．2
3.(多选题)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为eq \f(\r(6),3)，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是( )
A．椭圆C的方程为x2＋eq \f(y2,3)＝1 B．椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1
C．|PQ|＝eq \f(2\r(3),3) D．△PF2Q的周长为4eq \r(3)
【规律方法】
1.求解圆锥曲线标准方程的思路方法
(1)定型，即确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程．
(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2px或x2＝2py(p≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn>0)．
2.求圆锥曲线的标准方程时的常见错误
双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．
【对点训练1】
1．（2021·四川凉山彝族自治州高三二模（文））已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆，其长轴长为4，焦距为2，则的方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
2．（2021·天津高三二模）已知双曲线：的离心率为2，左、右焦点分别为，，点A在双曲线上，若的周长为10，则的面积为（ ）
A．B．C．15D．30
3.（2021·安徽黄山市高三二模（文））设抛物线的焦点为，点在上，，若以线段为直径的圆与轴相切，且切点为，则的方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
考点二 圆锥曲线的性质
【例2】 1.（2021·福建泉州市高三二模）已知双曲线E的左､右焦点分别为，，M，N是以为圆心，为半径的圆与E的两交点.若，则的离心率是（ ）
A．B．C．2D．
2.(多选题)（2021·广东江门市高三一模）已知、是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交轴、双曲线右支于点、点，且，下列判断正确的是（ ）
A．的渐近线方程为B．
C．的离心率等于D．
3.（2021•全国高考乙卷理科）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．
【规律方法】
1.椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求eq \f(c,a)的值．
2．双曲线的渐近线的求法及用法
(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的“1”改为零，分解因式可得；
(2)用法：①可得eq \f(b,a)或eq \f(a,b)的值；
②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．
【对点训练2】
1.(2019·高考全国Ⅱ卷)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一个焦点，则p＝( )
A．2 B．3 C．4 D．8
2.(2020·莆田市第一联盟体联考)已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，M是AB的中点，则点M到抛物线准线的距离为( )
A.eq \f(7,2) B．4 C．7 D．8
3.（多选题）己知双曲线的一条渐近线过点，点为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的方程为
D．设为坐标原点，若，则的面积为
考点三 直线与圆锥曲线
命题角度1 直线与圆锥曲线的位置关系
【例3—1】（2021•天津高考）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
【规律方法】
1.直线与圆锥曲线公共点的判定
通常的方法是直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到一元二次方程，其Δ>0；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．
2．直线与圆锥曲线只有一个公共点的结论
直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与双曲线的一条渐近线平行；或直线与抛物线的对称轴平行；或直线与圆锥曲线相切．
命题角度2 弦长问题
【例3—2】(2019·高考全国Ⅰ卷) 已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq \f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(PB,\s\up6(→))，求|AB|.
【规律方法】
直线与圆锥曲线的相交弦弦长的求法
解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y或x后得到一元二次方程，当Δ>0时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系求出x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2，则弦长|AB|＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2)(k为直线的斜率且k≠0)，当A，B两点坐标易求时也可以直接用|AB|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).
命题角度2 中点弦问题
【例3-3】 (2020·天津高考)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点C满足3eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的方程．
【规律方法】
解决弦中点问题问题，经常利用设而不求的方法，解题要点如下：
(1)设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)联立直线的方程与圆锥曲线的方程；
(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；
(4)利用根与系数的关系设而不求；
(5)把题干中的条件转化为含有x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的式子，进而求解即可．
易错警示：对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
【对点训练3】
1．（2021•全国高考甲卷理科）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
2．(2020·高考全国Ⅲ卷)已知椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(0