高考数学复习圆锥曲线的定义方程与性质

这是一份高考数学复习圆锥曲线的定义方程与性质，共30页。试卷主要包含了基础知识回顾，圆锥曲线常用结论等内容，欢迎下载使用。
 圆锥曲线的定义、方程与性质



圆锥曲线是解析几何学习的主要内容、也是体现解析几何思想方法的重要载体．高考对圆锥曲线的定义、标准方程及其几何性质等为必考点．题型及考试分值稳定，重点考查学生直观想象、数学运算、数学建模和逻辑推理核心素养．
一、基础知识回顾
1．椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a>|F1F2|)的动点P的轨迹叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点．
（2）椭圆的标准方程及其几何性质
标准方程
+=1(a>b>0)
+=1(a>b>0)
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
对称性
关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
顶点坐标
(a，0)，(-a，0)，(0，b)，(0，-b)
(b，0)，(-b，0)，(0，a)，(0，-a)
焦点坐标
(c，0)，(-c，0)
(0，c)，(0，-c)
半轴长
长半轴长为a，短半轴长为b
离心率
e==(00，b>0)
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称性
对称轴：x轴，y轴;对称中心：原点
焦点
F1(-c，0)，F2(c，0)
F1(0，-c)，F2(0，c)
顶点
A1(-a，0)，A2(a，0)
A1(0，-a)，A2(0，a)
轴
线段A1A2和B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴;实轴长为2a，虚轴长为2b
焦距
|F1F2|=2c
离心率
e==，e∈(1，+∞)
渐近线
y=±x
y=±x
a，b，c的关系
a2=c2-b2
3．抛物线：
（1）抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线．定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．
（2）抛物线的标准方程及其几何性质
标准方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)


图形




p的几何意义： 焦点F到准线l的距离
顶点
O(0，0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
F
F
F
F
离心率
e=1
准线方程
x=-
x=
y=-
y=
开口方向
向右
向左
向上
向下
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦半径(其中P(x0，y0))
|PF|=x0+
|PF|=-x0+
|PF|=y0+
|PF|=-y0+
二、圆锥曲线常用结论
1．椭圆中，长轴是最长的弦，过焦点的所有弦长中，垂直长轴的弦长最短，最短为．距焦点最短的点是相应的对称轴同侧顶点．过双曲线的焦点作对称轴的垂线，与双曲线交于A，B两点，|AB|＝．过抛物线的焦点作对称轴的垂线，与抛物线交于A，B两点，|AB|＝2p．
2．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系
（1）在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝；
（2）在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝．
3．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F(，0)，准线方程x＝－；
抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F(0，)，准线方程y＝－．
4．（1）与椭圆共焦点的椭圆的方程可设为．
（2）与椭圆有相同的离心率的椭圆可设为，．
（3）与有相同焦点的双曲线方程为
（4）与有相同的渐近线方程为：；
5．椭圆的两焦点分别为，是椭圆上任意一点，则有以下结论成立：
①;   ②;    ③;
④焦半径公式，( ， ，)．
6．设P点是椭圆上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记，则
①． ②焦点三角形的面积： ．
③当P点位于短轴顶点处时， 最大，此时也最大;
7．双曲线的两焦点分别为，是双曲线上任意一点，则有以下结论成立：
①; ②;
8．设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记，则
①． ②焦点三角形的面积 ．
9．y2=2px(p>0)焦点的弦，，直线的倾斜角为，则
① ②
③   ④； ⑤；

名师解读《普通高中数学课程标准》（2020年修订版）
课标要求： 能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路，运用代数方法得到结论，给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题．
内容包括：圆锥曲线与方程
①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
②经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．
③了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质．
④通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．
⑤了解椭圆、抛物线的简单应用．
重点提升数据分析、数学建模、逻辑推理、数学运算和数学抽象素养．
圆锥曲线的定义及标准方程
（2022·全国·高考真题）
1．已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ）
A． B． C． D．
（2022·全国·高考真题）
2．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
（2023·广西柳州二模）
3．已知椭圆C的焦点为，过的直线与C交于P，Q两点，若，则椭圆C的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．
（2023·四川自贡一模）
4．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ）
A． B．3 C． D．2
（2023·福建三明高三调研）
5．已知为抛物线的焦点，过作垂直轴的直线交抛物线于、两点，以为直径的圆交轴于，两点，若，则的方程为（    ）
A． B． C． D．

1．关于圆锥曲线定义的应用：对于椭圆、双曲线如果涉及曲线上的点与焦点的距离，一般要利用定义进行转化．对应抛物线涉及曲线上的点到焦点的距离、到准线的距离时需要相互转化．
2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”：所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
     圆锥曲线的几何性质
（2022·全国·高考真题）
6．若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
（2022·全国·高考真题）
7．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
(2023·安徽安庆高三模拟)
9．已知拋物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交拋物线于点、（在轴上方），且点的横坐标为3，是轴正半轴上一点，为坐标原点，的角平分线过的中点，则点的坐标为（    ）
A． B． C． D．
(多选题) (2023·山西师大附中高三期末)
10．嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为，已知远月点到月球表面的最近距离为，则（     ）

A．圆形轨道的周长为
B．月球半径为
C．近月点与远月点的距离为
D．椭圆轨道的离心率为

1．研究圆锥曲线的性质：要围绕顶点、准线、离心率、渐近线及它们之间的关系，结合定义、三角形等知识．
2．求椭圆或双曲线离心率的两种方法
（1）直接法：若已知a，c，则可直接利用e＝求解．
（2）方程(不等式)法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助a2＝b2＋c2(或c2＝a2＋b2)转化为关于a，c的齐次方程求解．　　
  运用定义求解最值问题
（2021·全国·统考高考真题）
11．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）
A．13 B．12 C．9 D．6
（2023·河北邯郸一模）
12．已知，点P是抛物线上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．
（2023·广东肇庆·二模）
13．已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（    ）
A． B． C． D．
（2023·山东烟台高三调研）
14．已知一张纸上面有半径为4的圆O，在圆O内有一个定点A，且OA＝2，折叠纸片，使圆O上某一点A′刚好与A点重合，按照这样的折法，每次折叠都留下一条直线折痕，当A′取遍圆上所有点时，所有折痕与OA′的交点形成的曲线记为曲线C，则曲线C上任意两点的连线中，最长的长度是________．

圆锥曲线中，涉及都线段相加减的最值，如果该线段一个端点是焦点，注意可以利用圆锥曲线额定义来进行转换，分析求解．
[素养落地]---数学运算
1．【解读素养】
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．数学运算是解决数学问题的基本手段．
数学运算主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果．
通过高中数学课程的学习，学生能进一步发展数学运算能力；有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．
2．【典例剖析】
（2022·天津·高考真题）
15．已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．

(2023·山西晋南检测)
16．抛物线上的点与其焦点的距离的最小值为（    ）
A．2 B．1 C． D．
（2023·浙江丽水高三期末联考）
17．已知双曲线与抛物线有共同的焦点，且点到双曲线的渐近线的距离等于1，则双曲线的方程为（    ）
A． B．
C． D．
（2023·安徽蚌埠一模）
18．已知椭圆：与抛物线：交于两点，为坐标原点，若的外接圆经过点，则等于（    ）
A． B． C．2 D．4
（2023·广西柳州二模）
19．已知、分别为双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线交双曲线于、两点，若的平分线过点，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
(多选题) （2023·辽宁葫芦岛一模）
20．已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点，若，(点O为坐标原点)，则下列说法正确的是（    ）
A．双曲线C的离心率为 B．的面积为
C． D．
(多选题) (2023·江苏泰州高三调研)
21．（多选）已知椭圆的左，右焦点分别为直线与椭圆相交于，则（    ）
A．当时，的面积为
B．不存在使为直角三角形
C．存在使四边形面积最大
D．存在使周长最大
（2023·北京大兴区一模）
22．写出一个满足下列条件的双曲线的方程__________.
①焦点在轴上②渐近线与圆有交点
(2023·福建莆田一中高三期末)
23．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示），已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为_______．

(2023·辽宁大连重点中学联考)
24．汽车前照灯主要由光源、反射镜及配光片三部分组成，其中经过光源和反射镜顶点的剖面轮廓为抛物线，而光源恰好位于抛物线的焦点处，这样光源发出的每一束光线经反射镜反射后均可沿与抛物线对称轴平行的方向射出.某汽车前照灯反射镜剖面轮廓可表示为抛物线.在平面直角坐标系中，设抛物线，抛物线的准线记为，点，动点在抛物线上运动，若点到准线的距离等于，且满足此条件的点有且只有一个，则__________
（2023·湖南岳阳一模）
25．已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上一动点，点，当的周长最小时，点P的坐标为______．
(2023·江西九江一中高三期末)
26．双曲线的左､右顶点分别为，过点的直线交该双曲线于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，已知轴时，，则双曲线的离心率__________；若点在双曲线右支上，则的取值范围是__________.
(2023·安徽安庆一模)
27．已知椭圆的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点P在椭圆G上，且满足．当b变化时，给出下列三个命题：
①点P的轨迹关于y轴对称；
②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；
③的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是___________．

参考答案：
1．B
【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.
【详解】解：因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.

2．13
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.


3．B
【分析】由已知可设可求出所有线段用表示，在中由余弦定理得从而可求.
【详解】如图，由已知可设，又因为
根据椭圆的定义，

在中由余弦定理得，所以

故椭圆方程为：
故选：B
4．B
【分析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可.
【详解】由已知，不妨设，
则，因为，
所以点在以为直径的圆上，
即是以P为直角顶点的直角三角形，
故，
即，又，
所以，
解得，所以
故选：B
【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
5．B
【分析】由题意可知圆是以焦点为圆心，为半径的圆，根据弦长公式即得.
【详解】由题可知，由，可得，
所以，所以以为直径的圆的半径是，圆心为，
所以，，
解得，
所以抛物线方程.
故选：B.
6．
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．

7．A
【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】[方法一]：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.

8．B
【解析】设椭圆的左焦点为：,根据，得到四边形为为矩形，再由，结合椭圆的定义得到，然后由求解.
【详解】设椭圆的左焦点为：,
因为，
所以四边形为为矩形，
所以
因为，
所以
由椭圆的定义得：，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
故选：B
【点睛】方法点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．
9．D
【分析】设线段的中点为，作轴于点，得，可得，所以，结合斜率公式即可求解．
【详解】由可得，故抛物线的方程为，，点
设线段的中点为，作轴于点，作交轴于点，交于点，
则，故，
过点作于点，又是的角平分线，则，
由垂线段的唯一性知，，两点重合，可得，所以，
设，则，解得，故点的坐标为．
故选：D

10．BC
【分析】根据题意结合椭圆定义和性质分别求出各量即可判断.
【详解】由题，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道，环绕周期为，则可得环绕的圆形轨道周长为km，半径为km，故A错误；
则月球半径为，故B正确；
则近月点与远月点的距离为，故C正确；
设椭圆方程为，则（为月球的半径），
，故离心率为，故D错误.
故选：BC.
【点睛】本题考查椭圆的应用，解题的关键是正确理解椭圆的定义.
11．C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
12．A
【分析】根据抛物线的定义所求可转化为，再由三点共线可求最小值.
【详解】由抛物线知，焦点，准线方程为
过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，

由抛物线定义知，
当F,P,M三点共线时,最小为，
故选：A
13．B
【分析】设双曲线的右焦点为，由双曲线方程可求出，b，c的值，利用双曲线的定义以及三点共线即可求出的周长的最小值．
【详解】设双曲线的右焦点为，由双曲线的方程可得：，则，
所以，且，所以，

的周长为，
当且仅当M，P，A三点共线时取等号，
则周长的最小值为．
故选：B．
14．4
【分析】由题意，建立直角坐标系，根据椭圆的定义与性质，可得答案.
【详解】解：以OA的中点G为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示．

易知O(－1，0)，A(1，0)，连接AA′，设折痕与OA′和AA′分别交于M，N两点，连接MA，则MN垂直平分AA′，所以|MA′|＝|MA|，又|A′O|＝|MO|＋|A′M|，所以|MO|＋|MA|＝4，
所以M的轨迹是以O，A为焦点，4为长轴的椭圆，曲线C的方程为．则曲线C上任意两点的连线中，最长的是长轴，长为4．
故答案为：.
15．C
【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：C.
16．B
【解析】根据抛物线的定义可转化为，根据的范围求解即可.
【详解】由题意，的焦点，准线为，
设抛物线上的动点，
根据抛物线的定义可知，，
因为，
所以，
故抛物线上的点与其焦点的距离的最小值为1.
故选：B
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，抛物线的定义，属于容易题.
17．A
【分析】先求出抛物线焦点坐标，则双曲线焦点可知，则可知，再根据焦点到渐近线的距离求解出的值，根据求解出的值，则双曲线的方程可求.
【详解】因为的焦点坐标为，所以设双曲线方程为：且，
又因为到渐近线的距离为，不妨取渐近线，，
所以焦点到渐近线的距离为，
所以，所以双曲线方程为，
故选：A.
18．A
【分析】根据椭圆和抛物线的对称性知的外接圆的圆心必在x轴，设圆心为，结合圆的性质可得、进而得，代入椭圆方程计算即可求解.
【详解】设，则，.
由题意知，四点共圆，
由椭圆和抛物线的对称性，知的外接圆的圆心必在x轴，
设与x轴相交于点D，则，
在圆D中，有，
即，又，
所以，解得，①
代入，得，②
将①②代入椭圆方程，得，
整理，得，解得.
经检验，时，符合题意.
故实数p的值为.
故选：A.

19．D
【分析】作出图形，设，可得，根据角平分线定理可得，可得出与的等量关系，再利用勾股定理可得出、的关系式，进而可求得双曲线的离心率.
【详解】设，可得，如下图所示：

由于的平分线过点，则，
即，，，
在中，由勾股定理可得，即，
，因此，椭圆的离心率为.
故选：D.
【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查了利用双曲线的定义求解焦点三角形问题，考查计算能力，属于中等题.
20．BC
【分析】由于，得到，得到，进而得到，推得，夹角双曲线C的离心率定义，可判定A不正确；由的面积为，得到的面积为，可判定B正确；由，结合，可判定C正确；由，可判定D错误.
【详解】由于，故点M为的中点，所以，所以，所以，所以，
故，所以，所以，所以，
故，所以双曲线C的离心率，故A错误；
因为，所以，
所以的面积为，故的面积为，故B正确；
由于，
所以，故C正确；
由于，故D错误.
故选：BC.
21．AC
【分析】对A，当时，解出相应点的坐标，进而解得三角形面积；
对B，考虑和两种极端情况，进而结合椭圆的性质判断答案；
对C，点A,B位于短轴上时四边形的面积最大，进而判断答案；
对D，结合椭圆的定义，进而考虑点A,B,E三点共线时取得最大值，然后判断答案.
【详解】对于A选项，当时，直线为，代入椭圆方程得，所以，故A正确.
对于选项B，当时，结合A，，，当时，将代入椭圆解得：，所以，则，根据椭圆的性质可知：存在使为直角三角形，故B错误.
对于C选项，容易判断，当即点A,B位于短轴上时，四边形的面积最大，故C正确.
对于D选项，由椭圆的定义得的周长当且仅当过点时取等号，，即直线过椭圆的右焦点时，的周长最大，此时，又，所以不存在使得周长最大，故D错误.
故选：AC.
22．（答案不唯一）
【分析】根据直线与圆有交点，确定双曲线的渐近线方程，进而可写出双曲线方程.
【详解】不妨设双曲线的渐近线方程为，
的圆心为，半径为，
因为渐近线与圆有交点，
所以圆的圆心到这两直线的距离为，解得，
故取，双曲线的渐近线方程为，
此时焦点在轴上的双曲线方程为，
故答案为：（答案不唯一）
23．
【解析】在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在轴上，根据题意求得抛物线的标准方程，可求得该抛物线的焦点坐标，进而可得出结果.
【详解】如图所示，在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在轴上，

设抛物线的标准方程为，由已知条件可得，点在抛物线上，
所以，，解得，
所以，所求抛物线的标准方程为，焦点坐标为，
因此，该抛物线的焦点到顶点的距离为.
故答案为：.
【点睛】本题考查抛物线方程的实际应用，考查计算能力，属于基础题.
24．
【分析】设出，根据条件可得出，由题意方程只有一个解，所以其判别式为0，可得出答案.
【详解】抛物线，则准线的方程为,焦点，设
由点到准线的距离等于，则
所以
化简可得：
由满足此条件的点有且只有一个，时符合题意，
若不等于1，则
即，则
由，所以
故答案为：
25．##(1,0.25)
【分析】由抛物线的定义把转化为到准线的距离，然后由三点共线得最小值，从而得点坐标．
【详解】如图，设是抛物线的准线，过作于，作于，
则，，，
，易知当三点共线时，最小，且最小值为，
所以的周长最小值为3，此时，，即．
故答案为：．

26．         
【分析】当直线轴时，表达出P，Q两点坐标，从而利用斜率之比求出，求出离心率；（2）设出直线，联立方程，得到两根之和，两根之积，表达出，由渐近线方程求出，进而求出的取值范围.
【详解】当轴时，，
所以，从而，所以；
由题意知，.设直线的方程为，
联立，整理得：

又
故
所以可知，当点在右支运动时，由渐近线方程为可知：，故.
故答案为：，
27．①③
【解析】运用椭圆的定义可得也在椭圆上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；
通过的变化，可得②不正确；由图象可得当的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，的值取得最小，即可判断③．
【详解】解：椭圆的两个焦点分别为
，和，，
短轴的两个端点分别为和，
设，点在椭圆上，且满足，
由椭圆定义可得，，
即有在椭圆上．
对于①，将换为方程不变，则点的轨迹关于轴对称，
故①正确；
对于②，由图象可得轨迹关于，轴对称，且，
则椭圆上满足条件的点有4个，
不存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个，故②不正确；
对于③，点靠近坐标轴时或，越大，点远离坐标轴时，越小，所以，即时，取得最小值，此时，与
两方程相加得，即的最小值为 2，故③正确．
故答案为：①③．

【点睛】本题考查椭圆的对称性及由椭圆上的点到焦点的距离之和等于到短轴的顶点距离之和可得另一个椭圆，及到定点距离的最值的判断．