2025年高考数学一轮复习-微专题10-几何法求空间角与距离【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-微专题10-几何法求空间角与距离【含解析】，共16页。试卷主要包含了几何法求空间角，几何法求距离等内容，欢迎下载使用。
【例1】 （1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝AA1，D，E分别为AC，BC的中点，则异面直线C1D与B1E所成角的余弦值为（ ）
A.33 B.55
C.1010 D.3010
（2）如图，已知正四棱锥P-ABCD底面边长为2，侧棱长为4，M为侧棱PC的中点，则直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为（ ）
A.143 B.73
C.156 D.216
（3）如图所示，在三棱锥S-ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝2，SA＝3，则二面角S-BC-A的大小为 .
1.在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是BC1与B1C的交点，则AD与平面BB1C1C所成角的正弦值是（ ）
A.35 B.22
C.32 D.12
2.在正四棱锥P-ABCD中，M为棱AB上的点，且PA＝AB＝2AM，设平面PAD与平面PMC的交线为l，则异面直线 l 与BC所成角的正切值为 .
二、几何法求距离
【例2】 （1）如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为（ ）
A.23 B.25
C.2 D.4
（2）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（ ）
A.1 B.23
C.43 D.2
1.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，则AD到平面PBC的距离为 .
2.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点.
（1）求点C到平面A1ABB1的距离；
（2）若AB1⊥A1C，求二面角A1-CD-C1的余弦值.
1.已知平面α，直线m，n，若n⊂α，则“m⊥n”是“m⊥α”的（ ）
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在（ ）
A.直线AB上 B.直线BC上
C.直线AC上 D.△ABC内部
3.设α，β是两个平面，m，l是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A.若α⊥β，m∥α，l∥β，则m⊥l
B.若m⊂α，l⊂β，m∥l，则α∥β
C.若α∩β＝m，l∥α，l∥β，则m∥l
D.若m⊥α，l⊥β，m∥l，则α⊥β
4.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是（ ）
A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β
C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH
5.（多选）如图，在三棱锥V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，则下列结论中一定成立的是（ ）
A.AC＝BC
B.AB⊥VC
C.VC⊥VD
D.S△VCD·AB＝S△ABC·VO
6.（多选）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则（ ）
A.A，M，N，B四点共面
B.平面ADM⊥平面CDD1C1
C.直线BN与B1M所成的角为60°
D.BN∥平面ADM
7.已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么点P到平面ABC的距离为 .
8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.
（1）求证：PE⊥BC；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（3）求证：EF∥平面PCD.
9.在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则（ ）
A.平面B1EF⊥平面BDD1
B.平面B1EF⊥平面A1BD
C.平面B1EF∥平面A1AC
D.平面B1EF∥平面A1C1D
11.（多选）如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝1，PD＝AB＝2，点E是PB的中点，过A，D，E三点的平面α与平面PBC的交线为l，则（ ）
A.l∥平面PAD
B.AE∥平面PCD
C.直线PA与l所成角的余弦值为55
D.平面α截四棱锥P-ABCD所得的上、下两部分几何体的体积之比为35
12.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q分别是线段BS，AD的中点，点R在线段SD上.若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，则AR＝ .
13.如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a＝ .
14.在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥PC.
（1）求证：AD⊥平面PDC；
（2）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行.
15.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝t，若在线段AB上存在点E，使得EC1⊥ED，则实数t的取值范围是 .
16.如图所示的空间几何体ABCD-EFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF＝EG＝1.
（1）求证：平面CFG⊥平面ACE；
（2）在AC上是否存在一点H，使得EH∥平面CFG？若存在，求出CH的长；若不存在，请说明理由.
微专题10 几何法求空间角与距离【解析版】
一、几何法求空间角
【例1】 （1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝AA1，D，E分别为AC，BC的中点，则异面直线C1D与B1E所成角的余弦值为（ ）
A.33 B.55
C.1010 D.3010
（2）如图，已知正四棱锥P-ABCD底面边长为2，侧棱长为4，M为侧棱PC的中点，则直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为（ ）
A.143 B.73
C.156 D.216
（3）如图所示，在三棱锥S-ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝2，SA＝3，则二面角S-BC-A的大小为 .
答案：（1）D （2）D （3）60°
解析：（1）设AB＝2，取A1B1的中点F，连接C1F，DF，DE，则B1F＝12A1B1，因为D，E分别为AC，BC的中点，所以DE∥AB，DE＝12AB，因为A1B1∥AB，A1B1＝AB，所以DE∥B1F，B1F＝DE，所以四边形DEB1F为平行四边形，所以DF∥B1E，所以∠C1DF为异面直线C1D与B1E所成的角或补角.因为AB⊥BC，AB＝BC＝AA1＝2，D，E分别为AC，BC的中点，所以DF＝B1E＝12＋22＝5，C1F＝12＋22＝5，C1D＝（2）2＋22＝6，所以cs∠C1DF＝12C1DDF＝625＝3010.故选D.
（2）作PO⊥底面ABCD于O，连接OC，因为正四棱锥P-ABCD底面边长为2，故OC＝2，又侧棱长为4，故PO＝PC2－OC2＝14.又M为侧棱PC中点，取OC的中点F，连接MF，BF，则MF?12PO，且MF⊥平面ABCD，故∠MBF是BM与平面ABCD所成的角，且MF＝12PO＝142.又cs∠BCM＝BC2PC＝14.在△BCM中，由余弦定理有BM＝BC2＋CM2－2BC·CMcs∠BCM＝6.在△BFM中，sin∠MBF＝MFBM＝1426＝216.故直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为216.
（3）如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，因为△ABC，△SBC都是等边三角形，所以SB＝SC，AB＝AC，因此有AD⊥BC，SD⊥BC.所以∠ADS为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角.又因为BC＝2，所以SD＝SB2－BD2＝4－1＝3，AD＝AB2－BD2＝4－1＝3，而SA＝3，所以△SDA是正三角形，所以∠ADS＝60°，即二面角S-BC-A的大小为60°.
1.在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是BC1与B1C的交点，则AD与平面BB1C1C所成角的正弦值是（ ）
A.35 B.22
C.32 D.12
解析：C 取BC的中点E，连接DE，AE，如图.依题意三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，设棱长为2，则AE＝3，DE＝1，因为D，E分别是BC1和BC的中点，所以DE∥CC1，所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥AE，所以AD＝AE2＋DE2＝3+1＝2.因为AE⊥BC，AE⊥DE，BC∩DE＝E，所以AE⊥平面BB1C1C，所以∠ADE是AD与平面BB1C1C所成的角，所以sin∠ADE＝AEAD＝32，所以AD与平面BB1C1C所成角的正弦值是32.
2.在正四棱锥P-ABCD中，M为棱AB上的点，且PA＝AB＝2AM，设平面PAD与平面PMC的交线为l，则异面直线 l 与BC所成角的正切值为 .
答案：33
解析：连接CM并延长交DA的延长线于点N，则点N为平面PAD与平面PMC的公共点，所以l即为直线PN，因为BC∥AD，所以∠PND或其补角为异面直线l与BC所成角，取DA的中点O，连接OP，则OP⊥AD，设PA＝AB＝2AM＝2，则OA＝1，OP＝3，ON＝3，所以tan∠PND＝OPON＝33，所以异面直线l与BC所成角的正切值为33.
二、几何法求距离
【例2】 （1）如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为（ ）
A.23 B.25
C.2 D.4
（2）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（ ）
A.1 B.23
C.43 D.2
答案：（1）A （2）B
解析：（1）如图，取PA的中点M，连接BM，CM，因为PB⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以PB⊥BC，又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA，BC⊥PB，因为M是PA的中点，PB＝AB，所以BM⊥PA，又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC⊂平面BCM，所以PA⊥平面BCM，又CM⊂平面BCM，所以CM⊥PA，即CM为点C到直线PA的距离.在等腰Rt△PAB中，BM＝22PB＝22，在Rt△BCM中，CM＝BM2＋BC2＝8+4＝23，故点C到直线PA的距离为23.
（2）设点E到平面ACD1的距离为h，因为点E是棱AB的中点，所以点E到平面ACD1的距离等于点B到平面ACD1的距离的一半，又平面ACD1过BD的中点，所以点B到平面ACD1的距离等于点D到平面ACD1的距离，由等体积法VD-ACD1＝VD1-ACD，所以13S△ACD1·2h＝13S△ACD·DD1，S△ACD＝12×2×4＝4，DD1＝2，在△ACD1中，AD1＝22，AC＝CD1＝25，所以S△ACD1＝12×22×（25）2−(2）2＝6，则13×6×2h＝13×4×2，解得h＝23，即点E到平面ACD1的距离为23.
1.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，则AD到平面PBC的距离为 .
答案：2
解析：因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC，所以AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离，因为侧棱PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥BC，因为∠ABC＝90°，即AB⊥BC，因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，因为PA＝AB＝BC＝2，所以PB＝22，设点A到平面PBC的距离为d，则由V三棱锥P-ABC＝V三棱锥A-PBC得13PA·S△ABC＝13d·S△PBC，所以13×2×12×2×2＝13d×12×22×2，得d＝2，所以AD到平面PBC的距离为2.
2.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点.
（1）求点C到平面A1ABB1的距离；
（2）若AB1⊥A1C，求二面角A1-CD-C1的余弦值.
解：（1）由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB.又CD⊥AA1，A1A∩AB＝A，故CD⊥平面A1ABB1，所以点C到平面A1ABB1的距离为CD＝BC2－BD2＝5.
（2）如图，取线段A1B1的中点D1，连接DD1，则DD1∥AA1∥CC1.
又由（1）知CD⊥平面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥DD1，所以∠A1DD1为所求的二面角A1-CD-C1的平面角.
因为A1D为A1C在平面A1ABB1上的射影，又已知AB1⊥A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D，从而∠A1AB1，∠A1DA都与∠B1AB互余，
因此∠A1AB1＝∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A，因此AA1AD＝A1B1AA1，即AA12＝AD·A1B1＝8，得AA1＝22.
从而A1D＝AA12＋AD2＝23，所以在Rt△A1DD1中，cs∠A1DD1＝DD1A1D＝AA1A1D＝63.
即二面角A1-CD-C1的余弦值为63.
1.已知平面α，直线m，n，若n⊂α，则“m⊥n”是“m⊥α”的（ ）
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析：C 由n⊂α，m⊥n，不一定得到m⊥α；反之，由n⊂α，m⊥α，可得m⊥n.∴若n⊂α，则“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分条件.
2.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在（ ）
A.直线AB上 B.直线BC上
C.直线AC上 D.△ABC内部
解析：A 连接AC1（图略），由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.
3.设α，β是两个平面，m，l是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A.若α⊥β，m∥α，l∥β，则m⊥l
B.若m⊂α，l⊂β，m∥l，则α∥β
C.若α∩β＝m，l∥α，l∥β，则m∥l
D.若m⊥α，l⊥β，m∥l，则α⊥β
解析：C 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，对于A：设平面α为平面ABCD，平面β为平面ADD1A1，m＝B1C1，l＝BC，m∥α，l∥β，α⊥β，但m∥l，故A错；对于B：m＝BC，平面α为平面ABCD，l＝AD，平面β为平面ADD1A1，此时m⊂α，l⊂β，m∥l，但α与β不平行，B错；对于D：平面α为平面ABCD，平面β为平面A1B1C1D1，m＝AA1，l＝BB1，此时m⊥α，l⊥β，m∥l，但α与β平行不垂直，D错.
4.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是（ ）
A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β
C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH
解析：B 因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH.
5.（多选）如图，在三棱锥V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，则下列结论中一定成立的是（ ）
A.AC＝BC
B.AB⊥VC
C.VC⊥VD
D.S△VCD·AB＝S△ABC·VO
解析：ABD ∵VO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴VO⊥AB.∵VA＝VB，AD＝BD，∴VD⊥AB.又∵VO∩VD＝V，∴AB⊥平面VCD.又∵CD⊂平面VCD，∴AB⊥CD.又∵AD＝BD，∴AC＝BC，故A正确；∵VC⊂平面VCD，∴AB⊥VC，故B正确；∵S△VCD＝12VO·CD，S△ABC＝12AB·CD，∴S△VCD·AB＝S△ABC·VO，故D正确.由题中条件无法判断VC⊥VD，故选A、B、D.
6.（多选）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则（ ）
A.A，M，N，B四点共面
B.平面ADM⊥平面CDD1C1
C.直线BN与B1M所成的角为60°
D.BN∥平面ADM
解析：BC 如图所示，对于A中，直线AM，BN是异面直线，故A，M，N，B四点不共面，故A错误；
对于B中，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可得AD⊥平面CDD1C1，所以平面ADM⊥平面CDD1C1，故B正确；
对于C中，取CD的中点O，连接BO，ON，则B1M∥BO，所以直线BN与B1M所成的角为∠NBO（或其补角）.易知△BON为等边三角形，所以∠NBO＝60°，故C正确；
对于D中，因为BN∥平面AA1D1D，显然BN与平面ADM不平行，故D错误.
7.已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么点P到平面ABC的距离为 .
答案：2
解析：如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为点P到平面ABC的距离.再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.所以PE＝PF＝3，所以OE＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝3，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝PE2－OE2＝ （3）2－12＝2.
8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.
（1）求证：PE⊥BC；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（3）求证：EF∥平面PCD.
证明：（1）因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形，
所以BC∥AD，所以PE⊥BC.
（2）因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，
因为PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD，AB∩PA＝A，
所以PD⊥平面PAB.
因为PD⊂平面PCD，
所以平面PAB⊥平面PCD.
（3）如图，取PC的中点G，连接FG，DG.
因为F，G分别为PB，PC的中点，
所以FG∥BC，FG＝12BC.
因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，
所以DE∥BC，DE＝12BC.
所以DE∥FG，DE＝FG.
所以四边形DEFG为平行四边形.
所以EF∥DG.
又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
9.在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
解析：B 作AE⊥BD，交BD于E，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AE⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴AE⊥BC，而DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DA⊥BC，又∵AE∩AD＝A，∴BC⊥平面ABD，而AB⊂平面ABD，∴BC⊥AB，即△ABC为直角三角形.
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则（ ）
A.平面B1EF⊥平面BDD1
B.平面B1EF⊥平面A1BD
C.平面B1EF∥平面A1AC
D.平面B1EF∥平面A1C1D
解析：A 如图，对于选项A，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，又AC⊥BD，所以EF⊥BD，又易知DD1⊥EF，BD∩DD1＝D，从而EF⊥平面BDD1，又EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故选项A正确；对于选项B，因为平面A1BD∩平面BDD1＝BD，所以由选项A知，平面B1EF⊥平面A1BD不成立，故选项B错误；对于选项C，由题意知直线AA1与直线B1E必相交，故平面B1EF与平面A1AC不平行，故选项C错误；对于选项D，连接AB1，B1C，易知平面AB1C∥平面A1C1D，又平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，所以平面A1C1D与平面B1EF不平行，故选项D错误.故选A.
11.（多选）如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝1，PD＝AB＝2，点E是PB的中点，过A，D，E三点的平面α与平面PBC的交线为l，则（ ）
A.l∥平面PAD
B.AE∥平面PCD
C.直线PA与l所成角的余弦值为55
D.平面α截四棱锥P-ABCD所得的上、下两部分几何体的体积之比为35
解析：ACD 如图，取PC的中点F，连接EF，DF，则AD∥EF，即A，D，E，F四点共面，即l为EF，对于A，EF∥AD，所以EF∥平面PAD，即l∥平面PAD，故A正确；
对于B，由EF∥AD，若AE∥平面PCD，则必有AE∥DF，即四边形ADFE为平行四边形，则AD＝EF，矛盾，故B错误；
对于C，PA与l所成的角，即PA与EF所成的角，即PA与AD所成的角，由PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD，cs∠PAD＝ADAP＝55，故C正确；
对于D，连接BD，VP-ABCD＝13PD·S矩形ABCD＝13×2×2＝43，VABCDEF＝VA-BDE＋VD-BCFE＝13×12×2＋13×324×22＝56，VP-ADFEVABCDEF＝43－5656＝35，故D正确.
12.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q分别是线段BS，AD的中点，点R在线段SD上.若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，则AR＝ .
答案：455
解析：如图，取SA的中点E，连接PE，QE.∵SA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴SA⊥AB，而AB⊥AD，AD∩SA＝A，AD，SA⊂平面SAD，∴AB⊥平面SAD，故PE⊥平面SAD，又AR⊂平面SAD，∴PE⊥AR.又∵AR⊥PQ，PE∩PQ＝P，PE，PQ⊂平面PEQ，∴AR⊥平面PEQ，∵EQ⊂平面PEQ，∴AR⊥EQ，∵E，Q分别为SA，AD的中点，∴EQ∥SD，则AR⊥SD，在Rt△ASD中，AS＝4，AD＝2，可求得SD＝25，由等面积法可得AR＝455.
13.如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a＝ .
答案：2
解析：如图，连接AQ，取AD的中点O，连接OQ.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DQ，又PQ⊥DQ，∴DQ⊥平面PAQ，∴DQ⊥AQ.∴点Q在以线段AD的中点O为圆心，AD为直径的圆上，又∵在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，∴BC与圆O相切（否则相交就有两点满足垂直，矛盾），∴OQ⊥BC，∵AD∥BC，∴OQ＝AB＝1，∴BC＝AD＝2，即a＝2.
14.在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥PC.
（1）求证：AD⊥平面PDC；
（2）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行.
证明：（1）在平面PCD中过点D作DH⊥DC，交PC于H，
因为平面ABCD⊥平面PCD，DH⊂平面PCD，平面ABCD∩平面PCD＝CD，
所以DH⊥平面ABCD，
因为AD⊂平面ABCD，
所以DH⊥AD，
又AD⊥PC，且PC∩DH＝H，
所以AD⊥平面PCD.
（2）法一 假设棱BC上存在点F，使得MF∥PC，显然F与点C不重合，
所以P，M，F，C四点共面于α，
所以FC⊂α，PM⊂α，
所以B∈FC⊂α，A∈PM⊂α，
所以α就是点A，B，C确定的平面，所以P∈α，
这与P-ABCD为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证.
法二 假设棱BC上存在点F，使得MF∥PC，
连接AC，取其中点N，
在△PAC中，因为M，N分别为PA，CA的中点，所以MN∥PC，
因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF与MN重合，
所以点F在线段AC上，所以F是AC，BC的交点C，即MF就是MC，而MC与PC相交，矛盾，所以假设错误，问题得证.
15.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝t，若在线段AB上存在点E，使得EC1⊥ED，则实数t的取值范围是 .
答案：（0，1]
解析：因为C1C⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，可得C1C⊥ED，由EC1⊥ED，EC1∩C1C＝C1，EC1，C1C⊂平面ECC1，可得ED⊥平面ECC1，所以ED⊥EC，在矩形ABCD中，设AE＝a，0≤a≤2，则BE＝2－a，由∠DEA＋∠CEB＝90°，可得tan∠DEA·tan∠CEB＝ADAE·CBBE＝t2a（2－a）＝1，即t2＝a（2－a）＝－（a－1）2＋1，当a＝1时，t2取得最大值1，即t的最大值为1；当a＝0或2时，t2取得最小值0，但由于t＞0，所以t的取值范围是（0，1].
16.如图所示的空间几何体ABCD-EFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF＝EG＝1.
（1）求证：平面CFG⊥平面ACE；
（2）在AC上是否存在一点H，使得EH∥平面CFG？若存在，求出CH的长；若不存在，请说明理由.
解：（1）证明：连接BD交AC于点O，则BD⊥AC.
设AB，AD的中点分别为M，N，连接MN，则MN∥BD，
连接FM，GN，则FM∥GN，且FM＝GN，
所以四边形FMNG为平行四边形，
所以MN∥FG，所以BD∥FG，所以FG⊥AC.
由于AE⊥平面ABCD，所以AE⊥BD.
所以FG⊥AE，
又因为AC∩AE＝A，AC，AE⊂平面ACE.
所以FG⊥平面ACE.
又FG⊂平面CFG，所以平面CFG⊥平面ACE.
（2）存在，设平面ACE交FG于Q，
则Q为FG的中点，
连接EQ，CQ，取CO的中点H，连接EH，
由已知易知，平面EFG∥平面ABCD，
又平面ACE∩平面EFG＝EQ，
平面ACE∩平面ABCD＝AC，
所以CH∥EQ，又CH＝EQ＝22，
所以四边形EQCH为平行四边形，所以EH∥CQ，
又CQ⊂平面CFG，EH⊄平面CFG，
所以EH∥平面CFG，
所以在AC上存在一点H，使得EH∥平面CFG，
且CH＝