新高考数学二轮复习 专题5 第1讲　直线与圆（讲） 【新教材·新高考】

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高考数学一轮靠老师勤奋、学生努力；高考数学二轮主要看老师的把握水平(课标、考纲)，研究水平(选题、集体备课)，辅导水平(课堂辅导，课后个辅)。
二、高考数学二轮复习要注意明确两个做法：抓审题，抓个辅
抓审题：让学生说出来，让思维呈现出来。充分调动学生审题、变题能力;
抓个辅：教师要有个辅学生问题清单，让辅导有针对性;个辅全程性，个辅不只在课后，课堂个辅也是关键。
三、高考数学二轮复习要注意坚持三个过关：必须记忆过关;必须限时过关;必须心理过关
1、高考数学每节课必须花5分钟过关记忆性知识。
2、学生训练最大的状态就是能限时过关，应试能力也是数学解题能力，极大限度地减少题海战术。
3、学生最大的障碍就是就是心理问题。
四、高三数学二轮复习要注意避免四个重复：
重复一轮复习老路；重复成套试题训练；重复迷信名校资料；重复个人喜好方向。

第1讲 直线与圆（讲·教师版）
高考定位
1．考查直线的方程，直线的为关系和点到直线的距离公式，多以选择题、填空题形式出现，中低难度.
2．圆是高考命题的热点，常和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查．
3．直线与圆偶尔单独命题，有时也会出现在压轴题的位置，多与导数、圆锥曲线相结合，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．
核心整合
1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为零)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为零)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
4．圆的标准方程：当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.
5．圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆．
6．直线与圆的位置关系的判定方法
直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系及判断
7．弦长与切线长的计算方法
(1)弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝2eq \r(r2－d2)(其中d为弦心距)．
(2)切线长的计算：过点P向圆引切线PA，则|PA|＝eq \r(|PC|2－r2)(其中C为圆心)．
8．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．
真题体验
1．（2021•北京市高考）已知圆，直线，当变化时，截得圆弦长的最小值为2，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题可得圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离，则弦长为，
则当时，弦长取得最小值为，解得.故选C.
2.（2021•新高考全国II卷）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【解析】圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.故选ABD.
3．（2021•新高考全国Ⅰ卷）已知点在圆上，点、，则（ ）
A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于
C. 当最小时， D. 当最大时，
【答案】ACD
【解析】圆圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.故选ACD.
4.（2021•天津高考）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
【答案】
【解析】设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，
因为，故.
能力突破
考点一 直线的方程
【例1】 1．（2021·安徽蚌埠市高三开学考试）过点的直线与轴正半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．
【答案】B
【解析】由题得直线的方程为
因为直线过点，所以
由题得.
（当且仅当时等号成立）
所以的最小值为.故选B.
2．已知直线：（），：，若，则与间的距离为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】由得，解得，
所以直线：，即，
所以与间的距离为，故选B．
3.（多选题）光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以，反射光线经过点和点，反射光线所在直线的斜率为，
则反射光线所在直线的方程为，
当时，；当时，.故选BD.
【规律方法】
解决直线方程问题的三个注意点
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程即不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．
【对点训练1】
1．（2021·湖南衡阳师范学院祁东附属中学高三月考（理））直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【解析】因为的倾斜角为，所以，
所以，故选C.
2．(多选题) 我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就．现作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中是该正八边形的一条边所在直线的为( )
A．x＋(eq \r(2)－1)y－eq \r(2)＝0 B．(1－eq \r(2))x－y＋eq \r(2)＝0
C．x－(eq \r(2)＋1)y＋eq \r(2)＝0 D．(eq \r(2)－1)x－y＋eq \r(2)＝0
【答案】ABD
【解析】 如图所示可知A(eq \r(2)，0)，B(1，1)，C(0，eq \r(2))，D(－1，1)，所以直线AB，BC，CD的方程分别为y＝eq \f(1－0,1－\r(2))(x－eq \r(2))，y＝(1－eq \r(2))x＋eq \r(2)，y＝(eq \r(2)－1)x＋eq \r(2).
整理为一般式即x＋(eq \r(2)－1)y－eq \r(2)＝0，(1－eq \r(2))x－y＋eq \r(2)＝0，(eq \r(2)－1)x－y＋eq \r(2)＝0.故选ABD.
3.（2021·河北高三二模）直线与直线平行，则______，与的距离为______．
【答案】；
【解析】由题可知直线的斜率为，直线的斜率为，所以，解得，
则直线，即，直线，即，
所以它们之间的距离为．
考点二 圆的方程
【例2】 1. (一题多解) (2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________．
【答案】x2＋y2－2x＝0
【解析】方法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,2＋D＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝0，,F＝0.))∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
方法二：画出示意图如图所示，
则△OAB为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，
∴所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.
2.(多选题) (2021·日照市模拟)设圆A：x2＋y2－2x－3＝0，则下列说法正确的是( )
A．圆A的半径为2
B．圆A截y轴所得的弦长为2eq \r(3)
C．圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为1
D．圆A与圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相离
【答案】ABC.
【解析】把圆A的方程x2＋y2－2x－3＝0化成标准方程为(x－1)2＋y2＝4，所以圆A的圆心坐标为(1，0)，半径为2，A正确；圆A截y轴所得的弦长为2×eq \r(4－1)＝2eq \r(3)，B正确；圆心(1，0)到直线3x－4y＋12＝0的距离为3，故圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为3－2＝1，C正确；圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0的圆心为(4，4)，半径为3，根据eq \r(（4－1）2＋42)＝5可知，圆A与圆B相切，D错误．故选ABC.
3.（2021·湖北宜昌市高三期末）若一个圆的圆心是抛物线的焦点，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为__________．过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为__________．
【答案】
【解析】由题意，圆心坐标为，又因为该圆与直线相切，所以，所以圆的标准方程为；因为，所以点四点共圆，又因为，所以为该圆的直径，所以圆的方程为，又因为，联立求解得，所以直线的方程为.
【规律方法】
解决圆的方程问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
【对点训练2】
1.(2020·高考全国Ⅱ卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(3\r(5),5) D.eq \f(4\r(5),5)
【答案】 B
【解析】 由题意可知圆心在第一象限，设为(a，b)．
∵圆与两坐标轴都相切，
∴a＝b，且半径r＝a，
∴圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2.
∵点(2,1)在圆上，∴(2－a)2＋(1－a)2＝a2，
∴a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5.
当a＝1时，圆心坐标为(1,1)，
此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离为d＝eq \f(|2×1－1－3|,\r(22＋－12))＝eq \f(2\r(5),5)；
当a＝5时，圆心坐标为(5,5)，
此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离为d＝eq \f(|2×5－5－3|,\r(22＋－12))＝eq \f(2\r(5),5).
综上，圆心到直线2x－y－3＝0的距离为eq \f(2\r(5),5).
2.(多选题) (2021·淄博市模拟) 已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是( )
A．满足条件的圆C的圆心在一条直线上
B．满足条件的圆C有且只有一个
C．点(2，－1)在满足条件的圆C上
D．满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4eq \r(2)
【答案】ACD
【解析】 .因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，所以设圆心坐标为(a，－a)(a＞0)，故圆心在y＝－x上，A正确；圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，将点(2，－1)代入可知满足(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，故C正确；它们的圆心距为eq \r(（5－1）2＋（－5＋1）2)＝4eq \r(2)，D正确．
3.已知A，B分别是双曲线C：eq \f(x2,m)－eq \f(y2,2)＝1的左、右顶点，P(3,4)为C上一点，则△PAB的外接圆的标准方程为________________．
【答案】 x2＋(y－3)2＝10
【解析】 ∵P(3,4)为C上一点，∴eq \f(9,m)－eq \f(16,2)＝1，
解得m＝1，则B(1,0)，∴kPB＝eq \f(4,2)＝2，
PB的中点坐标为(2,2)，
PB的中垂线方程为y＝－eq \f(1,2)(x－2)＋2，
令x＝0，则y＝3，
设外接圆圆心为M(0，t)，
则M(0,3)，r＝|MB|＝eq \r(1＋32)＝eq \r(10)，
∴△PAB外接圆的标准方程为x2＋(y－3)2＝10.
考点三 直线与圆、圆与圆的位置关系
命题角度1 圆的切线问题
【例3—1】1.（2021·广西玉林市高三模拟（理））过点的直线与圆相切，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】当过的直线斜率不存在时，方程为，与圆相切，满足题意；
当过的直线斜率存在时，设方程为，即，
圆的圆心到的距离，解得：，
，即；
直线的方程为或.故选C.
2.（多选题）（2021·湖南高三月考）已知点，过圆上的一动点作圆的两条切线、，切点分别为、，两个切点、之间的线段称为切点弦.则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．四边形的面积为
【答案】ABD
【解析】因为为两已知圆的圆心，由几何性质可知，，所以，故选项A正确；
因为，，所以，故选项B正确；
因为，又为锐角，所以，同理可得，所以，则为等边三角形，所以，选项C错误；
，选项D正确.
故选ABD.
【规律方法】
直线与圆相切问题的解题策略
(1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．
(2)过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．
命题角度2 圆的弦长问题
【例3—2】 (1) (2020·高考全国Ⅰ卷)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】 将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9，设圆心为C，则C(3，0)，半径r＝3.设点(1，2)为点A，过点A(1，2)的直线为l，因为(1－3)2＋22<9，所以点A(1，2)在圆C的内部，则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D.易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C到直线l的距离为d，则d＝|AC|＝eq \r(（3－1）2＋（0－2）2)＝2eq \r(2)，所以|BD|min＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(32－（2\r(2)）2)＝2，即弦的长度的最小值为2，故选B.
（2）（多选题）（2021·湖北高三二模）设圆的圆心为，直线过，且与圆交于、两点，且，则直线的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
，所以，圆心到直线的距离为.
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，解得，
此时，直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.故选BC.
【规律方法】
1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题．
2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长eq \f(l,2)，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．
命题角度3 与圆有关的最值问题
【例3--3】（1）（2021·河北邯郸市高三三模）已知点P在直线上，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线AB距离的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】设，则，
以OP为直径的圆的方程是，
与圆O的方程相减，得直线AB的方程为，即，
因为，所以，代入直线AB的方程，得，
即，当且，即，时该方程恒成立，
所以直线AB过定点N(1，1)，
点M到直线AB距离的最大值即为点M，N之间的距离，，
所以点M(3，2)到直线AB距离的最大值为.故选D.
（2）（2021·云南昆明一中高三月考）已知实数，满足方程，则下列说法错误的是
A．的最大值为B．的最大值为
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】CD
【解析】对于A，设，则，表示直线的纵截距，当直线与圆有公共点时，，解得，所以的最大值为，故A说法正确；
对于B，的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为，所以的最大值为，故B说法正确；
对于C，设，把代入圆方程得，则，解得，最大值为，故C说法错误；
对于D，设，则，表示直线的纵截距，当直线与圆有公共点时，，解得，所以的最大值为，故D说法错误.
故选CD.
（3）已知圆O：x2＋y2＝9，过点C(2，1)的直线l与圆O交于P，Q两点，则当△OPQ的面积最大时，直线l的方程为________．
【答案】x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0
【解析】当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，则P(2，eq \r(5))，Q(2，－eq \r(5))，所以S△OPQ＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(5)＝2eq \r(5)，当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k≠\f(1,2)))，则圆心到直线l的距离d＝eq \f(|1－2k|,\r(1＋k2))，所以|PQ|＝2eq \r(9－d2)，S△OPQ＝eq \f(1,2)×|PQ|×d＝eq \f(1,2)×2eq \r(9－d2)×d＝eq \r(（9－d2）d2)≤eq \f(9－d2＋d2,2)＝eq \f(9,2)，当且仅当9－d2＝d2，即d2＝eq \f(9,2)时，S△OPQ取得最大值eq \f(9,2)，因为2eq \r(5)＜eq \f(9,2)，所以S△OPQ的最大值为eq \f(9,2)，此时eq \f(4k2－4k＋1,k2＋1)＝eq \f(9,2)，解得k＝－1或k＝－7，此时直线l的方程为x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0.
【规律方法】
与圆有关最值问题的求解策略
1、处理与圆有关的最值问题时，数形结合思想在求解与圆有关的最值问题中是关键点．应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．
2、与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：
命题角度4 圆与圆的位置关系问题
【例3--4】（1）（2020·贵州省思南中学高三月考（理））若圆：与圆：外切，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】 根据题意圆可得圆心 ，半径，
由圆，
，
即，
.
所以圆心，半径，
因为两圆外切，则
则，
可得，
则.故选 D.
（2）（多选题）（2021·海南高三模拟）已知圆和圆的交点为，，则（ ）
A．圆和圆有两条公切线
B．直线的方程为
C．圆上存在两点和使得
D．圆上的点到直线的最大距离为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；
对于B，将两圆方程作差可得，即得公共弦的方程为，故B正确；
对于C，直线经过圆的圆心，所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，故C错误；
对于D，圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最大距离为，D正确.故选ABD.
【规律方法】判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是
1确定两圆的圆心坐标和半径长
2利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和r1＋r2，|r1－r2|的值
3比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论
命题角度5 直线与圆的综合问题
【例3--5】已知圆C经过点A(0，2)，B(2，0)，圆C的圆心在圆x2＋y2＝2的内部，且直线3x＋4y＋5＝0被圆C所截得的弦长为2eq \r(3).点P为圆C上异于A，B的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N.
(1)求圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋1与圆C交于A1，A2两点，求eq \(BA1,\s\up6(→))·eq \(BA2,\s\up6(→)).
【解】 (1)易知圆心C在线段AB的中垂线y＝x上，
故可设C(a，a)，圆C的半径为r.
因为直线3x＋4y＋5＝0被圆C所截得的弦长为2eq \r(3)，且r＝eq \r(a2＋（a－2）2)，
所以C(a，a)到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝eq \f(|7a＋5|,5)＝eq \r(r2－3)＝eq \r(2a2－4a＋1)，
所以a＝0或a＝170.
又圆C的圆心在圆x2＋y2＝2的内部，
所以a＝0，此时r＝2，所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)将y＝x＋1代入x2＋y2＝4得2x2＋2x－3＝0.
设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，
则x1＋x2＝－1，x1x2＝－eq \f(3,2).
所以eq \(BA1,\s\up6(→))·eq \(BA2,\s\up6(→))＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋(x1＋1)(x2＋1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋5＝－3＋1＋5＝3.
【规律方法】
讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．
【对点训练3】
1．（2021·江西南昌市高三二模（文））直线：上存在两个不同点到原点距离等于1，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】直线：上存在两个不同点到原点距离等于1，则原点到直线的距离小于1，所以，解得．故选D．
2．(多选题)（2021·湖北高三二模）已知圆，则下列四个命题中正确的命题有（ ）
A．若圆与轴相切，则
B．圆的圆心到原点的距离的最小值为
C．若直线平分圆的周长，则
D．圆与圆可能外切
【答案】ABD
【解析】圆的圆心坐标为：，半径为.
若圆与轴相切，则，解得，所以A为真命题．
因为，
所以，所以B为真命题．
若直线平分圆的周长，则，即，所以C为假命题．
若圆与圆外切，则，
设函数，因为，，
所以在内必有零点，则方程有解，所以D为真命题．故选ABD
3．在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点(0,1)，(0,3)，且与x轴正半轴相切，若圆C上存在点M，使得直线OM与直线y＝kx(k>0)关于y轴对称，则k的最小值为( )
A.eq \f(2\r(3),3) B.eq \r(3)
C．2eq \r(3) D．4eq \r(3)
【答案】D
【解析】如图，
∵圆C经过点(0,1)，(0,3)，且与x轴正半轴相切，
∴圆心纵坐标为2，半径为2，则圆心横坐标为eq \r(22－12)＝eq \r(3)，
∴圆心坐标为(eq \r(3)，2)，设过原点与圆相切的直线方程为y＝k1x，
由圆心到直线的距离等于半径，得eq \f(|\r(3)k1－2|,\r(k\\al(2,1)＋1))＝2，解得k1＝0或k1＝－4eq \r(3).
∴若圆C上存在点M，使得直线OM与直线y＝kx(k>0)关于y轴对称，则k的最小值为4eq \r(3).故选D.
4（2021·河南高三月考）对于任意实数m，直线均与圆有交点，则当r取最小值________时，经过直线l与圆C交点的圆C的切线方程为______________．
【答案】
【解析】由得.
所以直线过定点（1,1），
所以，所以，所以r取最小值.
因为直线和圆相切，所以.
所以直线的方程为.位置关系
相交
相切
相离
公共点
两个
一个
零个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离
d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))
dd＝r
d>r
代数法：
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2))
消元得到一元二次方程的
判别式Δ
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
常见类型
解题思路
μ＝eq \f(y－b,x－a)型
转化为动直线斜率的最值问题
t＝ax＋by型
转化为动直线截距的最值问题，或用三角代换求解
m＝(x－a)2＋(y－b)2型
转化为动点与定点的距离的平方的最值问题