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最新高考数学解题方法模板50讲 专题37 两直线位置关系
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模
板
50
讲
专题37 两直线位置关系
【高考地位】
两直线位置关系，是高考的必考内容之一. 其要求的难度不高，一般从下面三个方面命题：一是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，但大都是客观题出现.
类型一 两条直线的平行与垂直问题
例1. 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【来源】广东省揭阳市2021届高考数学模拟考精选题试题（一）
【答案】A
【分析】
根据直线的垂直关系可求得直线的斜率为，所以，即可求得.
【详解】
由垂直知两直线的斜率之积为，而直线的斜率为，
得直线的斜率为，即，得为钝角，
所以.
故选：A
例2 若直线与平行，则的值为（ ）
A．1 B．-3 C．0或 D．1或-3
【答案】A
【解析】
试题分析：由题设可得,解之得或.当 时两直线重合,故应舍去,故应选A.
考点：两直线平行的条件及运用.
【点评】在两直线的斜率存在的情况下，两直线平行其斜率相等.
【变式演练1】【云南省保山市2019-2020学年高三教学质量监测】已知直线：和直线：平行，则实数的值为（ ）
A．-2B．-1
C．1D．2
【答案】D
【分析】
由平行得即可求解.
【详解】
由两直线平行可得，解得.
故选：D.
【变式演练2】【四川省双流中学2021届高三月考】已知直线：，直线：，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
分析：根据直线的垂直，即可求出tanα=3，再根据二倍角公式即可求出．
详解：因为l1⊥l2，所以sinα﹣3csα=0，
所以tanα=3，
所以sin2α=2sinαcsα=
故选D．
【变式演练3】已知点A(m－1,2)，B(1,1)，C(3，m2－m－1)．
(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值；
(2)若AB⊥BC，求实数m的值．
【答案】(1) m＝1或1－或1＋.(2) m的值为2或－3.
【解析】试题分析：（1）由三点共线得斜率相等，列方程求解即可；
（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在时两种情况，存在时斜率乘积为-1即可.
试题解析：
(1)因为A，B，C三点共线，且xB≠xC，则该直线斜率存在，
则kBC＝kAB，即,解得m＝1或1－或1＋.
(2)由已知，得kBC＝，且xA－xB＝m－2.
①当m－2＝0，即m＝2时，直线AB的斜率不存在，此时kBC＝0，于是AB⊥BC；
②当m－2≠0，即m≠2时，kAB＝，
由kAB·kBC＝－1，得＝－1，
解得m＝－3.
综上，可得实数m的值为2或－3.
类型二 关于两条直线的交点问题
例3.在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（ ）
A．B．C．2D．4
【来源】湖北省武汉市部分学校2021-2022学年高三上学期9月起点质量检测数学试题
【答案】B
【分析】
分别求出菱形的四个顶点，然后根据菱形的对角线互相垂直得到方程即可求出求出结果.
【详解】
设直线与直线的交点为，则，解得，故，
同理设直线与直线的交点为，则，
设直线与直线的交点为，则，
设直线与直线的交点为，则，
由菱形的性质可知,且的斜率均存在，所以，
则，即，解得
故选：B.
【变式演练4】设点,若直线与线段没有交点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：直线过定点，，若直线直线与线段有交点，根据图象可知或，若直线与线段没有交点，则，即，解得：，选B．
考点：直线间的位置关系．
【变式演练5】【2020届上海市上海大学附属中学高三下学期三模】已知直线和直线以及、两点，当直线与线段相交，且与直线平行时，实数的值为________
【答案】
【分析】
根据直线平行求得，再由直线与线段相交求出直线斜率的取值范围，从而可得结果．
【详解】
因为直线和直线平行，
所以，
又由直线可得直线过点，
，
因为当直线与线段相交，
所以，，
综上可得，
故答案为：
【变式演练6】【天津市第四中学2020-2021学年高三上学期学情调查】直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的方程为_________.
【答案】
【分析】
先设一个交点，再表示另一个交点，接着联立方程求出交点坐标，最后求直线方程.
【详解】
设直线l与的交点为，直线l与的交点为B.由已知条件，得直线l与的交点为.
联立
即解得即.
所以直线l的方程为，即.
故答案为：
类型三 对称问题
例4．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．
【答案】直线的方程为x＋4y－4＝0.
考点：点关于点的对称；两直线相交问题．
【点评】点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
例5．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，求点A关于直线l的对称点A′的坐标．
【答案】.
考点：点关于直线的对称；两直线相交问题．
【点评】直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
例6．在平面直角坐标系中，点，直线.设点关于直线的对称点为，则的取值范围是_________．
【来源】云南省峨山彝族自治县第一中学2021届高三三模数学（文）试题
【答案】
【分析】
根据两点关于直线对称求得点的坐标，对分类讨论，利用平面向量数量积的坐标运算结合基本不等式可求得的取值范围.
【详解】
根据题意，设的坐标为.
（1）当时，则直线的方程为，此时点，则；
（2）当时，因为、两点关于直线对称，则线段的中点在直线上，所以，，①
直线，则，②，
联立①②解得，，即点，
所以，，，.
（i）当时，，当且仅当时，等号成立，
又，此时；
（ii）当时，，当且仅当时，等号成立，
又，此时.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查向量数量积的计算，涉及关于直线对称的点的坐标，关键是求出点的坐标，属于中等题．
【变式演练7】设入射光线沿直线 y=2x+1 射向直线 y=x， 则被y=x 反射后，反射光线所在的直线方程是（ ）
A．x+2y+3=0 B．x-2y+1=0 C．3x-2y+1=0 D．x-2y-1=0
【答案】D
【解析】
试题分析：入射光线和反射光线关于直线y=x对称，所以设入射光线上的任意两个点（0，1），（1，3）其关于直线y=x对称的两个点的坐标分别为（1，0），（3，1）且这两个点在反射光线上，由两点式可求出反射光线所在的直线方程为 x-2y-1=0．
考点：直线的对称性；求直线方程．
【方法点睛】从光学知识知道，入射光线与反射光线是关于镜面（即直线y=x）对称，因此本题的实质是求直线y=2x+1 关于直线y=x对称的直线方程．方法有二：一、在直线y=2x+1 上任意设两个点并求其关于直线y=x对称的点的坐标，然后利用两点式即可求出所求直线的方程．二、设所求直线上任意一点坐标（x，y），求其关于直线y=x对称的点的坐标（y，x），然后代入已知直线（入射光线的直线方程）求解即可．该法的本质是相关点法求直线方程．
【变式演练8】已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线．
（1）求直线的方程；
（2）求直线关于原点对称的直线方程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）属于点斜式求直线的方程，先求交点即直线经过的点，再根据与直线垂直求得直线的斜率，然后根据点斜式写出直线的方程，并化成一般方程；（2）找出直线上的两点，然后分别求出这两点关于原点的对称点，这两对称点所在的直线方程即为所求．
试题解析：（1）由解得 3分
由于点的坐标是
又因为直线即的斜率为 4分
由直线与垂直可得 5分
故直线的方程为：即 6分
（2）又直线的方程在轴、轴上的截距分别是与， 8分
则直线关于原点对称的直线在轴、轴上的截距分别是1与2， 10分
所求直线方程为即 12分．
考点：1．直线的方程；2．直线关于点的对称问题．
【高考再现】
1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数8】点到直线距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路导引】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果．
【解析】由可知直线过定点，设，
当直线与垂直时，点到直线距离最大，即为．
故选：B．
【专家解读】本题考查了点到直线距离公式，考查数学运算学科素养．解题关键是熟记公式．
2. 【2016高考上海文科】已知平行直线，则的距离_______________.
【答案】
【解析】试题分析：
利用两平行线间距离公式得
考点：两平行线间距离公式.
【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.
3.【2015高考四川，文10】设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )
(A)(1，3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4)
【答案】D
【解析】不妨设直线l：x＝ty＋m，代入抛物线方程有：y2－4ty－4m＝0,则△＝16t2＋16m＞0
又中点M(2t2＋m，2t)，则kMCkl＝－1,即m＝3－2t2,当t＝0时，若r≥5，满足条件的直线只有1条，不合题意，若0＜r＜5，则斜率不存在的直线有2条，此时只需对应非零的t的直线恰有2条即可. 当t≠0时，将m＝3－2t2代入△＝16t2＋16m，可得3－t2＞0，即0＜t2＜3,又由圆心到直线的距离等于半径，
可得d＝r＝,由0＜t2＜3，可得r∈(2，4).选D
【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参数取值范围等综合问题，考查数形结合和分类与整合的思想，考查学生分析问题和处理问题的能力.
【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题，注意到弦的斜率不可能为0，但有可能不存在，故将直线方程设为x＝ty＋m，可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论.在对r的讨论中，要注意图形的对称性，斜率存在时，直线必定是成对出现，因此，斜率不存在(t＝0)时也必须要有两条直线满足条件.再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的r取值范围即可.属于难题.
4.【2015高考重庆，文12】若点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________.
【答案】
【考点定位】圆的切线.
【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解.
本题属于基础题，注意运算的准确性.
【反馈练习】
1．【广西南宁市普通高中2021届高三10月摸底测试】点到直线的距离的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】
首先求出直线过定点，则时距离最大，再利用两点间的距离公式计算可得；
【详解】
解：直线过定点，当时，距离最大，最大为，
故选：D.
2．已知两点、，在曲线上存在点满足的曲线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【来源】广东省佛山市石门中学2021届高三高考模拟数学试题
【答案】C
【分析】
本题首先可根据得出点在线段的中垂线上，然后求出线段的中垂线方程为，最后依次判断四个选项对应的曲线是否与有交点即可得出结果.
【详解】
因为点满足，所以点在线段的中垂线上，
线段中点坐标为，，中垂线的斜率，
故线段的中垂线方程为，即，
因为曲线上存在点满足，所以曲线与有交点，
A项：与平行，A错误；
B项：，圆心为，半径为，
圆心到的距离，
故圆与相离，B错误；
C项：联立，整理得，
，有解，C正确；
D项：联立，整理得，
，无解，D错误，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查点的轨迹方程，能否根据得出点在线段的中垂线上是解决本题的关键，考查直线与直线、直线与圆的位置关系，考查判别式的应用，考查计算能力，体现了综合性，是中档题.
3．设，则“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
先判断当成立是否能推出两条直线平行；再判断当两条直线平行时，一定有成立，利用充要条件的定义得到结论．
【详解】
解：当时，两条直线的方程分别是和，此时两条直线平行成立
反之，当两条直线平行时，有但即或，
时，两条直线都为，重合，舍去
所以“”是“直线和直线平行”的充要条件．
故选：．
4．若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（ ）
A．B．或C．D．或
【来源】备战2021年高考数学（文）全真模拟卷（新课标Ⅱ卷）
【答案】C
【分析】
根据平行关系得出或，再由距离公式得出满足条件.
【详解】
∵，∴，解得或
当时，当时
故选：C
5．若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由两直线垂直求出，再利用基本不等式求出的最大值．
【详解】
解：由直线与直线互相垂直
所以
即
又a、b为正实数，所以
即，当且仅当a，b时取“＝”；
所以的最大值为．
故选：B
6．经过两直线和的交点，且和原点相距为1的直线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】
试题分析：易求直线和的交点坐标为，问题转化为求过点且和原点距离为的直线，当斜率不存在时，直线方程为，符合题意，当斜率存在时，设方程为，则有，解得，所以符合条件的直线有条，故选C.
7．已知点，则当点到直线的距离最大时，（ ）
A．B．
C．D．
【来源】西藏拉萨市2021届高三二模数学（文）试题
【答案】B
【分析】
确定直线过定点，当与直线垂直时﹐点到直线的距离达到最大值，由此可得参数值．
【详解】
因为直线恒过定点，
则当与直线垂直时﹐点到直线的距离达到最大值，
此时过的直线的斜率为
所以直线的斜率为，即，所以.
故选：B．
8．【贵州省贵阳市第一中学2020届高三高考适应性月考】已知，则“直线与平行”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要
【答案】A
【分析】
根据直线的平行，斜率相等，截距不等即可解决.
【详解】
若直线与平行，
则，即，当，时，
两直线方程为，，此时两直线重合，
故“直线与平行”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
9．已知，则“”是“直线和直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据直线垂直的等价条件，求出的取值，根据包含关系即可得到结论
【详解】
直线和直线垂直，
则，解得或，
所以“”是“直线和直线垂直”的充分不必要条件，
故选：A，
10．【天津市第四中学2020-2021学年高三上学期学情调查】若直线与平行，则的值为（ ）
A．B．C．或D．或1
【答案】B
【分析】
根据直线平行与系数之间的关系，列出等式，求解即可.
【详解】
因为直线与平行
故可得，且，
解得.
故选：.
11．已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）
A．（0，1）B．C．D．
【答案】B
【分析】
先求得直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b；②若点M在点O和点A之间，求得b； ③若点M在点A的左侧，求得b＞1．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．
【详解】
由题意可得，三角形ABC的面积为 1，
由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），
由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，
故0，故点M在射线OA上．
设直线y＝ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．
①若点M和点A重合，如图：
则点N为线段BC的中点，故N（，），
把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b．
②若点M在点O和点A之间，如图：
此时b，点N在点B和点C之间，
由题意可得三角形NMB的面积等于，
即，即 ，可得a0，求得 b，
故有b．
③若点M在点A的左侧，
则b，由点M的横坐标1，求得b＞a．
设直线y＝ax+b和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为（，），
此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 •（1﹣b）•|xN﹣xP|，
即（1﹣b）•||，化简可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．
由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．
两边开方可得 （1﹣b）1，∴1﹣b，化简可得 b＞1，
故有1b．
综上可得b的取值范围应是 ，
故选B．
【点睛】
本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查了运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．
12．过点的直线与轴正半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．
【来源】安徽省蚌埠市2021-2022学年高三上学期第一次教学质量检查理科数学试题
【答案】B
【分析】
由直线方程得到化简得，再利用基本不等式求解.
【详解】
由题得直线的方程为
因为直线过点，所以
由题得.
（当且仅当时等号成立）
所以的最小值为.
故选：B
13．若在直线上有一点P，它到点和的距离之和最小，则该最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
求出关于直线对称的点为，则，从而得出答案.
【详解】
点关于直线对称的点为,如图
则,所以
当且仅当三点共线时取得等号.
故选：C
14．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【来源】浙江省丽水市外国语实验学校2020-2021学年高三上学期期末数学试题
【答案】A
【分析】
连接,得出点在平面中，问题转化为在平面内直线上取一点，求点到定点的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，问题转化为点关于直线到直线的距离，从而可得结果.
【详解】
图1
连接,则，点在平面中，
且，如图1所示，
在中，以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，
如图2所示，
图2
,
设点关于直线的对称点为，
的方程为，①
，
直线的方程为 ，②
由①②组成方程组，解得，
直线与的交点，
对称点，
，
最小值为到直线的距离为，故选A.
【点睛】
求最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
万能模板
内 容
使用场景
关于两直线的平行于垂直的问题
解题模板
第一步 直接运用两直线平行与垂直的性质对其进行求解；
第二步 得出结论.
万能模板
内 容
使用场景
两直线相交问题
解题模板
第一步 联立两直线的方程并求解；
第二步 其方程组的解即为两直线的交点的坐标；
第三步 得出结论.
万能模板
内 容
使用场景
点与点、点与直线、直线与直线的对称问题
解题模板
第一步 确定具体问题是哪类对称问题如点与点、点与直线、直线与直线的对称；
第二步 运用各自相应的对称模型进行求解；
第三步 得出结论.
模
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50
讲
专题37 两直线位置关系
【高考地位】
两直线位置关系，是高考的必考内容之一. 其要求的难度不高，一般从下面三个方面命题：一是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，但大都是客观题出现.
类型一 两条直线的平行与垂直问题
例1. 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【来源】广东省揭阳市2021届高考数学模拟考精选题试题（一）
【答案】A
【分析】
根据直线的垂直关系可求得直线的斜率为，所以，即可求得.
【详解】
由垂直知两直线的斜率之积为，而直线的斜率为，
得直线的斜率为，即，得为钝角，
所以.
故选：A
例2 若直线与平行，则的值为（ ）
A．1 B．-3 C．0或 D．1或-3
【答案】A
【解析】
试题分析：由题设可得,解之得或.当 时两直线重合,故应舍去,故应选A.
考点：两直线平行的条件及运用.
【点评】在两直线的斜率存在的情况下，两直线平行其斜率相等.
【变式演练1】【云南省保山市2019-2020学年高三教学质量监测】已知直线：和直线：平行，则实数的值为（ ）
A．-2B．-1
C．1D．2
【答案】D
【分析】
由平行得即可求解.
【详解】
由两直线平行可得，解得.
故选：D.
【变式演练2】【四川省双流中学2021届高三月考】已知直线：，直线：，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
分析：根据直线的垂直，即可求出tanα=3，再根据二倍角公式即可求出．
详解：因为l1⊥l2，所以sinα﹣3csα=0，
所以tanα=3，
所以sin2α=2sinαcsα=
故选D．
【变式演练3】已知点A(m－1,2)，B(1,1)，C(3，m2－m－1)．
(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值；
(2)若AB⊥BC，求实数m的值．
【答案】(1) m＝1或1－或1＋.(2) m的值为2或－3.
【解析】试题分析：（1）由三点共线得斜率相等，列方程求解即可；
（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在时两种情况，存在时斜率乘积为-1即可.
试题解析：
(1)因为A，B，C三点共线，且xB≠xC，则该直线斜率存在，
则kBC＝kAB，即,解得m＝1或1－或1＋.
(2)由已知，得kBC＝，且xA－xB＝m－2.
①当m－2＝0，即m＝2时，直线AB的斜率不存在，此时kBC＝0，于是AB⊥BC；
②当m－2≠0，即m≠2时，kAB＝，
由kAB·kBC＝－1，得＝－1，
解得m＝－3.
综上，可得实数m的值为2或－3.
类型二 关于两条直线的交点问题
例3.在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（ ）
A．B．C．2D．4
【来源】湖北省武汉市部分学校2021-2022学年高三上学期9月起点质量检测数学试题
【答案】B
【分析】
分别求出菱形的四个顶点，然后根据菱形的对角线互相垂直得到方程即可求出求出结果.
【详解】
设直线与直线的交点为，则，解得，故，
同理设直线与直线的交点为，则，
设直线与直线的交点为，则，
设直线与直线的交点为，则，
由菱形的性质可知,且的斜率均存在，所以，
则，即，解得
故选：B.
【变式演练4】设点,若直线与线段没有交点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：直线过定点，，若直线直线与线段有交点，根据图象可知或，若直线与线段没有交点，则，即，解得：，选B．
考点：直线间的位置关系．
【变式演练5】【2020届上海市上海大学附属中学高三下学期三模】已知直线和直线以及、两点，当直线与线段相交，且与直线平行时，实数的值为________
【答案】
【分析】
根据直线平行求得，再由直线与线段相交求出直线斜率的取值范围，从而可得结果．
【详解】
因为直线和直线平行，
所以，
又由直线可得直线过点，
，
因为当直线与线段相交，
所以，，
综上可得，
故答案为：
【变式演练6】【天津市第四中学2020-2021学年高三上学期学情调查】直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的方程为_________.
【答案】
【分析】
先设一个交点，再表示另一个交点，接着联立方程求出交点坐标，最后求直线方程.
【详解】
设直线l与的交点为，直线l与的交点为B.由已知条件，得直线l与的交点为.
联立
即解得即.
所以直线l的方程为，即.
故答案为：
类型三 对称问题
例4．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．
【答案】直线的方程为x＋4y－4＝0.
考点：点关于点的对称；两直线相交问题．
【点评】点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
例5．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，求点A关于直线l的对称点A′的坐标．
【答案】.
考点：点关于直线的对称；两直线相交问题．
【点评】直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
例6．在平面直角坐标系中，点，直线.设点关于直线的对称点为，则的取值范围是_________．
【来源】云南省峨山彝族自治县第一中学2021届高三三模数学（文）试题
【答案】
【分析】
根据两点关于直线对称求得点的坐标，对分类讨论，利用平面向量数量积的坐标运算结合基本不等式可求得的取值范围.
【详解】
根据题意，设的坐标为.
（1）当时，则直线的方程为，此时点，则；
（2）当时，因为、两点关于直线对称，则线段的中点在直线上，所以，，①
直线，则，②，
联立①②解得，，即点，
所以，，，.
（i）当时，，当且仅当时，等号成立，
又，此时；
（ii）当时，，当且仅当时，等号成立，
又，此时.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查向量数量积的计算，涉及关于直线对称的点的坐标，关键是求出点的坐标，属于中等题．
【变式演练7】设入射光线沿直线 y=2x+1 射向直线 y=x， 则被y=x 反射后，反射光线所在的直线方程是（ ）
A．x+2y+3=0 B．x-2y+1=0 C．3x-2y+1=0 D．x-2y-1=0
【答案】D
【解析】
试题分析：入射光线和反射光线关于直线y=x对称，所以设入射光线上的任意两个点（0，1），（1，3）其关于直线y=x对称的两个点的坐标分别为（1，0），（3，1）且这两个点在反射光线上，由两点式可求出反射光线所在的直线方程为 x-2y-1=0．
考点：直线的对称性；求直线方程．
【方法点睛】从光学知识知道，入射光线与反射光线是关于镜面（即直线y=x）对称，因此本题的实质是求直线y=2x+1 关于直线y=x对称的直线方程．方法有二：一、在直线y=2x+1 上任意设两个点并求其关于直线y=x对称的点的坐标，然后利用两点式即可求出所求直线的方程．二、设所求直线上任意一点坐标（x，y），求其关于直线y=x对称的点的坐标（y，x），然后代入已知直线（入射光线的直线方程）求解即可．该法的本质是相关点法求直线方程．
【变式演练8】已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线．
（1）求直线的方程；
（2）求直线关于原点对称的直线方程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）属于点斜式求直线的方程，先求交点即直线经过的点，再根据与直线垂直求得直线的斜率，然后根据点斜式写出直线的方程，并化成一般方程；（2）找出直线上的两点，然后分别求出这两点关于原点的对称点，这两对称点所在的直线方程即为所求．
试题解析：（1）由解得 3分
由于点的坐标是
又因为直线即的斜率为 4分
由直线与垂直可得 5分
故直线的方程为：即 6分
（2）又直线的方程在轴、轴上的截距分别是与， 8分
则直线关于原点对称的直线在轴、轴上的截距分别是1与2， 10分
所求直线方程为即 12分．
考点：1．直线的方程；2．直线关于点的对称问题．
【高考再现】
1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数8】点到直线距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路导引】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果．
【解析】由可知直线过定点，设，
当直线与垂直时，点到直线距离最大，即为．
故选：B．
【专家解读】本题考查了点到直线距离公式，考查数学运算学科素养．解题关键是熟记公式．
2. 【2016高考上海文科】已知平行直线，则的距离_______________.
【答案】
【解析】试题分析：
利用两平行线间距离公式得
考点：两平行线间距离公式.
【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.
3.【2015高考四川，文10】设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )
(A)(1，3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4)
【答案】D
【解析】不妨设直线l：x＝ty＋m，代入抛物线方程有：y2－4ty－4m＝0,则△＝16t2＋16m＞0
又中点M(2t2＋m，2t)，则kMCkl＝－1,即m＝3－2t2,当t＝0时，若r≥5，满足条件的直线只有1条，不合题意，若0＜r＜5，则斜率不存在的直线有2条，此时只需对应非零的t的直线恰有2条即可. 当t≠0时，将m＝3－2t2代入△＝16t2＋16m，可得3－t2＞0，即0＜t2＜3,又由圆心到直线的距离等于半径，
可得d＝r＝,由0＜t2＜3，可得r∈(2，4).选D
【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参数取值范围等综合问题，考查数形结合和分类与整合的思想，考查学生分析问题和处理问题的能力.
【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题，注意到弦的斜率不可能为0，但有可能不存在，故将直线方程设为x＝ty＋m，可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论.在对r的讨论中，要注意图形的对称性，斜率存在时，直线必定是成对出现，因此，斜率不存在(t＝0)时也必须要有两条直线满足条件.再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的r取值范围即可.属于难题.
4.【2015高考重庆，文12】若点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________.
【答案】
【考点定位】圆的切线.
【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解.
本题属于基础题，注意运算的准确性.
【反馈练习】
1．【广西南宁市普通高中2021届高三10月摸底测试】点到直线的距离的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】
首先求出直线过定点，则时距离最大，再利用两点间的距离公式计算可得；
【详解】
解：直线过定点，当时，距离最大，最大为，
故选：D.
2．已知两点、，在曲线上存在点满足的曲线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【来源】广东省佛山市石门中学2021届高三高考模拟数学试题
【答案】C
【分析】
本题首先可根据得出点在线段的中垂线上，然后求出线段的中垂线方程为，最后依次判断四个选项对应的曲线是否与有交点即可得出结果.
【详解】
因为点满足，所以点在线段的中垂线上，
线段中点坐标为，，中垂线的斜率，
故线段的中垂线方程为，即，
因为曲线上存在点满足，所以曲线与有交点，
A项：与平行，A错误；
B项：，圆心为，半径为，
圆心到的距离，
故圆与相离，B错误；
C项：联立，整理得，
，有解，C正确；
D项：联立，整理得，
，无解，D错误，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查点的轨迹方程，能否根据得出点在线段的中垂线上是解决本题的关键，考查直线与直线、直线与圆的位置关系，考查判别式的应用，考查计算能力，体现了综合性，是中档题.
3．设，则“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
先判断当成立是否能推出两条直线平行；再判断当两条直线平行时，一定有成立，利用充要条件的定义得到结论．
【详解】
解：当时，两条直线的方程分别是和，此时两条直线平行成立
反之，当两条直线平行时，有但即或，
时，两条直线都为，重合，舍去
所以“”是“直线和直线平行”的充要条件．
故选：．
4．若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（ ）
A．B．或C．D．或
【来源】备战2021年高考数学（文）全真模拟卷（新课标Ⅱ卷）
【答案】C
【分析】
根据平行关系得出或，再由距离公式得出满足条件.
【详解】
∵，∴，解得或
当时，当时
故选：C
5．若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由两直线垂直求出，再利用基本不等式求出的最大值．
【详解】
解：由直线与直线互相垂直
所以
即
又a、b为正实数，所以
即，当且仅当a，b时取“＝”；
所以的最大值为．
故选：B
6．经过两直线和的交点，且和原点相距为1的直线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】
试题分析：易求直线和的交点坐标为，问题转化为求过点且和原点距离为的直线，当斜率不存在时，直线方程为，符合题意，当斜率存在时，设方程为，则有，解得，所以符合条件的直线有条，故选C.
7．已知点，则当点到直线的距离最大时，（ ）
A．B．
C．D．
【来源】西藏拉萨市2021届高三二模数学（文）试题
【答案】B
【分析】
确定直线过定点，当与直线垂直时﹐点到直线的距离达到最大值，由此可得参数值．
【详解】
因为直线恒过定点，
则当与直线垂直时﹐点到直线的距离达到最大值，
此时过的直线的斜率为
所以直线的斜率为，即，所以.
故选：B．
8．【贵州省贵阳市第一中学2020届高三高考适应性月考】已知，则“直线与平行”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要
【答案】A
【分析】
根据直线的平行，斜率相等，截距不等即可解决.
【详解】
若直线与平行，
则，即，当，时，
两直线方程为，，此时两直线重合，
故“直线与平行”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
9．已知，则“”是“直线和直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据直线垂直的等价条件，求出的取值，根据包含关系即可得到结论
【详解】
直线和直线垂直，
则，解得或，
所以“”是“直线和直线垂直”的充分不必要条件，
故选：A，
10．【天津市第四中学2020-2021学年高三上学期学情调查】若直线与平行，则的值为（ ）
A．B．C．或D．或1
【答案】B
【分析】
根据直线平行与系数之间的关系，列出等式，求解即可.
【详解】
因为直线与平行
故可得，且，
解得.
故选：.
11．已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）
A．（0，1）B．C．D．
【答案】B
【分析】
先求得直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b；②若点M在点O和点A之间，求得b； ③若点M在点A的左侧，求得b＞1．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．
【详解】
由题意可得，三角形ABC的面积为 1，
由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），
由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，
故0，故点M在射线OA上．
设直线y＝ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．
①若点M和点A重合，如图：
则点N为线段BC的中点，故N（，），
把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b．
②若点M在点O和点A之间，如图：
此时b，点N在点B和点C之间，
由题意可得三角形NMB的面积等于，
即，即 ，可得a0，求得 b，
故有b．
③若点M在点A的左侧，
则b，由点M的横坐标1，求得b＞a．
设直线y＝ax+b和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为（，），
此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 •（1﹣b）•|xN﹣xP|，
即（1﹣b）•||，化简可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．
由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．
两边开方可得 （1﹣b）1，∴1﹣b，化简可得 b＞1，
故有1b．
综上可得b的取值范围应是 ，
故选B．
【点睛】
本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查了运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．
12．过点的直线与轴正半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．
【来源】安徽省蚌埠市2021-2022学年高三上学期第一次教学质量检查理科数学试题
【答案】B
【分析】
由直线方程得到化简得，再利用基本不等式求解.
【详解】
由题得直线的方程为
因为直线过点，所以
由题得.
（当且仅当时等号成立）
所以的最小值为.
故选：B
13．若在直线上有一点P，它到点和的距离之和最小，则该最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
求出关于直线对称的点为，则，从而得出答案.
【详解】
点关于直线对称的点为,如图
则,所以
当且仅当三点共线时取得等号.
故选：C
14．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【来源】浙江省丽水市外国语实验学校2020-2021学年高三上学期期末数学试题
【答案】A
【分析】
连接,得出点在平面中，问题转化为在平面内直线上取一点，求点到定点的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，问题转化为点关于直线到直线的距离，从而可得结果.
【详解】
图1
连接,则，点在平面中，
且，如图1所示，
在中，以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，
如图2所示，
图2
,
设点关于直线的对称点为，
的方程为，①
，
直线的方程为 ，②
由①②组成方程组，解得，
直线与的交点，
对称点，
，
最小值为到直线的距离为，故选A.
【点睛】
求最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
万能模板
内 容
使用场景
关于两直线的平行于垂直的问题
解题模板
第一步 直接运用两直线平行与垂直的性质对其进行求解；
第二步 得出结论.
万能模板
内 容
使用场景
两直线相交问题
解题模板
第一步 联立两直线的方程并求解；
第二步 其方程组的解即为两直线的交点的坐标；
第三步 得出结论.
万能模板
内 容
使用场景
点与点、点与直线、直线与直线的对称问题
解题模板
第一步 确定具体问题是哪类对称问题如点与点、点与直线、直线与直线的对称；
第二步 运用各自相应的对称模型进行求解；
第三步 得出结论.
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