最新高考数学解题方法模板50讲 专题33 空间中线线角、线面角，二面角的求法

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模
板
50
讲
专题33 空间中线线角、线面角、二面角的求法
【高考地位】
立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.
类型一 空间中线线角的求法
方法一 平移法
例1正四面体中， 分别为棱的中点，则异面直线与所成的角为
A. B. C. D.
【变式演练1】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】如图，正方体，的棱长为6，点是棱的中点，与的交点为，点在棱上，且，动点（不同于点）在四边形内部及其边界上运动，且，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练2】【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期9月月考模拟测试】当动点在正方体的棱上运动时，异面直线与所成角的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【变式演练3】【甘肃省白银市靖远县2020届高三高考数学（文科）第四次联考】在四面体中，，，，分别为，的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练4】【2020年浙江省名校高考押题预测卷】如图，在三棱锥中，平面，，，侧棱与平面所成的角为，为的中点，是侧棱上一动点，当的面积最小时，异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
方法二 空间向量法
例2、【重庆市第三十七中学校2020-2021学年高三上学期10月月考】在长方体中，，，分别为棱，，的中点，，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
例3、【四川省泸县第四中学2020-2021学年高三上学期第一次月考】在长方体中，，，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练5】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，且，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练6】【云南省云天化中学、下关一中2021届高三复习备考联合质量检测卷】如图所示，在正方体中，点E为线段的中点，点F在线段上移动，异面直线与所成角最小时，其余弦值为（ ）
A．0B．C．D．
类型二 空间中线面角的求法
方法一 垂线法
例3如图，四边形是矩形，，是的中点，与交于点，平面.
（Ⅰ）求证：面；
（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值.
【变式演练7】 SKIPIF 1 < 0 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面内的射影为的中心,则与底面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式演练8】【北京市朝阳区2020届高三年级下学期二模】如图，在五面体ABCDEF中，面是正方形，，，，且．
（1）求证：平面；
（2）求直线BD与平面ADE所成角的正弦值；
（3）设M是CF的中点，棱上是否存在点G，使得平面ADE？若存在，求线段AG的长；若不存在，说明理由．
方法二 空间向量法
例4 【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）模拟】在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，是的中点，平面，过的平面交棱于点（异于点，两点），交于.
（1）求证：平面；
（2）若是中点，且平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求与底面所成角的正切值.
【变式演练9】【2020年浙江省名校高考仿真训练】已知三棱台的下底面是边长为2的正三角形，上地面是边长为1的正三角形.在下底面的射影为的重心，且.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
类型三 空间二面角的求解
例4【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】三棱锥中，，，.记中点为，中点为
（1）求异面直线与的距离；
（2）求二面角的余弦值.
【变式演练10】【2021年届国著名重点中学新高考冲刺】如图，四边形中，是等腰直角三角形，，是边长为2的正三角形，以为折痕，将向上折叠到的位置，使点在平面内的射影在上，再将向下折叠到的位置，使平面平面，形成几何体.
（1）点在上，若平面，求点的位置；
（2）求二面角的余弦值.
【高考再现】
1．（2021·全国高考真题（理））在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·浙江高考真题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
3．（2021·全国高考真题（理））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
4．（2021·全国高考真题（理））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
5．（2021·北京高考真题）已知正方体，点为中点，直线交平面于点．
（1）证明：点为的中点；
（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
6．【2020年高考山东卷4】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为），地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面．在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬，则晷针与点处的水平面所成角为（ ）
A． B． C．D．
7.【2017课标II，理10】已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．【2020年高考全国Ⅰ卷理数16】如图，在三棱锥的平面展开图中，，则_____________．
9.【2020年高考全国Ⅱ卷理数20】如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为的中点，为上一点．过和的平面交于，交于．
（1）证明：//，且平面平面；
（2）设为△的中心，若，且，求直线与平面所成角的正弦值．
10.【2020年高考江苏卷24】在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．
（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．
11．【2020年高考浙江卷19】如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．
（I）证明：EF⊥DB；
（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．
12．【2020年高考山东卷20】如图，四棱锥的底面为正方形，底面，设平面与平面的交线为．
（1）证明：平面；
（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值．
【反馈练习】
1．【江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科】已知正方体中，点，分别是线段，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，为圆锥底面直径，点是底面圆上异于的动点，已知，圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，当与所成角为时，与所成角为（ ）
A．B．C．D．
【来源】山东省泰安肥城市2021届高三三模数学试题
3．【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟】如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．【广西玉林市2021届高三11月教学质量监测理科】如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AD，CC1的中点，则异面直线A1E与BF所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，，，现将其放置在平面的上面，其中点，在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是（ ）
A．B．20C．D．30
【来源】江苏省南通学科基地2021届高三高考数学全真模拟试题（五）
6．【福建省厦门市2020届高三毕业班（6月）第二次质量检查（文科）】如图，圆柱中，，，，则与下底面所成角的正切值为( )
A．2B．C．D．
7．如图，矩形中，已知为的中点．将沿着向上翻折至得到四棱锥．平面与平面所成锐二面角为，直线与平面所成角为，则下列说法错误的是（ ）
A．若为中点，则无论翻折到哪个位置都有平面平面
B．若为中点，则无论翻折到哪个位置都有平面
C．
D．存在某一翻折位置，使
【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2021届高三下学期5月高考押题卷文科数学试题
8．如图，将矩形纸片折起一角落得到，记二面角的大小为，直线，与平面所成角分别为，，则（ ）．
A．B．
C．D．
【来源】浙江省嘉兴市六校2021届高三下学期5月联考数学试题
9．许多球状病毒的空间结构可抽象为正二十面体．正二十面体的每一个面均为等边三角形，共有12个顶点、30条棱．如图所示，由正二十面体的一个顶点和与相邻的五个顶点可构成正五棱锥，则与面所成角的余弦值约为（ ）（参考数据）
A．B．C．D．
【来源】山东省烟台市2021届高三二模数学试题
10．已知四面体，，，.分别记二面角，，为，，.则下列结论中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【来源】浙江省杭州市桐庐中学2020-2021学年高三上学期暑期阶段性测试数学试题
11．已知在正方体ABCD-中，点MN分别为BC，C1D1的中点，点P在线段AB上，记二面角N-PM-D的平面角大小为a，则当点P从A向B运动的过程中，角a的变化情况是（ ）
A．一直变大B．一直变小
C．先变大后变小D．先变小后变大
【来源】浙江省金华市2021届高三下学期5月高考仿真模拟数学试题
12．已知球夹在一个二面角之间，与两个半平面分别相切于点.若，球心到该二面角的棱的距离为2，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【来源】专题4.2 与球相关的外接与内切问题-玩转压轴题，进军满分之2021高考数学选择题填空题
13.【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）】若正方体的棱长为1，点是面的中心，点是面的对角线上一点，且面，则异面直线与所成角的正弦值为__.
14．【吉林省示范高中（四平一中、梅河口五中、白城一中等）2020届高三第五次模拟联考】如图，已知直三棱柱，，，M为上一点，四棱锥的体积与该直三棱柱的体积之比为，则异面直线与所成角的余弦值为________.
15．【湖北省华中师大附中2020届高三下学期高考预测联考文科】如图，是圆的直径，点是圆上一点，平面，、分别是、边上的中点，点是线段上任意一点，若.
（1）求异面直线与所成的角：
（2）若三棱锥的体积等于，求
16．【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研测试】如图，三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，侧面为菱形，且平面平面，，为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
17.【河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试数学（理）】如图，四边形为菱形，，四边形为矩形，平面平面，点在上，.
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成角为60°，求二面角的余弦值.
18．【广西南宁三中2020届高三数学（理科）考试】如图1，在直角中，，，，，分别为，的中点，连结并延长交于点，将沿折起，使平面平面，如图2所示.
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19．【广西柳州市2020届高三第二次模拟考试理科】已知三棱锥的展开图如图二，其中四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：
（1）证明：平面平面；
（2）若是的中点，求二面角的余弦值．
20.【浙江省“山水联盟”2020届高三下学期高考模拟】四棱锥，底面ABCD为菱形，侧面PBC为正三角形，平面平面ABCD，，点M为AD中点.
（1）求证：；
（2）若点N是线段PA上的中点，求直线MN与平面PCM所成角的正弦值.万能模板
内 容
使用场景
空间中线线角的求法
解题模板
第一步 首先将两异面直线平移到同一平面中；
第二步 然后运用余弦定理等知识进行求解；
第三步 得出结论.
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内 容
使用场景
空间中线线角的求法
解题模板
第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；
第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标；
第三步 再利用即可得出结论.
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内 容
使用场景
空间中线面角的求法
解题模板
第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；
第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角；
第三步 得出结论.
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内 容
使用场景
空间中线面角的求法
解题模板
第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；
第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标；
第三步 再利用即可得出结论.
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内 容
使用场景
空间中二面角的求解
解题模板
第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；
第二步 然后求出所求二面角法向量的空间直角坐标；
第三步 再利用即可得出结论.