新高考数学二轮复习 专题5 第3讲 圆锥曲线中的证明、定值、定点问题（讲） 【新教材·新高考】

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高考数学一轮靠老师勤奋、学生努力；高考数学二轮主要看老师的把握水平(课标、考纲)，研究水平(选题、集体备课)，辅导水平(课堂辅导，课后个辅)。
二、高考数学二轮复习要注意明确两个做法：抓审题，抓个辅
抓审题：让学生说出来，让思维呈现出来。充分调动学生审题、变题能力;
抓个辅：教师要有个辅学生问题清单，让辅导有针对性;个辅全程性，个辅不只在课后，课堂个辅也是关键。
三、高考数学二轮复习要注意坚持三个过关：必须记忆过关;必须限时过关;必须心理过关
1、高考数学每节课必须花5分钟过关记忆性知识。
2、学生训练最大的状态就是能限时过关，应试能力也是数学解题能力，极大限度地减少题海战术。
3、学生最大的障碍就是就是心理问题。
四、高三数学二轮复习要注意避免四个重复：
重复一轮复习老路；重复成套试题训练；重复迷信名校资料；重复个人喜好方向。

第3讲 圆锥曲线中的证明、定值、定点问题（讲·教师版）
高考定位
1.解析几何是数形结合的典范，高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等．试题难度较大，多以压轴题出现。
2.解析几何综合问题主要利用直线与圆锥曲线的位置关系考查证明、定值、定点问题，着重考查学生数学抽象、数学建模、逻辑推理及数学运算等核心素养．
核心整合
1.探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；
2.解答圆锥曲线的定值，从三个方面把握
(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以求出定值．
3. 圆锥曲线中的证明问题常以椭圆、抛物线为载体，借助设而不求、整体代入法，考查数形结合思想、方程思想、化归与转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力．
真题体验
1．(2019·北京高考文科·T19)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).
(1)求椭圆C的方程.
(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N,若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.
【解析】(1)解：由已知,c=1,b=1,
又a2=b2+c2,
所以a2=2,
所以C的方程为x22+y2=1.
(2)证明：设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由y=kx+t,x2+2y2=2,消去y得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-2=0,①
因为直线与椭圆有两个交点,所以必须Δ>0,②
x1+x2=-4kt2k2+1,x1x2=2t2-22k2+1,③
直线AP方程为y=y1-1x1x+1,与y=0联立得x=-x1y1-1,即M-x1y1-1,0,
同理,N-x2y2-1,0,
(y1-1)(y2-1)=(kx1+t-1)(kx2+t-1)
=k2x1x2+k(t-1)(x1+x2)+(t-1)2
=(t-1)22k2+1,
所以|OM|·|ON|=-x1y1-1·-x2y2-1
=x1x2(y1-1)(y2-1)=2(t2-1)(t-1)2=2,
所以|(t+1)(t-1)|=|t-1|2,t=1(舍去)或0,
当t=0时,①式Δ>0,符合题意,所以直线l方程为y=kx,
所以直线l过定点(0,0).
2.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,且过点A(2,1).
(1)求C的方程;
(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.
【解析】(1)解：由题意得4a2+1b2=1,a2-b2a2=12,解得a2=6,b2=3.所以C的方程为x26+y23=1.
(2)证明：设M(x1,y1),N(x2,y2).若直线MN与x轴不垂直,设直线MN的方程为y=kx+m,
代入x26+y23=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0，
于是x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-61+2k2.①
由AM⊥AN知·=0,故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,可得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0.
将①代入上式可得(k2+1)2m2-61+2k2-(km-k-2)4km1+2k2+(m-1)2+4=0.
整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.
因为A(2,1)不在直线MN上,所以2k+m-1≠0,故2k+3m+1=0,k≠1(A(2,1)不在直线MN上).
于是MN的方程为y=kx-23-13(k≠1).
所以直线MN过点P23,-13.
若直线MN与x轴垂直,可得N(x1,-y1).
由·=0得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-y1-1)=0.
又x126+y123=1,可得3x12-8x1+4=0.
解得x1=2(舍去),x1=23.
此时直线MN过点P23,-13.
令Q为AP的中点,即Q43,13.
若D与P不重合,则由题设知AP是Rt△ADP的斜边,
故|DQ|=12|AP|=223.
若D与P重合,则|DQ|=12|AP|.
综上,存在点Q43,13,使得|DQ|为定值.
能力突破
考点一 定点问题
【例1】 (2020·高考全国卷Ⅰ)已知A，B分别为椭圆E：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，eq \(AG,\s\up6(→))·eq \(GB,\s\up6(→))＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点．
【解析】 (1)解：由题设得A(－a，0)，B(a，0)，G(0，1)．
则eq \(AG,\s\up6(→))＝(a，1)，eq \(GB,\s\up6(→))＝(a，－1)．由eq \(AG,\s\up6(→))·eq \(GB,\s\up6(→))＝8得a2－1＝8，即a＝3.
所以E的方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1.
(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)．
若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3