最新高考数学解题方法模板50讲 专题32 多面体的“内切球”、“外接球”问题求解策略

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模
板
50
讲
专题32 多面体的“内切球”、“外接球”问题求解策略
【高考地位】
球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，基本属于必考题目．而且球相关的特殊距离，即球面距离是一个备考的重点，要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，更应特别加以关注的．题目一般属于中档难度，往往单独成题，或者在解答题中以小问的形式出现．
类型一 球的内切问题
例1．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．
图1
【答案】（1）；（2）当时，体积之和有最小值．
【点评】此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面 ，得如图2的截面图，在图2中，观察与和棱长间的关系即可．
【变式演练1】阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的三分之二．那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为（ ）
A．B．C．D．
【来源】2021年秋季高三数学开学摸底考试卷03（江苏专用）
【答案】C
【分析】
设球的半径为，可得出圆柱的底面半径与高，利用球体的表面积公式以及圆柱的表面积公式可得结果.
【详解】
设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，
则圆柱的表面积为，球的表面积为．
所以，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为．
故选：C．
【变式演练2】正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．
【答案】，．
∴得：，
∴．∴．
【点评】球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径来求出，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．比如：四个半径为的球两两外切，其中三个放在桌面上，第四个球放在这三个球之上，则第四个球离开桌面的高度为多少？这里，四个球的球心这间的距离都是，四个球心构成一个棱长为的正四面体，可以计算正四面体的高为，从而上面球离开桌面的高度为．
考点：空间几何体的球体积和表面积.
【变式演练3】【江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科】已知正三棱柱的体积为54，，记三棱柱的外接球和内切球分别为球，球，则球上的点到球上的点的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由正三棱柱知外接球与内切球的球心重合，两球面上点的最大距离为，根据底面外接圆的半径与侧棱长即可求外接圆半径，内切圆的半径为侧棱长的一半，即可求距离最大值.
【详解】
由题意知：正三棱柱的底面积且底面外接圆半径，而正三棱柱的高，
∴外接球半径，若设内切球半径为，则有： ，
∵正三棱柱的外接球与内切球的球心重合，知：当两球上的点在过球心的直线上且在球心两侧时距离最大，
∴最大距离
故选：D
【点睛】
本题考查了正三棱柱的外接球、内切球问题，根据正三棱柱的性质有球心重合，再由垂直底面的棱与底面圆心构成的截面过外接球的球心即可求半径，应用等体积法求内切球半径，进而求两球上两点距离最大值.
【变式演练4】【湖南省衡阳市第八中学2020-2021学年高三上学期10月月考】攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.以八中校园腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
设正四棱锥的底边为，侧面的等腰三角形的高为，内切球的半径为，建立它们之间的比值关系即可求解
【详解】
由于正四棱锥：底面是正方形，侧面为4个全等的等腰三角形，设正四棱锥的底边为，
底面积为，所以，该正四棱锥的侧面积为，设该四棱锥的侧面的等腰三角形的高为，则有，所以，，设内切球的半径为，则如图，
与相似，有，所以，，由于，
化简得，，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为
故选：B
类型二 球的外接问题
例2. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A．B．C．D．
【来源】2021年天津高考数学试题
【答案】B
【分析】
作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.
【详解】
如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，
设圆锥和圆锥的高之比为，即，
设球的半径为，则，可得，所以，，
所以，，，
，则，所以，，
又因为，所以，，
所以，，，
因此，这两个圆锥的体积之和为.
故选：B.
例3、已知点是边长为3的等边三角形的边上靠近点的三等分点，的中点为．现将沿翻折，使得点到达的位置，且平面平面，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
【来源】2021年高考最后一卷理科数学（第八模拟）
【答案】D
【分析】
首先根据及平面平面证得平面，再由余弦定理求出，进而利用正弦定理求出的外接圆的半径，即可得四面体的外接球的半径，从而可得四面体的外接球的表面积．
【详解】
由题意可知，，
又平面平面，
且平面平面，
故平面，
易知．
在中，，，，
由余弦定理得
，
所以．
设外接圆的半径为，
四面体的外接球的半径为，
由正弦定理得，得．
解法一,，
所以四面体的外接球的表面积
．
解法二,设四面体的外接球的球心为，
外接圆的圆心为，连接，
则平面，
设，则，
解得，
所以，
所以四面体的外接球的表面积
．
故选：D
【点睛】
方法点睛：求几何体外接球的半径，可以根据题意先画出图形，确定球心的位置，进而得到球的半径的表达式，解题时注意球心在过底面外接圆的圆心且垂直于底面的直线上，且球心到几何体各顶点的距离相等．在确定球心的位置后可在直角三角形中求球的半径，此类问题对考生的空间想象能力和运算求解能力要求较高，难度比较大．本题是过三角形的外心作垂直于该三角形的直线，则球心在该直线上，再设出球心的位置，利用勾股定理列方程求出球的半径．
【变式演练5】【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】四面体中，底面，，，则四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由题意画出图形，补形为长方体，求其对角线长，可得四面体外接球的半径，则表面积可求．
【详解】
如图，在四面体中，底面，，，
可得，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，
则长方体的对角线长为，
则三棱锥的外接球的半径为1．
其表面积为．
故选：B．
【变式演练6】【湖南省衡阳市第八中学2020-2021学年高三上学期11月第三次月考】在三棱锥中，，，，，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据角度以及长度关系先确定出球心所在位置，然后将作为公共底面，利用三棱锥的体积公式求解出外接球的半径，从而三棱锥外接球的表面积可求.
【详解】
如图，设的中点为，的中点为，连接，，.
因为，，，
所以，
所以，所以为棱锥外接球的球心，设半径为，
又，且，
所以，，
则.
又由，且可知平面，
所以，解得.
所以外接球的表面积.
故选：B.
【变式演练6】【福建师范大学附属中学2021届高三上学期期中考试】在四面体中，，，，则四面体的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由题可得四面体可还原成棱长为2的正方体，即可由此求出外接球半径，得出体积.
【详解】
，满足，，
由，四面体可还原成棱长为2的正方体，
设外接球的半径为，则，即，
外接球的体积.
故选：B.
【高考再现】
1．（2021·全国高考真题（理））已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得到平面的距离，进而求得体积.
【解析】，为等腰直角三角形，，
则外接圆的半径为，又球的半径为1，
设到平面的距离为，
则，
所以.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.
2．【2020年高考全国Ⅰ卷文数12理数10】已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆．若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路导引】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球截面性质，求出球的半径，即可得出结论．
【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，
由正弦定理可得，，根据圆截面性质平面，
，球的表面积，故选A．
【专家解读】本题的特点是多面体与球的位置关系，本题考查了三棱锥的外接球，考查球的表面积公式，考查数学运算、数学直观等学科素养．解题关键是正确应用球的截面性质．
3．【2020年高考天津卷5】若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【思路导引】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解．
【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即
，
所以这个球的表面积为，故选C．
【专家解读】本题的特点是多面体与球的位置关系，本题考查了正方体的外接球，考查球的表面积公式，考查数学运算、数学直观等学科素养．解题关键是正确作出截面，找到正方体外接球直径与正方体体对角线的关系．
【方法总结】求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：
（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；
（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心．
4．（2019•新课标Ⅰ，理12）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，由，是边长为2的正三角形，可知三棱锥为正三棱锥，则顶点在底面的射影为底面三角形的中心，连接并延长，交于，
则，又，，可得平面，则，，分别是，的中点，，又，即，，得平面，正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为，半径为，则球的体积为，故选．
5．（2018•新课标Ⅲ，理10文12）设，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且面积为，则三棱锥体积的最大值为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】为等边三角形且面积为，可得，解得，球心为，三角形 的外心为，显然在的延长线与球的交点如图：，，则三棱锥高的最大值为：6，则三棱锥体积的最大值为：，故选．
6．【2020年高考全国Ⅲ卷文数16理数15】已知圆维的底面半径为，母线长为，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．
【答案】
【思路导引】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值．
【解析】解法一：易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为，
由于，故，设内切圆半径为，则：
，
解得：，其体积：．故答案为：．
解法二：分析知圆锥内半径最大的球的应为该圆锥的内切球，如图，由题可知该圆锥的母线长为，底面半径为，高为，不妨设该内切圆与母线切于点，
令，则由，可得，即，得，此时．
【专家解读】本题的特点是圆锥与球的位置关系，本题考查了圆锥内切球，考查球的体积公式，考查数学运算、数学直观、数学建模等学科素养．解题关键是认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，正确作出截面，构造直角三角形，应用勾股定理解题．
7.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
【答案】
【解析】
试题分析：取的中点，连接
因为
所以
因为平面平面
所以平面
设
所以，所以球的表面积为
【考点】三棱锥外接球
【名师点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．
【反馈练习】
1．【浙江省台州市第一中学2020-2021学年高三上学期期中】设为等腰三角形，，，为边上的高，将沿翻折成，若四面体的外接球半径为，则线段的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
作出翻折后的图形，求出球心到平面的距离，从而求出的外接圆半径，由正弦定理即可求解.
【详解】
作出翻折后四面体的图形，如图：
，，，
平面，
由，，则， ,
设球心到平面的距离为，的外接圆半径为，
四面体的外接球半径为，
由图可得，解得，
在，由正弦定理可得，（为锐角）
解得，所以，
因为，所以为等边三角形，
所以.
故选：D
2．【河南省九师联盟2021届高三第一学期11月质量检测理科】已知三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，侧棱底面，底面是正三角形，与底面所成的角是45°.若正三棱柱的体积是，则球O的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
首先得到是与底面所成的角，再通过三棱柱的体积得到三棱柱的底面等边三角形的边长，最后通过球的半径，球心到底面距离，底面外接圆半径的关系计算．
【详解】
因为侧棱底面，
则是与底面所成的角，则．
故由，得．
设，则，
解得．
所以球的半径，
所以球的表面积．
故选：A．
【点睛】
解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．
3．【陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考文科】四棱锥的顶点都在球O的球面上，是边长为的正方形，若四棱锥体积的最大值为54，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据四棱锥体积的最大值为54，可求得P到平面的最大距离，根据四棱锥的几何性质，即可求得球O的半径r，代入表面积公式，即可得答案.
【详解】
设球心到平面的距离为h，球O的半径为r，
根据题意，当P到平面距离最大，即为r+h时，四棱锥的体积最大，
所以，解得，
又都在球面上，设平面所在圆心为，由题意得，
所以，解得，
所以表面积.
故选：C
4．【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研】鳖臑（biē nà）是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．已知三棱锥A-BCD是一个鳖臑，其中AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝6，BC＝3，DC＝2，则三棱锥A-BCD的外接球的体积是（ ）
A．B．C．49πD．
【答案】D
【分析】
将三棱锥A-BCD可放在长方体中确定直径AD，计算即得结果.
【详解】
依题意，三棱锥A-BCD可放在长方体中，如图所示
易得三棱锥A-BCD的外接球的直径为AD，则，故三棱锥A-BCD的外接球的半径，所以．
故选：D.
【点睛】
求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.
5．【湖北省鄂州高中2020-2021学年高三上学期10月质量检测】张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家.他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，，若线段的最小值为，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（ ）
A．30B．C．D．36
【答案】C
【分析】
设正方体的棱长为，正方体的内切球半径为，正方体的外接球半径，再已知条件和球的表面积公式可得选项.
【详解】
设正方体的棱长为，正方体的内切球半径为，
正方体的外接球半径满足：，则.
由题意知：，则，，
该正方体的外接球的表面积为，
又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即，所以，
所以外接球的表面积为.
故选：C.
6．【四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第一次联考文科】已知三棱锥，平面，且，在中，，，且满足，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先证明，设三棱锥外接球的半径为,把此三棱锥放到长方体中，使三棱锥的四个顶点恰好是长方体的四个顶点，解方程即得解.
【详解】
由且，
则，
则，
设三棱锥外接球的半径为,把此三棱锥放到长方体中，使三棱锥的四个顶点恰好是长方体的四个顶点，
则，
则.
故选：C
7．球的两个相互垂直的截面圆与的公共弦的长度为2，若是直角三角形，是等边三角形，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【来源】辽宁省丹东市2021届高三二模数学试题
【答案】D
【分析】
如图，过作直线平面，过作直线平面，则与相交于，即为球心，连接，则为该球的半径，取的中点，连接，结合已知条件可证得四边形为矩形，从而可求出的长，进而可求得球的表面积
【详解】
解：如图，过作直线平面，过作直线平面，则与相交于，即为球心，连接，则为该球的半径，
取的中点，连接，
因为是直角三角形，，
所以，
因为是等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以，
因为平面，所以∥，同理∥，
所以四边形为矩形，
所以，
因为平面，所以，
所以,
所以球的表面积为，
故选：D
【点睛】
关键点点睛：此题考查球的截面问题，考查球的表面积的求法，解题的关键是根据题意确定球心的位置，然后结合题意求出球的半径，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题
8．【河南省洛阳市汝阳县2020-2021学年高三上学期联考数学（文）】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形且，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用基本不等式可求的面积最小值为18，再根据几何体的特征可得为外接球的直径，从而可求外接球表面积.
【详解】
解法一：由“堑堵”的定义可知，为直角三角形，
故，
易知，又，，
所以平面，而平面，于是得．
设，，则，
则，，，
由，得，整理得，
所以，
所以
，
当且仅当，即时的面积取得最小值18．
此时．
设三棱锥的外接球半径为，
因为，，故线段为外接球的直径，
故所求外接球的表面积．
故选：D．
解法二：令，则，，，
又因为平面，所以，又．
所以平面，所以．
的面积
当且仅当时，取最小值，
此时，．
在三棱锥中，因为，取中点为，
则，
故为三棱锥的外接球的球心，
所以为外接球直径，．
故选：D．
9．【湖南师大附中2021届高三（上）月考】四棱锥的底面是矩形，侧面平面，，，则该四棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
如图，设的中心为，球心为O，则，设O到平面的距离为d，则，求出的值，即可求出四棱锥外接球的体积
【详解】
取的中点E，连接中，
∴，，设的中心为，球心为O，则，
设O到平面的距离为d，则，
∴，
∴四棱锥的外接球的体积为.
故选：B.
10．【内蒙古赤峰市中原金科2020-2021学年高三大联考】据《九章算术》记载，“鳖臑(biēnà)”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据已知条件可将三棱锥补全图形为正方体，可知其外接球为正方体的外接球，即可求外接球表面积.
【详解】
∵底面，，，将三棱锥补全图形为正方体如图所示，
∴三棱锥的外接球即正方体的外接球.
设外接球的半径为，则，解得.
所以外接球的表面积为.
故选：C
11．【内蒙古赤峰市松山区2020-2021学年高三第一次统一模拟考试文科】已知三棱锥中，，，，，面面，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由条件为直角三角形，设的外接圆的圆心为斜边的中点,取的中点，连接，则面，由题意过点作的平行线，则球心一定在该直线上. 设的外接圆的圆心为，连接,则为矩形，由余弦定理和正弦定理求出的外接圆的半径，从而可求解答案.
【详解】
如图，，，，
，，
所以的外接圆的圆心为斜边的中点,
，为等腰三角形.
取的中点，连接，，
，,
,
又 面面，面面，面，
面，
过点作的平行线，则球心一定在该直线上.
设的外接圆的圆心为，,则点在上，连接,
由球的性质则，平面，则为矩形.
在中，,则
所以的外接圆的半径
所以，则
则
所以球的半径为
所以三棱锥的外接球的表面积为
故选：B
12．如图，已知球是棱长为1 的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据正方体和球的结构特征,判断出平面是正三角形,求出它的边长,再通过图求出它的内切圆的半径,最后求出内切圆的面积.
【详解】
根据题意知，平面是边长为的正三角形,
故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积,
则由图得, 三角形内切圆的半径是,
即，所以.
故选:C.
13．（多选）【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）】已知球是正三棱锥(底面为正三角形，点在底面的射影为底面中心)的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆的面积可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】
依题意首先求出外接球的半径，即可求出截面圆的面积最大值，设过且垂直的截面圆的半径为，即可求出截面圆的面积最小值，从而得解；
【详解】
解：如下图所示，其中是球心，是等边三角形的中心，可得，，设球的半径为，在三角形中，由，即，解得，故最大的截面面积为
在三角形中，，
由余弦定理得
在三角形中，，设过且垂直的截面圆的半径为，
故最小的截面面积为
所以过点作球的截面，所以截面圆面积的取值范围是
故选：．
【点睛】
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
14．（多选）设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（ ）
A．该正方体的核长为2B．该正方体的体对角线长为
C．空心球的内球半径为D．空心球的外球表面积为
【来源】重庆市2021届高三高考数学第三次联合诊断检测试题
【答案】BD
【分析】
设内外球半径分别为r，R，利用正方体的对角线求得，根据两球上点的距离最小值为，求解后得到r，R，进而求得正方体的对角线和外接球的表面积.
【详解】
设内外球半径分别为r，R，则正方体的棱长为，体对角线长为，∴，
又由题知，所以，，
∴正方体棱长为，体对角线长为，
∴外接球表面积为，
故选：BD.
15．【江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期中】已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝BC＝1，AC＝，侧棱AA1＝2，则该三棱柱外接球的体积为_______．
【答案】
【分析】
在中利用余弦定理求出，再求出，再由正弦定理求出的外接圆的半径，最后由勾股定理求出外接球的半径，即可求出外接球的体积；
【详解】
解：由题意可知，在△ABC中，因为AB＝BC＝1，AC＝，
由余弦定理可得，则，
由正弦定理可得，所以△ABC的外接圆半径为r=1，
可设直三棱柱外接球的半径为R，则，化简得，
解得，所以直三棱柱外接球的体积为，
故答案为：.
【点睛】
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
16．【江西省南昌市第十中学2021届高三上学期期中考试】如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，，且平面，则四棱锥外接球的体积为______.
【答案】
【分析】
取AB中点，连接，根据平行四边形性质，可得为等腰梯形ABCD的外心，取SB中点O，连接，则可得O是四棱锥的外接球球心，在中，求得r=OA，即可求得体积.
【详解】
取AB中点，连接，则，
所以四边形为平行四边形，
所以，同理，
所以，即为等腰梯形ABCD的外心，
取SB中点O，连接，则，
因为平面，
所以平面ABCD，又,
所以，又，
所以，即O是四棱锥的外接球球心，
在中，，
所以，
所以，
故答案为：.
17．【福建省莆田第一中学2021届高三上学期期中考试】在长方体中，，，点为正方形对角线的交点，则三棱锥的外接球表面积为______．
【答案】
【分析】
由正方体中是等腰直角三角形，设是中点，则是的外心，取是中点，则三棱锥的外接球的球心在直线上，计算出和后得在的延长线上，求得球半径后可得表面积．
【详解】
由已知点为正方形对角线的交点，则是等腰直角三角形，是直角顶点，设是中点，则是的外心，
取是中点，如图，则，而平面，∴平面，
∴三棱锥的外接球的球心在直线上，
由已知可计算，，
∴在的延长线上，设，
则由得，解得，∴，
外接球表面积是．
故答案为：．
18．在一个棱长为的正方体内部有一个大球和小球，大球与正方体的六个面都相切，小球可以在正方体和大球之间的空隙自由滑动，则小球的表面积最大值是___________.
【来源】2021届高三数学临考冲刺原创卷（一）
【答案】
【分析】
如图所示，为组合体的中截面，易知当小球的表面积最大时大球半径和小球半径满足，计算即可.
【详解】
如图所示，为组合体的中截面，
易知当小球的表面积最大时大球半径和小球半径满足，，解得，故小球表面积的最大值为.
故答案为：
19．阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为________．
【来源】福建省厦门第一中学2021届高三高考模拟考试数学试题
【答案】
【分析】
设，利用和内切球半径可表示出圆锥底面半径和母线，由圆锥和球的表面积公式可得，令，根据二次函数性质可求得最值.
【详解】
设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内切球半径为，
作出圆锥的轴截面如下图所示：
设，，，
，，，又，
，，
，
则圆锥表面积，圆锥内切球表面积，
所求比值为，
令，则，
当时，取得最大值.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查立体几何中的最值问题的求解，解题关键是能够将圆锥表面积和球的表面积的比值利用一个变量表示出来，将问题转化为函数最值的求解问题，从而利用函数的性质来进行求解.
20．在一次综合实践活动中，某手工制作小组利用硬纸板做了一个如图所示的几何模型，底面为边长是4的正方形，半圆面底面．经研究发现，当点在半圆弧上（不含，点）运动时，三棱锥的外接球始终保持不变，则该外接球的表面积为______．
【来源】山东省烟台市2021届高三二模数学试题
【答案】
【分析】
由题设易知中点为三棱锥的外接球的球心，进而求外接球半径，由球体表面积公式求表面积即可.
【详解】
若为中点，半圆面底面，面为边长是4的正方形，
∴为三棱锥的外接球的球心，故外接球半径，
∴该外接球的表面积为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：由面面垂直及三棱锥各侧面外接圆圆心与球心的关系，确定球心的位置，进而求球体的半径，再求表面积.
21．一个封闭的正方体容器内盛有一半的水，以正方体的一个顶点为支撑点，将该正方体在水平桌面上任意旋转，当容器内的水面与桌面间距离最大时，水面截正方体各面所形成的图形周长为，则此正方体外接球的表面积为___________.
【来源】湘豫联考2021届高三5月联考文数试题
【答案】
【分析】
若水面与桌面距离最大，则正方体一条体对角线垂直于水平面，可知最大高度为，由垂直关系可知水面截正方体各面形成的截面为正六边形，边长为，由周长可构造方程求得正方体棱长，由此可得正方体外接球半径，由球的表面积公式计算求得结果.
【详解】
设正方体的棱长为，则正方体的体对角线长为，
当正方体旋转到一条体对角线垂直于水平面时，容器内水的高度最大，
又因为水的体积是正方体体积的一半，所以容器里水面的最大高度为体对角线的一半，即最大高度为.
设外接球的球心为，则球心为体对角线的中点，设正方体为，为的中点，取，的中点，，，的中点，，
可证得，，进而可知平面，
同理可知：水面截正方体各面形成的图形为正六边形，边长为，周长为，
，解得：，
正方体外接球的半径，正方体外接球的表面积为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查正方体外接球表面积的求解问题，解题关键是能够根据水面与体对角线垂直的关系，确定水面与正方体各面所形成的的截面图形.
22．以三棱柱上底所在平面某一点为对称中心，将上底图形旋转180°后，再将上､下底顶点连接形成空间几何体称为“扭反三棱柱”.如图所示的“扭反三棱柱”上､下底为全等的等腰三角形，且顶点A，B，C，A1，B1，C1均在球O的球面上，AB=AC=A1B1=A1C1=m，截面BCB1C1是矩形，BC=2，B1C=4.则该几何体的外接球表面积为__________，当该几何体体积最大时m=__________.
【来源】重庆市第八中学2021届高三下学期适应性月考卷（七）数学试题
【答案】20π
【分析】
利用A，C，A1，C1四点共圆，则四边形ACA1C1为矩形，从而确定外接球的球心O的位置，然后求解半径，由球的表面积公式求解即可；点A在球O的球面上运动，则AO⊥平面BCB1C1时，四棱锥的高h最大，此时四棱锥的体积最大，求解即可.
【详解】
由题意可知，四边形ACA1C1为平行四边形，
又该几何体由外接球，所以A，C，A1，C1四点共圆，
故四边形ACA1C1为矩形，则AA1，BB1均与CC1交于一点，
则该点即为该几何体外接球的球心O，
故外接球的半径R，
所以外接球的表面积为S=4πR2=20π；
该几何体的体积为四棱锥A﹣BCB1C1体积的2倍，
又矩形BCB1C1的面积S=8，
又外接球球心O在矩形BCB1C1内，点A在球O的球面上运动，
则AO⊥平面BCB1C1时，四棱锥的高h最大，此时四棱锥的体积最大，
如图所示，
此时OA=R，OE=2，
则AE=3，又AE，
所以m.
故答案为：20π；.
23．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家，享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家.公元前212年，古罗马军队入侵叙拉古，阿基米德被罗马士兵杀死，终年七十五岁.阿基米德的遗体葬在西西里岛，墓碑上刻着一个圆柱内切球（一个球与圆柱上下底面相切且与侧面相切）的图形，以纪念他在几何学上的卓越贡献，这个图形中的内切球的体积与圆柱体积之比为________，内切球的表面积与圆柱的表面积之比为_______.
【来源】湖南省衡阳市第八中学2021届高三下学期考前预测（二）数学试题
【答案】
【分析】
设出球半径，根据圆柱和球的体积公式和表面积公式求解可得.
【详解】
设内切球的半径为，根据圆柱内切球和圆柱的关系，
可得，.
故答案为：；.
24．将三个边长为6的正方形分别沿相邻两边中点裁剪而成(1､2)部分，与正六边形组合后图形如图所示，将此图形折成封闭的空间几何体，则这个几何体的体积是___________，外接球表面积为___________.
【来源】全国新高考2021届高三数学方向卷试题（B）
【答案】108
【分析】
（1）设P在底面的射影为O，过O作OH⊥EF过点H，易得DE=DC=，，由折叠得到，进而求得PO，PQ,再由PQ，PR，PS两两垂直，分别求得，，然后由求解.
（2）易得多面体球心在OP上，设球半径为R，然后由，即，求得半径即可.
【详解】
（1）如图所示：
设P在底面的射影为O，过O作OH⊥EF过点H，DE=DC=，
，斜线，
∴高，
.
，
易知PQ，PR，PS两两垂直，且PQ=PR=PS=9，
且，
∴所求多面体体积.
（2）设AF，BC，DE中点分別为U，V，W
易知U，V，W分别为AKF，BCM，DEN的外心
∴多面体球心在OP上，设球半径为R，
，
，
，
，
，
25．天津滨海文化中心地天津滨海新区开发区，是天津乃至京津冀地区的标志性文化工程.其中滨海图书馆建筑独具特色，被称为“滨海之眼”，如图所示，中心球状建筑引起了小明的注意，为了测量球的半径，小明设计了两个方案，方案甲，构造正三棱柱侧面均与球相切如图所示，底面边长约为30米，估计此时球的完整表面积为 ________平方米；方案乙，测量球被地面截得的圆的周长约为米，地面到球顶部高度约为16米，估计此时球的完整体积为__________立方米，你认为哪种方案好呢？

【来源】天津市河东区2021届高三下学期一模数学试题
【答案】
【分析】
分别对两种方案分析，根据截面求出球的半径，即可求解.
【详解】
方案甲: 过球心作与正三棱柱底面平行的截面，如图,
则, ,
所以,
即,
所以
方案乙，由周长可得截面圆半径 ，
过球心作重直于地面的截面，如图，

由直角三角形可得,
代入可解得：，
，
方案乙好. 由于球太大,方案甲不太好实施.
故答案为：；
【点睛】
关键点点睛：根据实际问题抽象出数学问题，在研究球的问题中，作出适当的截面圆，利用球的截面性质，是解决问题的关键所在，属于中档题.
26．年底，中国科学家成功构建了个光子的量子计算机“九章”，推动全球量子计算的前沿研究达到一个新高度.该量子计算机取名“九章”，是为了纪念中国古代著名的数学专著《九章算术》.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，则在过点且与平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积等于___________，该“堑堵”的外接球的表面积为___________.
【来源】全国100所名校2021年高考冲刺试卷（样卷一）文科数学试题
【答案】
【分析】
取、、分别为、、的中点，分析出四边形为等腰梯形，求其面积可得结果；然后将三棱柱补成正方体，计算出三棱柱的外接球半径，结合球体表面积公式可得结果.
【详解】
如图，取、、分别为、、的中点，
、分别为、的中点，则且，
在直三棱柱中，且，
因为、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，且，
且、分别为、的中点，则，
所以，四边形是等腰梯形，
当不是中点时，不平行平面，则四边形不是等腰梯形，等腰梯形有且仅有一个，
取的中点，连接、，
，，且点为的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，可得，同理可得，
所以，、、均为等边三角形，
.
将三棱柱补成正方体，则外接球的半径，表面积为.

故答案为：；.
【点睛】
方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.

万能模板
内 容
使用场景
有关球的内切问题
解题模板
第一步 首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；
第二步 然后寻找几何体与几何体之间元素的关系
第三步 得出结论.
万能模板
内 容
使用场景
有关球的外接问题
解题模板
第一步 首先画出球及它的外切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；
第二步 然后寻找几何体与几何体之间元素的关系
第三步 得出结论.