最新高考数学解题方法模板50讲 专题48 排列组合解答策略

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模
板
50
讲
专题48 排列组合解答策略
【高考地位】
排列组合问题是高考必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用，解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答。同时还要注意讲究一些策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。
其考试题型主要有填空题、选择题或者解答题中的应用，其难度不会太大．其试题难度属中高档题.
类型一 相邻问题捆绑法
例1. 有两排座位，前排个座位，后排个座位，现安排人就座，规定前排中间的个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的坐法的种数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，都在前排左面4个座位6种，都在前排右面4个座位6种，分列在中间3个的左右4×4×2=32种，在前排一共6+6+32=44种，甲乙都在后排共有种，甲乙分列在前后两排种，一共有44+110+192=346种.故选D.
【方法点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.
【变式演练1】有6个座位连成一排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数是（ ）
A．36 B．48
C．72 D．120
【答案】C
【解析】
试题分析：根据题意，分两种情况讨论；①两端恰有两个空座位相邻，则必须有一人坐在空座的边上，其余两人在余下的三个座位上任意就座，此时有种坐法；②两个相邻的空座位不在两端，有三种情况，此时这两个相邻的空座位两端必须有两人就座，余下一人在余下的两个座位上任意就座，此时有种坐法．故共有种坐法．
考点：排列组合.
类型二 不相邻问题插空法
例2 七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是[ ]
A．1440 B．3600 C．4820 D．4800
【答案】B.
点评：不相邻问题最有效的方法之一就是插空法.
【变式演练2】来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有
A. 种 B. 种
C. 种 D. 种
【答案】A
【解析】解：每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，只能分为：中、英；中、瑞；英、瑞．
三组中，中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，本国裁判可以互换，进场地全排，
不同的安排方案总数有=2×2×2×6=48种．
故选A
类型三 特殊元素“优先安排法”
例3 . 用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。
24个 B。30个 C。40个 D。60个
【答案】B.
点评：对于带有特殊元素的排列组合问题，一般采用优先安排法.
【变式演练3】数字“”中，各位数字相加和为，称该数为“长久四位数”，则用数字组成的无重复数字且大于的“长久四位数”有（ ）个
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：卡片上的四位数字之和等于，四个数字为组成的无重复数字且大于的“长久四位数”共有：，组成的无重复数字且大于的“长久四位数”共有个；组成的无重复数字且大于的“长久四位数”共有个，故共（个）.
考点：排列、组合与计数原理．
【变式演练4】7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A．120 B．240 C．360 D．480
【答案】C
【解析】
试题分析：前排人有个空,从甲乙丙人中选人插入,有种方法,对于后排,若插入的人不相邻有种,若相邻有种,故共有种,选C．
考点：1．排列组合问题；2．相邻问题和不相邻问题．
类型四 总体淘汰法
例4 . 从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有（ ）
A．140 B．80种 C．70种 D．35种
【答案】C.
点评：关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便．
【变式演练5】春天来了，某学校组织学生外出踏青，4位男生和3为女生站成一排合影留念，男生甲和乙要求站在一起，3位女生不全站在一起，则不同的战法种数是（ ）
A. 964 B. 1080 C. 1152 D. 1296
【答案】C
【解析】男生甲和乙要求站在一起共有种，其中男生甲和乙要求站在一起且女生全站在一起有种，∴符合题意的站法共有种.
【变式演练6】某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是 （ ）
A. 18 B. 24 C. 36 D. 42
【答案】D
【解析】由题设可分两类：一是甲地只含有一名女生，先考虑甲地有种情形，后考虑乙、丙两地，有种情形，共有种情形；二是甲地只含有两名女生，则甲地有种情形，乙、丙两地，有种情形，共有种情形；由分类计数原理可得种情形，应选答案D。
【高考再现】
1．（2021·全国高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
【答案】C
【分析】
先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】
根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.
【点睛】
本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.
2.【2020年高考山东卷3】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种D．种
【答案】C
【思路导引】利用分步计算原理，结合组合数的计算，计算出不同的安排方法．
【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去并场馆，故不同的安排方法共有种，故选C．
【专家解读】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算．
3.【2020年高考全国Ⅱ卷理数14】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种． ．
【答案】
【思路导引】根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案．
【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，先取2名同学看作一组，选法有：，现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：，根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种，故答案为：．
【专家解读】本题主要考查了计数原理的实际应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力．
4．【2020年高考上海卷9】从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有 种安排情况．
【答案】180
【解析】按照先选再排的方法可知共有种方法．
故答案为：180
5．【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有种方法。 故选D。
【考点】 排列与组合；分步乘法计数原理
【名师点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步。具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)。
6.【2017天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【考点】计数原理、排列、组合
【名师点睛】计数原理包含分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法），组成四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，利用加法原理计数.
【反馈练习】
1．【江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考】为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学．现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用组合计数原理计算出基本事件的总数以及事件“从这位同学中选派人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派人”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.
【详解】
某市将垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾.
某班按此四类由位同学组成四个宣传小组，
其中可回收物宣传小组有位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有位同学.
现从这位同学中选派人到某小区进行宣传活动，基本事件总数，
每个宣传小组至少选派人包含的基本事件个数为，
则每个宣传小组至少选派人的概率为.
故选：D.
2．【上海市杨浦区2021届高三上学期一模（期末）】从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种，去掉四点共面的情况即可求解.
【详解】
从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种，
正方体表面四点共面不能构成四面体有种，
正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有种，
所以可得到的四面体的个数为种，
故选：A
3．【湖南省株洲市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量统一检测】由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（ ）
A．24B．12C．10D．6
【答案】C
【分析】
分个位数是0和个位数是5两类求解.
【详解】
当个位数是0时，有个，
当个位数是5时，有个，
所以能被5整除的个数是10，
故选：C
4．【山东省淄博市2021届高三上学期教学质量摸底检测（零模）】在6张奖券中有一等奖奖券1张、二等奖奖券2张、三等奖奖券3张．现有3个人抽奖，每人2张，则不同的获奖情况有（ ）
A．15B．18C．24D．90
【答案】A
【分析】
分两步，第一步分配一等奖奖券，第二步，分配二等奖奖券，可算出答案.
【详解】
第一步：把一等奖奖券分给3人中的一个，有种；
第二步：把2张二等奖奖券分配，有两种情况，
①其中一张给了得一等奖的人，另外一张给了剩下两人中的一人，有种
②抽一等奖的人没有得二等奖，则两张二等奖奖券分给剩下2人一人一张或者有1人得2张，有种
综上：共有种情况
故选：A
5．【湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高三上学期月考】甲、乙、丙、丁四人分别去云南、张家界、北京三个地方旅游，每个地方至少有一人去，且甲、乙两人不能同去一个地方，则不同分法的种数（ ）
A．18B．24C．30D．36
【答案】C
【分析】
先把4人分为3组，共种不同的情况，把3组全排列共有种，再排除甲乙被分在同一地方的情况，即得解.
【详解】
先计算4人中有两名分在一个地方的种数，可从4个中选2个，和其余的2个看作3个元素的全排列共有种，再排除甲乙被分在同一地方的情况共有种，所以不同的安排方法种数是：.
故选：C
6．【重庆市第一中学2020届高三下学期5月月考数学（理）】某中学高三年级在返校复学后，为了做好疫情防护工作，一位防疫督察员要将2盒完全相同的口罩和3盒完全相同的普通医用口罩全部分配给3个不同的班，每个班至少分得一盒，则不同的分法种数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
首先分配3个普通口罩分为3种情况，再分配2个N95口罩，按照分类加法计数原理与分步乘法计数原理求解即可.
【详解】
首先分配3个普通口罩分为3种情况，再分配2个N95口罩：
①3个普通口罩分配到同一个班级，2个N95口罩分别分配到另外两个班级共种情况；
②3个普通口罩分别分配到3个班级(即每个班一个口罩)，2个N95口罩随机分配到3个班级共种情况；
③有1个班有1个普通口罩、1个班有2个普通口罩，剩余的1个班分配1个N95口罩，剩余的1个N95口罩随机分配共有种情况.
共有种分法.
故选：C
7．【新疆2020届高三高考数学（理科）二模】将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，其中一个路口3人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（ ）
A．18种B．24种C．36种D．72种
【答案】A
【分析】
由于甲乙在同一路口执勤且有一路口需3人，所以甲乙在三人组，第一步给甲乙组选一人，剩余两人为两组，第二步把三组人安排到3个路口即可.
【详解】
5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，其中一个路口3人，所以不同路口的执勤人数为，
又甲、乙在同一路口，先选一个人和甲乙组成一组有种选法,剩余两人为两组，
然后安排到3个路口共有种不同的安排方法，
故选：A
8．【湖南省邵阳市2020届高三下学期第三次联考数学（理）】2020年5月22日，国务院总理李克强在发布的2020年国务院政府工作报告中提出，2020年要优先稳就业保民生，坚决打赢脱贫攻坚战，努力实现全面建成小康社会目标任务.为响应党中央号召，某单位决定再加派五名工作人员甲、乙、丙、丁、戊去所负责的A，B，C，D四个村小组帮助指导贫困户脱贫，每个村小组至少派一人，为工作方便，甲不去A小组，乙去B小组，则不同的安排方法有（ ）
A．24B．42C．120D．240
【答案】B
【分析】
根据甲、乙是否在同一个小组进行分类讨论求解即可.
【详解】
当甲、乙在同一小组时，即都在B小组时，则不同的安排方法有：；
当甲、乙不在同一小组时，根据题意可以分成组，乙所在的小组去B小组，甲有2种方法，剩下的两人有2种方法，因此有不同的安排方法有：，
因此符合题意的不同的安排方法有种方法.
故选：B
9．【湖北省荆门市龙泉中学2020届高三下学期高考适应性考试（一）理科】2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2，0，1，9，10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（ ）
A．72B．84C．96D．120
【答案】B
【分析】
先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有种，其中1和0排在一起形成10和原来的10有重复，共有种，得到答案.
【详解】
先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有种，
其中1和0排在一起形成10和原来的10有重复，
考虑1和0相邻时，且1在0的左边，和剩余数字共有4！=24种排法，
其中一半是重复的，故此时有12种重复.
故共有种.
故选：B.
10．（2021·山东济宁一中高三开学考试）为迎接2021年9月15日-9月27日的第十四届全国运动会，某单位准备组织一场混合双打比赛，现从6名男乒乓球爱好者和5名女乒乓球爱好者中各选2名选手进行一场混合双打比赛，则不同的选择方法有（ ）
A．150种B．300种C．450种D．600种
【答案】B
【分析】
由题意知先从6名男乒乓球爱好者和5名女乒乓球爱好者中各选2名选手，由于进行一场混合双打比赛，再使女乒乓球爱好者要在男乒乓球爱好者上排列，根据分步计数原理得到结果．
【详解】
由题意知从6名男乒乓球爱好者和5名女乒乓球爱好者中各选2名选手，共有种结果，
∵由于进行一场混合双打比赛，
∴两名女乒乓球爱好者要在两名男乒乓球爱好者上排列，
根据分步计数原理知共有种结果，
故选：B．
11．（2021·陕西汉中·高三月考（文））甲､乙两名大学生报名参加第十四届全运会志愿者，若随机将甲､乙两人分配到延安､西安､汉中这3个赛区，则甲､乙都被分到汉中赛区的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
分甲､乙两人分配到不同的赛区时，甲､乙两人分配到相同的赛区时两种情况求出总分法，再求出甲､乙都被分到汉中赛区的种分法，再根据古典概型公式即可得解.
【详解】
解：当甲､乙两人分配到不同的赛区时，有种分法，
当甲､乙两人分配到相同的赛区时，有3种分法，
则总共有6+3=9种分法，
而甲､乙都被分到汉中赛区仅1种分法，
所以甲､乙都被分到汉中赛区的概率为.
故选：A.
12．（2021·福建厦门外国语学校高三）武汉疫情爆发后，某医院抽调3名医生，5名护士支援武汉的三家医院，规定每家医院医生一名，护士至少一名，则不同的安排方案有（ ）
A．900种B．1200种C．1460种D．1820种
【答案】A
【分析】
结合分步计数原理以及全排列和部分平均分组问题即可求出结果.
【详解】
解：根据题意，分2步进行分析：
①将3名医生安排到三家医院，有种安排方法，
②将5名护士分为3组，安排到三家医院，有种安排方法，
则有种不同的安排方案，
故选：A.
13．【陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）】某“2020年宝鸡市防震减灾科普示范学校”组织4名男生6名女生志愿者到社区进行防震减灾图片宣讲，若这些选派学生只考虑性别，则派往甲社区宣讲的3人中至少有2个男生概率为__________.
【答案】
【分析】
根据题意用组合数表示10人中选3人的可能数，再用组合数表示3人中至少有2个男生的可能数，根据古典概型相除即可得出答案.
【详解】
解：派往甲社区宣讲的3人中至少有2个男生概率为,
故答案为：.
【点睛】
组合问题常有以下两类题型变化：
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；
（2）“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
14．（2021·重庆市第十一中学校高三月考）4个人围坐在如图所示的8张椅子中的4张椅子上聚餐，其中甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相对）而坐，共有__________种不同的坐法(用数字作答)
【答案】1440
【分析】
根据甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相对）而坐，则甲、乙两人不能同时坐在1 与8位置或2 与7位置或3 与6位置或4 与5，先确定甲的位置有种，在确定乙的位置有种，最后确定剩下两人的位置有，最后再根据分步乘法原理即可得出答案.
【详解】
解：因为甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相对）而坐，
则甲、乙两人不能同时坐在1 与8位置或2 与7位置或3 与6位置或4 与5，
所以共有种不同的作法.
故答案为：1440.
15．（2021·上海市复旦中学高三月考）将甲、乙、丙、丁、戊5位同学排成一横排，要求甲、乙均在丙的同侧，且丙丁不相邻，则不同的排法共有__________种．(用数字作答)
【答案】48
【分析】
根据题意，分3步进行分析：①先安排甲乙丙，②将戊安排在3人的空位中，③最后安排丁，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
根据题意，分3步进行分析：
安排甲乙丙，要求甲、乙均在丙的同侧，有种情况；
将戊安排在3人的空位中，有4种情况；
4人排好后，有5个空位，由于丙丁不相邻，则丁的安排方法有3种；
则有种不同的排法，
故答案为：48．
万能模板
内 容
使用场景
题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．
解题模板
第一步 首先将题目中规定相邻的几个元素作为一个整体；
第二步 然后运用排列组合求出其不同的排列中种数；
第三步 得出结论.
万能模板
内 容
使用场景
题目中规定相邻的几个元素不相邻．
解题模板
第一步 可先把无位置要求的几个元素全排列；
第二步 再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端；
第三步 得出结论.
万能模板
内 容
使用场景
对于带有特殊元素的排列组合问题
解题模板
第一步 一般应先考虑特殊元素，先满足特殊元素的要求；
第二步 再考虑其它元素；
第三步 得出结论.
万能模板
内 容
使用场景
对于含有否定字眼的问题
解题模板
第一步 首先计算总体的种数；
第二步 从总体中把不符合要求的除去，此时需注意不能多减，也不能少减；
第三步 得出结论.