(新高考)高考数学二轮复习难点突破练习专题29 定义法或几何法求空间角(解析版)

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专题29 定义法或几何法求空间角
一、单选题
1．在长方形ABCD中，AB=2AD，过AD，BC分别作异于平面ABCD的平面，，若，则l与BD所成角的正切值是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【分析】
将异面直线平移到同一平面ABCD中即有l与BD所成角为，即可求其正切值.
【详解】

由及线面平行的判定定理，得，
再由线面平行的性质定理，得．
所以与所成角是，从而．
故选：C．
【点睛】
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条到同一平面内；
（2）认定：确定异面直线所成的平面角；
（3）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当角为钝角时，应取补角作为两条异面直线所成的角．
2．在正方体，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.
【详解】
在正方体中，，所以异面直线与所成角为，
如图设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，

则.
故选:C.
【点睛】
求异面直线所成角主要有以下两种方法：
几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角.
向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.
3．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若为底面的中心，则与平面所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据三棱柱的体积公式，求得，结合线面角的定义，即可求解.
【详解】
如图所示，底面是边长为的正三角形，可得，
设点是的中心，所以，解得，
又由，
在直角中，可得，
又，所以.
故选：B.

4．空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R，且PQ=3，QR=5，PR=7，那么异面直线AC和BD所成的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由异面直线所成角的定义确定异面直线所成的角，然后在三角形中由余弦定理计算．
【详解】
∵AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R，∴，
∴异面直线AC和BD所成的角是（或其补角），
中，，
∴异面直线AC和BD所成的角为．
故选：B．

5．如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，、分别是和的中点，则与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
取的中点，连接、，设，证明出四边形为平行四边形，可知异面直线与所成的角为或其补角，设，计算出三边边长，利用余弦定理计算出，即可得解.
【详解】
取的中点，连接、，设，设，

、分别为、的中点，则且，
在正三棱柱中，且，
为的中点，所以，且，
则四边形为平行四边形，所以，，
所以，异面直线与所成的角为或其补角，
，，
，则，，，
由余弦定理可得.
因此，与所成角的余弦值为.
故选：D.
【点睛】
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
6．如图在四面体中，平面，，那么直线和所成角的余弦值（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设，分别取的中点，连接 ，则，所以（或其补角）就是直线和所成的角，根据三角形的余弦定理可求得选项.
【详解】
设，分别取的中点，连接 ，
则，所以（或其补角）就是直线和所成的角，
又平面，平面，所以 ，所以，
又，，所以在中，，
所以直线和所成角的余弦值为.

【点睛】
本题考查求异面直角所成的角，平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
7．如图所示，点是二面角棱上的一点，分别在、平面内引射线、，若，，那么二面角的大小为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
过上一点分别在、内做的垂线，交、于点、，则即为二面角的平面角，设，通过解三角形即可求出答案．
【详解】
解：过上一点分别在、内做的垂线，交、于点、，
则即为二面角的平面角，如下图所示：

设，∵，
∴，，
又∵，∴为等边三角形，则，
∴，
∴，
故选：D．
8．如图，是正方体，，则与所成角的余弦值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
通过平移直线求得异面直线所成的角，再由余弦定理即可得解.
【详解】
过点A在平面内作，再过点在平面内作，如图，

则或其补角即为与所成的角，
因为是正方体，不妨设，
则，，
所以在中，.
故选：A.
9．在长方体中，，，、分别为上底面的边、的中点，过、的平面与底面交于、两点，、分别在下底面的边、上，，平面与棱交于点，则直线与侧面所成角的正切值为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据题意画出图形，通过分析可知，直线与侧面所成角为，则，然后根据图形中的几何条件分析计算出及的长度即可解得答案.
【详解】
延长和交于点，连接，，

∵平面，平面//平面，
∴//平面，
又平面，且，
∴//，又//
∴//，∴，
又，∴，
∵∽，
∴，且，∴，
∵∽，∴，且，
∴，又，∴，
根据线面夹角的概念可知，直线与侧面所成角为，
则.
故选：A.
【点睛】
本题考查直线与平面夹角的计算问题，利用定义法求解线面夹角时，一般步骤如下：
（1）找出斜线在平面内的投影，或根据题目条件通过作辅助线找到投影，找到所求角；
（2）根据几何条件计算所求角所在三角形的各边长；
（3）根据解三角形的方法计算所求角的三角函数值.
10．如图，在正四棱锥中，设直线与直线、平面所成的角分别为、，二面角的大小为，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
连接、交于，连，取的中点，连，根据正棱锥的性质可知，，，，再比较三个角的正弦值可得结果.
【详解】
连接、交于，连，取的中点，连，如图：

因为，所以，又因为四棱锥为正四棱锥，所以，
由正四棱锥的性质可知，平面，所以，
易得，，所以，
因为，，且，所以，又都是锐角，所以，
因为，，且，所以，因为都是锐角，所以.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：根据正棱锥的性质，利用异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义得到这三个角是解题关键，属于中档题.
11．已知在正方体中，，分别为，上的点，且满足，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
取线段上一点，使，连接，，证明（或其补角）为异面直线与所成的角，在中求出此角的余弦即可．
【详解】
取线段上一点，使，连接，，如图所示，
因为，，所以，
所以，，
又，所以易知（或其补角）为异面直线与所成的角.
正方体中平面，平面，所以，所以
设该正方体的棱长为，则，，
所以在中，，
所以.
故选：A．

【点睛】
本题考查异面直线所成的角，解题时需根据定义作出异面直线所的角，并证明，然后再计算．
12．如图所示，已知正方体，则直线与平面所成的角为（ ）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【分析】
把与平面所成的角转化为与平面所成的角，根据线面垂直的判定定理，证得平面，得到为与平面所成的角，在直角中，即可求解.
【详解】
由题意，在正方体中，可得，
所以直线与平面所成的角，即为与平面所成的角，
连接交于点，可得，
又由平面，因为平面，可得
由线面垂直判定定理，可得平面，
所以为与平面所成的角，
设正方体的棱长为1，可得,
在直角中，，
因为，所以.
故选：B.

13．如图，四棱锥中，为矩形，平面平面，，是线段上的点(不含端点).设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据空间角的定义作出异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角，归结在直角三角形中计算正弦值、余弦值，然后可得角大小．
【详解】
如图，取中点，连接，∵，∴，而平面平面，平面平面，∴平面，
连接，作交于，则平面，
∵，∴为直线与所成的角，即，作于，∴，
连接，则是直线与平面所成的角，即，显然，
∴，
作交于，则，连接，由平面得，
，∴平面，∴，∴是二面角的平面角，即，同样，，
由图可知，∴，（都是锐角），
，∴，（也是锐角），
又，，根据上面作图过程知是矩形，，∴，∴，
综上．
故选：D．

【点睛】
本题考查空间角：异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，解题关键是根据它们的定义作出这些角（平面上的角），然后利用三角函数值比较它们的大小．
14．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）


A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
如图所示，分别取，，，的中点，，，，则，，，为异面直线与所成角．
【详解】
解：如图所示，分别取，，，的中点，，，，则，，，
为异面直线与所成角．
设，则，，
，
异面直线与所成角的余弦值为，
故选：．

【点睛】
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
15．已知长方体的高，则当最大时，二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先由基本不等式得确定当且仅当时，取得最大值，接着求出，，，再取的中点，连接，，，并确定就是二面角的平面角，最后在三角形中由余弦定理求得解题.
【详解】
解：设，，
则由题意得：，，，
所以，由基本不等式得：，
当且仅当时，取得最大值，此时，，
所以，
取的中点，连接，，，如图，

则，，则就是二面角的平面角，
在等腰三角形中，因为，，所以，
在等腰三角形中，因为，，所以，
在长方体，求得，
故在三角形中，由余弦定理得，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：本题主要考查二面角的余弦值的求解，是中档题.求二面角的常用方法：
（1）找（确定二面角的平面角）
①点（定义法）：再二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直与棱的射线；
②线（三垂线定理）：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角；
③面（垂面法）：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即是二面角的平面角.
（2）求（求二面角的平面角的余弦值或正弦值）
①在三角形中，利用余弦定理求值；
②射影面积公式求值；
③利用公式法求值.
还可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值.

二、多选题
16．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（ ）

A．D1D⊥AF
B．A1G∥平面AEF
C．异面直线A1G与EF所成角的余弦值为
D．点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍
【答案】BCD
【分析】
利用正方体的性质，平移异面直线得到它们的平面角进而证D1D、AF是否垂直及求直线A1G与EF所成角的余弦值即可，利用等体积法可求G到平面AEF的距离与点C到平面AEF的距离的数量关系，利用线面平行的判定即可判断A1G、平面AEF是否平行.
【详解】
A选项，由，即与并不垂直，所以D1D⊥AF错误.
B选项，如下图，延长FE、GB交于G’连接AG’、GF，有GF//BE又E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，所以，而，即；又因为面 面=，且面，面，所以A1G∥平面AEF，故正确.

C选项，取中点，连接，由题意知与平行且相等，所以异面直线A1G与EF所成角的平面角为，若正方体棱长为2，则有，即在中有，故正确.

D选项，如下图若设G到平面AEF的距离、C到平面AEF的距离分别为、，则由且，知，故正确.

故选：BCD
【点睛】
思路点睛：求异面直线所成角时平移线段，将它们置于同一个平面，而证明线面平行主要应用线面平行的判定、线面垂直的性质证明.
1、平移：将异面直线置于同一平面且有一个公共点，结合其角度范围为.
2、线面平行判定：由直线平行该直线所在的一平面与对应平面的交线即可证线面平行.
3、由、即可求G、C到平面AEF的距离比.
17．在棱长为1的正方体中中，点P在线段上运动，则下列命题正确的是（ ）

A．异面直线和所成的角为定值
B．直线和平面平行
C．三棱锥的体积为定值
D．直线和平面所成的角为定值
【答案】ABC
【分析】
A：由正方体的性质判断平面，得出，异面直线与所成的角为90°；B：由，证明平面，即得平面；C：三棱锥的体积等于三棱锥的体积的体积，判断三棱锥的体积为定值；D：找出直线和平面所成的角，可知其不是定值.
【详解】
解：对于A，因为在正方体中，
，，
又，，平面，
所以平面，
而平面，所以，
故这两个异面直线所成的角为定值90°，所以A正确；
对于B，因为平面与面是同一平面，
，面，平面，
故平面，即平面，故B正确；
对于C，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
而平面为固定平面，且大小一定，
又因为，
因为，平面，平面，
所以平面，
所以点A到平面的距离即为点P到该平面的距离，为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故C正确；
对于D，由线面夹角的定义，令与的交点为O，
所以平面，

可得即为直线与平面所成的角，
当P移动时这个角是变化的，故D错误.
故选：ABC.
【分析】
本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定及性质，异面直线所成的角，直线与平面所成的角，空间中的距离，属于较难题.
18．世纪年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石，人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及他们的过渡形态. 其中立方八面体（如图所示）有条棱、个顶点，个面（个正方形、个正三角形），它是将立方体“切”去个“角”后得到的几何体.已知一个立方八面体的棱长为，则（ ）

A．它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为
B．它的任意两条不共面的棱所在的直线都互相垂直
C．它的体积为
D．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等
【答案】ACD
【分析】
利用立方八面体与正方体之间的关系计算出正方体的棱长，可判断A、C选项的正误；计算出不共面的棱所成角的大小可判断B选项的正误，计算相邻的两个面所成二面角的大小可判断D选项的正误.
【详解】
如下图所示，由题意可知，立方八面体的顶点为正方体各棱的中点，
故立方八面体的棱为正方体相邻两条棱的中点的连线，
故正方体的棱长为，
由对称性可知，立方八面体的外接球球心为正方体的中心，
外接球的直径为正方体的面对角线长，该球的半径为，A选项正确；
设、为立方八面体的两条不共面的棱，如下图所示，则，
在正方体中，且，则四边形为平行四边形，
，，由于，
易知为等边三角形，则，所以，与所成角为，B选项错误；
立方八面体的体积为，C选项正确；
设正方体底面的中心为点，连接交立方八面体的棱于点，
连接，则为的中点，且为等边三角形，所以，，
，为的中点，，
、分别为、的中点，则，，
所以，为立方八面体的底面与由平面所成二面角的平面角，
立方八面体的棱长为，，，，
平面，平面，，
在中，，
所以，，
同理可知，立方八面体的相邻两个面所成二面角的余弦值为，D选项正确.
故选：ACD.

【点睛】
作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
三、解答题
19．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD.∠BDC=90°，BC=1，BP=，PC=2.

（1）求证：CD⊥平面PBD；
（2）若BD与底面PBC所成的角为，求二面角B-PC-D的正切值.
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）由已知求解三角形证明，再由平面与平面垂直的性质可得平面，则，又由已知可得，利用直线与平面垂直的判定可得平面；
（2）证明为等腰直角三角形，得，取中点，连接，则，可得平面，过作，垂足为，连接，可得，则为二面角的平面角，求解三角形可得二面角的正切值．
【详解】
（1）证明：在中，由，，，
可得，，
又平面平面，且平面平面，平面，
平面，则，
又，，且，
平面；
（2）平面平面，平面，
在底面上的射影在上，则与底面所成的角为，
由已知得，为直角三角形，为等腰直角三角形，且，
取中点，连接，则，

又平面平面，且平面平面，平面，
平面，过作，垂足为，连接，可得，
则为二面角的平面角，
在等腰直角三角形中，由，可得，
由，可得，得，
在中，可得．
二面角的正切值为．
【点睛】
方法点睛：本题考查线面垂直的判定，考查二面角的求法，定义法找二面角归纳如下：
设平面与平面的交线为，空间中一点，
1. 点在平面内，但不在交线上：过作平面的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，连接，角为二面角的平面角；
2. 点在交线上：过在平面与平面内分别作垂直于交线的射线，角为二面角的平面角；
3. 点在两平面外：过作平面的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，过在平面内作交线的垂线，则角为二面角的平面角．
20．如图所示，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF是矩形，AB＝2，AF＝，△ABC是以A为直角的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一点，PF＝3.

（1）证明：AC⊥BF；
（2）求直线BC与平面PAC所成角的正切值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）要证明线线垂直，需证明线面垂直，利用题中的垂直关系，易证明平面；（2）由题中所给的长度，证明平面，即∠BCP为直线BC与平面PAC所成的角，在Rt△BCP中，求线面角的正切值.
【详解】
(1)证明：因为△ABC是以A为直角的等腰直角三角形，
所以AC⊥AB，
又平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC＝AB，
所以AC⊥平面ABEF.
因为BF⊂平面ABEF，所以AC⊥BF.
(2)在矩形ABEF中，AB＝2，AF＝2，
则BF＝4，又PF＝3，
所以FA2＝PF·BF，所以BF⊥AP，
由(1)知AC⊥BF，又AC∩AP＝A，所以BF⊥平面PAC，
则∠BCP为直线BC与平面PAC所成的角.
如图，过点P作PM∥AB交BE于点M，过点P作PN⊥AB于点N，
连接NC，

因为BF＝4，PF＝3，所以PB＝1，则，
所以PM＝BN＝，BM＝PN＝，AN＝AB－BN＝2－＝，
所以CN＝＝，PC＝＝.
在Rt△BCP中，tan∠BCP＝.
故直线BC与平面PAC所成角的正切值为.
【点睛】
方法点睛：本题考查计算线面角，注意包含以下方法：
1.利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角中的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
2.在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法解垂线段的长度，而不必画出线面角，利用/斜线段长，进行求角；
3.建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设是直线的方向向量，是平面的法向量，利用公式求解.
21．如图BC⊥BD，AB＝BD，∠ABD＝60°，平面BCD⊥平面ABD，E、F、G分别为棱AC、CD、AD中点.

（1）证明：EF⊥平面BCG；
（2）若BC＝4，且二面角A—BF—D的正切值为，求三棱锥G—BEF体积.（注意：本题用向量法求解不得分）
【答案】（1）证明见解析 （2）
【分析】
（1）由平面BCD⊥平面ABD，可得平面，从而可证平面，又 ，可证.
（2）过作于点，为的中点,过作于点，连接
, 可得平面,则,从而平面.从而为二面角A—BF—D的平面角，再求三角形边长进行计算得出答案.
【详解】
（1）由平面BCD⊥平面ABD，且平面BCD平面ABD
又BC⊥BD，平面，所以平面
又平面，则
又, 为中点，则
而,则平面
又E、F分别为棱AC、CD中点，则
所以EF⊥平面BCG；
（2）由AB＝BD，∠ABD＝60°，则为正三角形.
过作于点，为的中点,过作于点，连接
由平面BCD⊥平面ABD，且平面BCD平面ABD，可得平面.
所以,从而平面.
所以为二面角A—BF—D的平面角.
设，在中，
所以
则，则
所以为等腰直角，
由，平面,平面,则平面
则
所以三棱锥G—BEF体积为.

【点睛】
关键点睛：本题考查线面垂直的证明和根据二面角的大小解决体积问题，解答本题的关键是利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，由平面BCD⊥平面ABD，过作于点，可得平面，从而得出为二面角A—BF—D的平面角，属于中档题.
22．中，，，E，F分别是边，上的点，且，于H，，将沿折起，点A到达，此时满足面面．

（1）若，求直线与面所成角大小；
（2）若E，F分别为，中点，求锐二面角的余弦值；
（3）在（2）的条件下，求点B到面的距离．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）折叠过程中与保持垂直，由面面垂直的性质定理得平面，从而可得为直线与面所成角，解即可得；
（2）由（1）分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，写出点的坐标，求出二面角的两个面的法向量，由法向量夹角的余弦得二面角的余弦（注意锐二面角）；
（3）同样求出平面的一个法向量，由在法向量方向上的投影的绝对值即为点B到面的距离可得结论．
【详解】
（1）因为，，，，
所以为中点，，，，
所以，又平面平面，所以平面，
所以为直线与面所成角
若，由得，所以，，
，又，
，是锐角，所以；
（2）分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为E，F分别为，中点，则，，
，，，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，即，
平面的一个法向量为，
，
所以锐二面角的余弦值为．

（3）由（2），，，，
设平面的一个法向量为，则
，取，则，，即，
，
所以点B到面的距离为．
【点睛】
本题考查求直线与平面所成的角，考查用空间向量法求二面角，求点到平面的距离，解题关键是建立空间直角坐标系，求出平面的法向量．然后只要计算即可得．
23．在四棱锥中，，，，，，，，．

（1）求证：面；
（2）已知点F为中点，点P在底面上的射影为点Q，直线与平面所成角的余弦值为，当三棱锥的体积最大时，求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）在直角梯形中先求出，然后可求得，从而可证明，由线面垂直判定定理证明线面垂直；
（2）由（1）得面面垂直，知在上，为直线与平面所成的角，
，设（），求出三棱锥的体积，由二次函数知识求得最大值，及此时的值，得为中点，从而有，为异面直线与所成角（或补角），由余弦定理可得．
【详解】
（1）证明：，，，，，，
∴，又，∴，，，
由余弦定理得，
又，
∴，∴，
∵，又，平面，
∴平面．
（2）由（1）平面．平面，
∴平面平面，∴点在上，为直线与平面所成的角，
，
设（），则，，
，
，当且仅当时等号成立，
则当最大时，，∴为中点，
∵为中点，∴，
∴为异面直线与所成角（或补角），
，则由平面得，又，
则，
∴异面直线与所成角的余弦值为．

【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理，考查直线与平面所成的角，异面直线所成的角，三棱锥的体积等，旨在考查学生的空间想象能力，运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．
24．如图，已知四棱锥中，平面，，，，，是的中点.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） .
【分析】
（Ⅰ）要证明线面平行，需转化为证明线线平行，取中点，连，可证明四边形为平行四边形，从而证明；（Ⅱ）法一，连结，证明平面，即为所求；法二：是中点，连转化为求与平面的线面角.
【详解】
（Ⅰ）取中点，连.易知，且，，且,所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以.又因为，，所以

（Ⅱ）(一)连.由，，所以，.
在直角梯形上，.
.又，所以

又.，所以为直线与平面所成角
…
(二)设是中点，连因为，则，作，所以为，也即直线与平面所成角

【点睛】
方法点睛：1.利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角中的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
2.在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法解垂线段的长度，而不必画出线面角，利用/斜线段长，进行求角；
3.建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设是直线的方向向量，是平面的法向量，利用公式求解.
25．如图，在矩形ABCD中，，，沿对角线BD把折起，使点C移到点，且在平面ABD内的射影O恰好落在AB上．

（1）求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】
（1）证明：由面面垂直的判定可证得平面平面ABD．再由面面垂直、线面垂直的性质可得证；
（2）由线面垂直的判定可证得平面．再由面面垂直的判定可得证；
（3）由（2）知，由二面角的定义可得二面角的平面角是，解三角形可得答案．
【详解】
解：（1）证明：由题意得平面ABD．∵平面．∴平面平面ABD．
又，平面平面，
∴平面，∴；
（2）证明：∵，，，∴平面．
又平面，∴平面平面．
（3）由（2）知，在中，∴，∵，，∴二面角的平面角是，
∴，
∴二面角的余弦值是．
【点睛】
本题考查线面垂直、面面垂直的判定和性质，二面角的计算，属于中档题.关键在于作出二面角的平面角，常常有以下的方法，A：利用等腰(含等边)三角形底边的中点作平面角；B：利用面的垂线(三垂线定理或其逆定理)作平面角；C：利用与棱垂直的直线,通过作棱的垂面作平面角；D：利用无棱二面角的两条平行线作平面角.
26．如图，已知三棱锥中，，D为的中点.

（1）求证：；
（2）若，求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）取的中点E，连接，利用已知条件得到，，再利用线面垂直的判定定理证明平面，即可得证；（2）取的中点F，连接，过D作于H；先利用已知条件以及线面垂直的判定定理得到平面，进而得到，再利用线面垂直的判定定理得到平面，所以就是与平面所成角，利用已知条件求解即可.
【详解】
（1）取的中点E，连接.



∵，
∴ ，
∵D，E分别是的中点，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ 平面，
∴ .
（2）取的中点F，连接，
过D作于H.


∵，∴，
∵，∴，∴.
∵D，F分别是的中点，
∴，∴，
∵，∴，
∵，
∴平面，∴，
∵，
∴平面，
∴就是与平面所成角，
∵，
∴，
∴与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
方法点睛：求空间中直线与平面所成角的常见方法为：
（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；
（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；
（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.
27．如图，三棱柱中，平面，．

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析； （2）.
【分析】
（1）在中，根据勾股定理，证得，进而证得，结合线面垂直的判定定理，证得平面，即可得到；
（2）过点作，证得平面，在直角中，求得，进而得到点到平面的距离等于点到平面的距离，结合线面角的定义，即可求解.
【详解】
（1）连接，在中，因为，
由余弦定理，可得，
可得，所以，
又因为平面，平面，所以，
又由，且平面，
所以平面，又因为平面，所以；
（2）过点作于点，
在三棱柱中，，
因为平面，可得平面，
根据面面垂直的性质定理，可得平面，
在直角中，，可得，
又由，平面，所以平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，其距离，
又在矩形中，，可得，
设直线与平面所成角，可得
所以直线与平面所成角的正弦值为．

【点睛】
求解直线与平面所成角的方法：
1、定义法：根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值；
2、向量法：分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个向量方法向量的夹角（或补角）；
3、法向量法：求出斜线的方向向量和平面的法向量所夹的锐角，取其余角即为斜线与平面所成的角.
28．如图，在平面四边形中，，，绕旋转．

（1）若所在平面与所在平面垂直，求证：平面．
（2）若二面角大小为，求直线与平面所成角的正切值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）证明平面内的两条相交直线．
（2）先作出二面角的平面角，再找出直线与平面所成角的平面角，通过解三角形，即可得答案；
【详解】
（1），，
平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，
，，平面，平面，
，平面．

（2）取BC的中点N，连结，
设，则，
点M为中点，，
，，
为二面角的平面角，，
，，
，，
，，，
平面，为直线与平面所成角，
.

【点睛】
利用面面垂直的性质定理证明线面垂直，从而证明线面垂直；利用传统法求角时，要求按照一作、二证、三求的步骤.
29．如图，多面体中，四边形是菱形，，平面，

（1）求二面角的大小的正切值；
（2）求点到平面的距离；
（3）求直线与平面所成的角的正弦值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）过A作于点G，则为二面角的平面角，求其正切值即可；
（2）设点E到平面AFC的距离为h，利用等体积法计算即得结果；
（3）作于点H，则为直线FC与平面ABF所成的角，求其正弦值即可.
【详解】
解：（1）过A作于点G，连接FG，

四边形ABCD是菱形，，
为等边三角形，,.
平面ABCD，平面ABCD，，
又， ，平面AFG，-
为二面角的平面角，
；
连接AE，设点E到平面AFC的距离为h，
则， 即，
也就是，
解得：；
(3)作于点H，连接FH，为等边三角形，

为AB的中点，，
平面ABCD，平面ABCD，，
又，平面ABF，
为直线FC与平面ABF所成的角，
．
【点睛】
求空间中二面角的常见方法为：
（1）定义法：过一个平面上的一点作另一个平面的垂线，再往交线上作垂线，找到二面角的平面角，计算即可；
（2）向量法：利用两个平面的法向量，计算其夹角的余弦值，再判断
求空间中直线与平面所成角的常见方法为：
（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；
（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；
（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.
30．如图，三棱台中，，，四边形为等腰梯形，，平面平面．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）延长、、交于点，由平面平面推导出平面，进而可得出；
（Ⅱ）设，可得出，，，过点作，垂足为，计算出点到平面的距离，以及的长，即可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】
（I）延长、、交于点，
四边形为等腰梯形，，，则，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
由平面，可得，即；
（II），可知为的中点.
=
设，则，，，
由，，可得，，平面，
平面，，，
过点作，垂足为，
平面，平面，，
，，所以平面，
，，则到平面的距离，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了线面角正弦值的求解，考查计算能力，属于中等题.