|学案下载
终身会员
搜索
    上传资料 赚现金
    2023届高考数学二轮复习专题六解析几何第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质学案
    立即下载
    加入资料篮
    2023届高考数学二轮复习专题六解析几何第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质学案01
    2023届高考数学二轮复习专题六解析几何第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质学案02
    2023届高考数学二轮复习专题六解析几何第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质学案03
    还剩15页未读, 继续阅读
    下载需要10学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    2023届高考数学二轮复习专题六解析几何第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质学案

    展开
    这是一份2023届高考数学二轮复习专题六解析几何第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质学案,共18页。

    第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质

    1.[圆锥曲线的定义](2021·新高考Ⅰ卷,T5)已知F1,F2是椭圆C:

    +=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为( C )

    A.13 B.12 C.9 D.6

    解析:因为F1,F2是椭圆C:+=1的两个焦点,点M在C上,所以|MF1|+|MF2|=6,

    又|MF1|·|MF2|≤()2=9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,取等号,

    所以|MF1|·|MF2|的最大值为9.故选C.

    2.[圆锥曲线的方程](2022全国甲卷,T11)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若·=-1,则C的方程为( B )

    A.+=1 B.+=1

    C.+=1 D.+y2=1

    解析:因为离心率e===,解得=,b2=a2,

    A1,A2分别为C的左、右顶点,则A1(-a,0),A2(a,0),B为上顶点,所以B(0,b),

    所以=(-a,-b),=(a,-b),因为·=-1,所以-a2+b2=-1,将b2=a2代入,解得a2=9,b2=8,

    故椭圆C的方程为+=1.故选B.

    3.[抛物线的性质](多选题)(2022·新高考Ⅱ卷,T10)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则( ACD )

    A.直线AB的斜率为2

    B.|OB|=|OF|

    C.|AB|>4|OF|

    D.∠OAM+∠OBM<180°

    解析:对于A,易得F(,0),由|AF|=|AM|可得点A在FM的垂直平分线上,则点A的横坐标为=,代入抛物线方程可得y2=2p·=p2,则A(,),则直线AB的斜率为=2,A正确;

    对于B,由斜率为2可得直线AB的方程为x=y+,联立抛物线方程得y2-py-p2=0,设B(x1,y1),则p+y1=p,则y1=-,代入抛物线方程得=2p·x1,解得x1=,则B(,-),则|OB|==≠|OF|=,B错误;

    对于C,由抛物线定义知|AB|=++p=>2p=4|OF|,C正确;

    对于D,·=(,)·(,-)=·+·(-)=-<0,则∠AOB为钝角,

    ·=(-,)·(-,-)=-·(-)+·(-)=-<0,则∠AMB为钝角,

    又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360°,则∠OAM+∠OBM<180°,D正确.故选ACD.

    4.[圆锥曲线的性质](2022·全国甲卷,T15)记双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值    . 

    解析:因为双曲线C:-=1(a>0,b>0),所以C的渐近线方程为y=±x,

    结合渐近线的特点,只需0<≤2,即≤4,可满足条件“直线y=2x与C无公共点”,

    所以e===,又因为e>1,所以1<e≤.

    答案:2(满足1<e≤皆可)

    5.[抛物线的方程](2021·新高考Ⅰ卷,T14)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为         . 

    解析:由题意,不妨设P在第一象限,则P(,p),kOP=2,因为PQ⊥OP,所以kPQ=-,

    所以直线PQ的方程为y-p=-(x-),

    当y=0时,x=,因为|FQ|=6,所以-=6,解得p=3,所以抛物线C的准线方程为x=-.

    答案:x=-

      圆锥曲线的定义方程和性质是高考考查的重点和热点内容,主要从以下两个方面进行考查:

    (1)利用圆锥曲线的定义求解圆锥曲线的方程,利用定义实现距离的转化都是高考常见的命题方向,多以选择题、填空题的形式考查,难度中等,主要考查考生的逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.

    (2)利用圆锥曲线的几何性质解决问题是高考的重点,尤其是椭圆和双曲线的离心率、双曲线的渐近线等,多以选择题、填空题的形式命题,难度中等,主要考查考生的逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.

    热点一 圆锥曲线的定义与标准方程

    (1)圆锥曲线的定义.

    ①椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|).

    ②双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|).

    ③抛物线:|PF|=|PM|,l为抛物线的准线,点F不在定直线l上,PM⊥l于点M.

    (2)求圆锥曲线标准方程“先定型,后计算”.

    所谓“定型”,就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置;所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值.

    典例1 (1)已知F是椭圆E:+=1(a>b>0)的左焦点,椭圆E上一点P(2,1)关于原点的对称点为Q,若△PQF的周长为4+2,则a-b=(  )

    A. B. C. D.

    (2)已知A,B是抛物线y2=8x上两点,当线段AB的中点到y轴的距离为3时,|AB|的最大值为(  )

    A.5 B.5 C.10 D.10

    解析:(1)因为P与Q关于原点对称,则Q(-2,-1),所以|PQ|=2=2,

    又△PQF的周长为|QP|+|PF|+|QF|=4+2,所以|PF|+|QF|=4.

    设椭圆的右焦点为M,则由椭圆的性质,得|PF|=|QM|,所以|QM|+|QF|=2a=4,所以a=2.

    将点P(2,1)代入椭圆方程,得+=1,则b=,所以a-b=2-=.故选A.

    (2)

    设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,线段AB的中点为M.如图,分别过点A,B,M作准线l的垂线,垂足分别为C,D,N,连接AF,BF.因为线段AB的中点到y轴的距离为3,抛物线y2=8x的准线l:x=-2,所以|MN|=5.因为|AB|≤|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|MN|=10,当且仅当A,B,F三点共线时取等号,所以|AB|max=10.故选C.

    (1)方法技巧:回归定义,借助几何条件解题.

    涉及圆锥曲线上的点与焦点的问题,一般都与圆锥曲线的定义有关,解题的关键一是回归定义,二是分析图形的几何关系.

    ①椭圆、双曲线定义的应用,主要是关联焦点三角形的周长和面积问题,注意正弦定理、余弦定理(涉及最值问题时常用到基本不等式)在解题中的应用.

    ②抛物线定义的应用,主要是利用定义确定动点的运动轨迹是不是抛物线的问题,涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题等,注意在解题中利用两个距离之间的相互转化.

    (2)常用结论:焦点三角形问题.

    焦点三角形是椭圆、双曲线中特有的几何图形,与其面积有关的常用结论有:

    ①椭圆+=1(a>b>0)中,若P是椭圆上的点,F1,F2是两个焦点,且∠F1PF2=θ,则=|PF1|·|PF2|·sin θ=b2tan .

    ②双曲线-=1(a>0,b>0)中,若P是双曲线上的点,F1,F2是两个焦点,且∠F1PF2=θ,则=|PF1|·|PF2|·sin θ=.

    热点训练1  (1)已知双曲线x2-5y2=25上一点P到其左焦点F的距离为8,则PF的中点M到坐标原点O的距离为(  )

    A.9 B.6 C.5 D.4

    (2)(多选题)在△ABC中,AB=4,M为AB的中点,且|CA-CB|=|CM|,则下列说法中正确的是(  )

    A.动点C的轨迹是双曲线

    B.动点C的轨迹关于点M对称

    C.△ABC是钝角三角形

    D.△ABC面积的最大值为2

    解析:(1)由x2-5y2=25,得-=1,则a2=25,b2=5,所以c2=30,所以a=5,b=,c=.

    设双曲线的右焦点为F1,因为点P到其左焦点F的距离为8<a+c=5+,所以点P在双曲线的左支上,

    所以|PF1|-|PF|=2a=10,所以|PF1|=18,因为M为PF的中点,O为FF1的中点,所以|OM|=|PF1|=9.故选A.

    (2)

    以点M为坐标原点,AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.设|CM|=r,此时点C在以点M为圆心,r为半径且不过x轴的动圆上.由|CA-CB|=r知,点C在以A,B为焦点,a=的双曲线-=1(a>0,b>0)(y≠0)上,且a2+b2=()2=4.对点C(x,y)有x2+y2=r2,-=1,从而y2=r2(16-r2)(y≠0),当r2=8时,y2最大,故|y|≤,S△ABC≤2,故D正确;

    当r=2时,得到另一个C点C′,此时△ABC为直角三角形,故C错误;

    因为|CA-CB|非定值,所以C不以双曲线为轨迹,故A错误;

    因为|CA-CB|=|CM|,所以一定有C关于M的对称点关于原点对称,故B正确.故选BD.

    热点二 椭圆、双曲线的性质

    (1)求离心率的两种方法.

    ①求出a,c,代入公式e=.

    ②根据条件建立关于a,b,c的齐次式,消去b后,转化为关于e的方程或不等式,即可求得e的值或取值范围.

    (2)与双曲线-=1(a>0,b>0)共渐近线bx±ay=0的双曲线方程为-=λ(λ≠0).

    典例2 (1)(2022·河北沧州模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,M为OA的中点,P为双曲线C右支上一点且PF2⊥F1F2,且tan ∠PF1F2=,则下列说法错误的是(  )

    A.C的离心率为2

    B.C的渐近线方程为x±y=0

    C.PM平分∠F1PF2

    D.=+

    (2)已知F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F向双曲线C的一条渐近线作垂线,垂足为A,交另一条渐近线于点B,O为坐标原点.若|OF|=|FB|,则双曲线C的渐近线方程为(  )

    A.y=±x B.y=±2x

    C.y=±x D.y=±x

    解析:(1)由题设F1(-c,0),F2(c,0)且c>0,又PF2⊥F1F2,所以|PF2|=,而tan ∠PF1F2==,故=,

    由b2=c2-a2,则(2c+a)(c-2a)=0,a>0,c>0,故c=2a,所以C的离心率为2,A正确;

    由上可得b2=3a2,故C的渐近线方程为y=±x=±x,B错误;

    由|PF2|==3a,则|PF1|=2a+|PF2|=5a,故=,而M为OA的中点,则|MF1|=c+=,|MF2|=c-=,

    =,由角平分线的性质易知,PM平分∠F1PF2,C正确;

    =+=+=+(+)=+,D正确.故选B.

    (2)

    如图所示,过点F(c,0)向双曲线C的另一条渐近线作垂线,垂足为D,双曲线的渐近线方程为y=±x,则点F(c,0)到渐近线的距离d==b,

    即|FA|=|FD|=b,则|OA|=|OD|=a.

    又|OF|=|FB|,所以△OFB为等腰三角形,则D为OB的中点,|OB|=2a.

    在Rt△OAB中,|OB|=2|OA|,知∠AOB=60°,

    所以∠AOF=30°,=tan 30°=.

    故双曲线C的渐近线方程为y=±x.故选A.

    (1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围,其关键就是确立一个关于a,b,c的等量关系或不等关系,然后用a,c代换b,进而求的值.

    (2)求双曲线渐近线方程的关键在于求的值,也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”,然后因式分解得到.

    热点训练2  (1)(2022·江西抚州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0),其左、右焦点分别为F1,F2,其离心率为e=,点P为该椭圆上一点,且满足∠F1PF2=,已知△F1PF2的内切圆的面积为3π,则该椭圆的长轴长为(  )

    A.2 B.4 C.6 D.12

    (2)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,渐近线上一点P满足·=0(O为坐标原点),∠OPF1=30°,则双曲线C的离心率为(  )

    A. B. C. D.

    解析:(1)因为离心率为e=,所以=,即a=2c,c=a,

    再由△F1PF2的内切圆的面积为3π,设内切圆的半径为r,则πr2=3π,所以r=,

    设|PF1|=m,|PF2|=n,则由椭圆的定义可知m+n=2a,

    在△F1PF2中,∠F1PF2=,由余弦定理|PF1|2+-2|PF1||PF2|·cos ∠F1PF2=|F1F2|2,

    -2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|·=|F1F2|2,即3|PF1|·|PF2|=3mn=4a2-4c2=3a2,可得mn=a2,

    所以=|PF1|·|PF2|sin =mn·sin =mn=a2,而=(2a+2c)r=·3a·=a,

    a2=a,解得a=6,所以长轴长为2a=12.故选D.

    (2)因为·=0,所以,由双曲线的性质可知,|PF2|=b,

    又|OF2|=c,故|OP|===a,

    如图,过点P作PA⊥x轴,则|PA|=|OP|·sin ∠POF2=,

    |OA|=|OP|cos ∠POF2=,

    所以|PF1|==,

    在△PF1O中,由正弦定理得=,即=,

    整理可得3c2=7a2,则e===.故选B.

    热点三 抛物线的性质

    抛物线的焦点弦的几个常见结论:

    设AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),α是弦AB的倾斜角,则

    (1)x1x2=,y1y2=-p2.

    (2)|AB|=x1+x2+p=.

    (3)+=.

    (4)以线段AB为直径的圆与准线x=-相切.

    典例3 (1)(多选题)(2022·福建福州模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线为l,点M在抛物线上,以M为圆心的圆与l相切于点N,点A(5,0)与抛物线的焦点F不重合,且|MN|=|MA|,∠NMA=120°,则(  )

    A.圆M的半径是4

    B.圆M与直线y=-1相切

    C.抛物线上的点P到点A的距离的最小值为4

    D.抛物线上的点P到点A,F的距离之和的最小值为4

    (2)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与C相交于A,B两点,且|AF|-|BF|=,则=    . 

    解析:(1)由抛物线的定义,得|MN|=|MF|,F(,0),准线l:x=-,

    以M为圆心的圆与l相切于点N,所以MN⊥l,即MN∥x轴,又∠NMA=120°,所以∠MAF=60°;

    因为|MN|=|MF|=|MA|,所以△MAF是等边三角形,即|MN|=|MF|=|MA|=|AF|;

    设点M在第一象限,作AF的中点G,连接MG,

    因为A(5,0),所以|AF|=|MN|=|MF|=|MA|=5-,

    则|OG|=|MN|-,即×(5-)+=5--,

    解得p=2,则抛物线的方程为y2=4x,则|OG|=3,

    对于A选项,有|MN|=|MF|=|MA|=5-1=4,故A选项正确;

    对于B选项,xm=|OG|=3,所以ym=±2,易得圆M与直线y=-1不相切,故B选项错误;

    对于C选项,设抛物线上的点P(,t),则|AP|=,

    化简,得|AP|=≥4,当且仅当t2=12时等号成立,故C选项正确;

    对于D选项,设过点P作准线l:x=-1的垂线交l于点P′,

    由抛物线的定义,知|PP′|=|PF|,则|PA|+|PF|=|PP′|+|PA|≥|P′A|,

    当且仅当A,F,P三点共线时取得最小值,

    所以|PA|+|PF|≥|P′A|≥5+1=6,故D选项错误.故选AC.

    (2)法一 抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),

    设直线AB的方程为y=k(x-1)(斜率不存在时不满足题意),代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.

    设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2+,x1x2=1,由抛物线的定义可得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,

    由|AF|-|BF|=,得(x1+1)-(x2+1)=,即x1-x2=,由-x2=,

    解得x2=或x2=-2(舍去),所以x1=2,所以===2.

    法二 由焦点弦的常用结论知+==1,联立|AF|-|BF|=,解得|AF|=3,|BF|=,所以==2.

    答案:(1)AC (2)2

    利用抛物线的几何性质解题时,要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系,灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论,使问题简单化且减少数学运算.

    热点训练3  (多选题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l的斜率为且经过点F,直线l与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D.若|AF|=8,则下列结论正确的是(  )

    A.p=4         B.=

    C.|BD|=2|BF| D.|BF|=4

    解析:

    如图所示,分别过点A,B作准线的垂线,垂足分别为E,M,连接EF.抛物线C的准线交x轴于点P,则|PF|=p,由于直线l的斜率为,则其倾斜角为60°.又AE∥x轴,所以∠EAF=60°,由抛物线的定义可知,|AE|=|AF|,则△AEF为等边三角形,所以∠EFP=∠AEF=60°,则∠PEF=30°,所以|AF|=|EF|=2|PF|=2p=8,解得p=4,故A正确;因为|AE|=|EF|=2|PF|,PF∥AE,所以F为线段AD的中点,则=,故B正确;因为∠DAE=60°,所以∠ADE=30°,所以|BD|=2|BM|=2|BF|(抛物线定义),故C正确;因为|BD|=2|BF|,所以|BF|=|DF|=|AF|=,故D错误.故选ABC.

    相关学案

    2023届高考数学二轮复习专题七解析几何第二讲圆锥曲线的概念与性质,与弦有关的计算问题学案: 这是一份2023届高考数学二轮复习专题七解析几何第二讲圆锥曲线的概念与性质,与弦有关的计算问题学案,共15页。

    2023届高考数学二轮复习专题六第1讲函数的图象与性质学案: 这是一份2023届高考数学二轮复习专题六第1讲函数的图象与性质学案,共15页。学案主要包含了素养提升,二级结论等内容,欢迎下载使用。

    新高考数学二轮复习专题六第2讲圆锥曲线的方程与性质学案: 这是一份新高考数学二轮复习专题六第2讲圆锥曲线的方程与性质学案,共25页。

    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:资料
    资料售价:学贝 账户剩余:学贝
    选择教习网的4大理由
    • 更专业
      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿
    • 更丰富
      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;900万+优选资源 ⽇更新5000+
    • 更便捷
      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤
    • 真低价
      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣
    VIP权益介绍
    • 充值学贝下载 本单免费 90%的用户选择
    • 扫码直接下载
    元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      充值到账1学贝=0.1元
      0学贝
      本次充值学贝
      0学贝
      VIP充值赠送
      0学贝
      下载消耗
      0学贝
      资料原价
      100学贝
      VIP下载优惠
      0学贝
      0学贝
      下载后剩余学贝永久有效
      0学贝
      • 微信
      • 支付宝
      支付:¥
      元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
      您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      扫码支付0直接下载
      • 微信
      • 支付宝
      微信扫码支付
      充值学贝下载,立省60% 充值学贝下载,本次下载免费
        下载成功

        Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

        若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

        本资源来自成套资源

        更多精品资料

        正在打包资料,请稍候…

        预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

        服务器繁忙,打包失败

        请联系右侧的在线客服解决

        单次下载文件已超2GB,请分批下载

        请单份下载或分批下载

        支付后60天内可免费重复下载

        我知道了
        正在提交订单

        欢迎来到教习网

        • 900万优选资源,让备课更轻松
        • 600万优选试题,支持自由组卷
        • 高质量可编辑,日均更新2000+
        • 百万教师选择,专业更值得信赖
        微信扫码注册
        qrcode
        二维码已过期
        刷新

        微信扫码,快速注册

        还可免费领教师专享福利「樊登读书VIP」

        手机号注册
        手机号码

        手机号格式错误

        手机验证码 获取验证码

        手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

        设置密码

        6-20个字符,数字、字母或符号

        注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
        QQ注册
        手机号注册
        微信注册

        注册成功

        下载确认

        下载需要:0 张下载券

        账户可用:0 张下载券

        立即下载
        账户可用下载券不足,请取消部分资料或者使用学贝继续下载 学贝支付

        如何免费获得下载券?

        加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

        即将下载

        2023届高考数学二轮复习专题六解析几何第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质学案
        该资料来自成套资源,打包下载更省心 该专辑正在参与特惠活动,低至4折起
        [共10份]
        浏览全套
          立即下载(共1份)
          返回
          顶部
          Baidu
          map