人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆课后测评

椭圆典型例题

一、已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值．

二、 已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．

变题：已知椭圆的中心在原点，且经过点，离心率，求椭圆的标准方程

三、    椭圆的焦距为2，则m的值等于___________

四、    过点（3，-2）且与有相同焦点的椭圆_______________

五、 过椭圆C：的焦点引垂直于轴的弦，则弦长

变题(1)：椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则=_______________

变题（2）已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

六、 求经过点A(0,2)和B()的椭圆的标准方程_________________

变题：求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程．

七、椭圆的两个焦点F1、F2在x轴上，以| F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点为（3，4），求椭圆标准方程____________

八、已知点Ｐ在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点Ｐ到两个焦点的距离分别为，过Ｐ作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程______________

九、如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，

点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2

的值是           

十、   已知方程表示椭圆，求的取值范围．

变题：方程表示焦点在y轴上的椭圆，求k的范围。

十一、已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．

十二、曲线与曲线的__________相同

十三、已知椭圆的对称轴是坐标轴,以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形是正三角形,且焦点到椭圆上点的最短距离为,则此椭圆的方程为________________

十四. 椭圆的焦点为,点P为其上的动点,，当=时，P的横坐标为__________

   变题：当为钝角时,点P横坐标的取值范围是____________________.

十五、点P是椭圆上的一点, F1、F2是左、右焦点,且,求三角形的面积.

十六、 已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且。若的面积为9，则            .     

十七、 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．

十八、设、分别是椭圆的左、右焦点，若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值。

十九、如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O ，且，|BC|＝2|AC|．建立适当的坐标系，求椭圆方程.

二十、设椭圆的中心在原点,焦点在轴上, 离心率.已知点到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程.

二十一、设为椭圆的焦点，直线 平行于x轴交椭圆于A、B两点，则=_________

二十三 ．如图把椭圆的长轴AB分成8份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于,,……七个点，F是椭圆的一个焦点，则____________．

二十四、 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．

二十五、椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为___

椭圆标准方程典型例题

例1 已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值．

分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值．

解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得．

又，所以，适合．故．

例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．

变题：已知椭圆的中心在原点，且经过点，离心率，求椭圆的标准方程

分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，

求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．

解：当焦点在轴上时，设其方程为．

由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为．

当焦点在轴上时，设其方程为．

由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为．

1、   椭圆的焦距为2，则m的值等于_______5或3________

2、   过点（3，-2）且与有相同焦点的椭圆是 _______________

3、  过椭圆C：的焦点引垂直于轴的弦，则弦长为       

4、  求经过点A(0,2)和B()的椭圆的标准方程_________________

６.椭圆的两个焦点F1、F2在x轴上，以| F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点为（3，4），求椭圆标准方程____________

７、．已知点Ｐ在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点Ｐ到两个焦点的距离分别为，过Ｐ作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程_______；______

８、如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，

点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2

的值是           

例10           已知方程表示椭圆，求的取值范围．

解：由得，且．

∴满足条件的的取值范围是，且．

说明：本题易出现如下错解：由得，故的取值范围是．

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆．

例11           已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．

分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出的取值范围．

解：方程可化为．因为焦点在轴上，所以．

因此且从而．

说明：(1)由椭圆的标准方程知，，这是容易忽视的地方．

(2)由焦点在轴上，知，． (3)求的取值范围时，应注意题目中的条件．

例12　求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程．

分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，

可设其方程为(，)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．

解：设所求椭圆方程为(，)．由和两点在椭圆上可得

即所以，．故所求的椭圆方程为．

1．（2006年辽宁卷）曲线与曲线的_______相同

A

(A)焦距相等    (B) 离心率相等    (C)焦点相同   (D)准线相同

例3.已知椭圆的对称轴是坐标轴,以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形是正三角形,且焦点到椭圆上点的最短距离为,求此椭圆的方程,准线方程,离心率;

+

2.椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，

则=_______________ 

7. 椭圆的焦点为,点P为其上的动点,当

为钝角时,点P横坐标的取值范围是____________________.

10. 已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且

。若的面积为9，则            .     

例3点P是椭圆上的一点, F1、F2是左、右焦点,且,求三角形的面积.S= 

例6 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．

分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．

解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，

即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，

即．∴点的轨迹是以，为两焦点，

半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．

说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．

4．（07四川20）（本小题满分12分）设、分别是椭圆的左、右焦点.

（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;

解：（Ⅰ）解法一：易知

所以，设，则

因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值

当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值

11.如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O ，且，|BC|＝2|AC|．求椭圆方程.

11.解： 以O为原点，OA为X轴建立直角坐标系，设A（2，0），则椭圆方程为

 ∵O为椭圆中心，∴由对称性知|OC|＝|OB|

 又∵， ∴AC⊥BC

 又∵|BC|＝2|AC| ∴|OC|＝|AC|

 ∴△AOC为等腰直角三角形 

 ∴点C的坐标为（1，1）   ∴点B的坐标为（－1，－1）

 将C的坐标（1，1）代入椭圆方程得， 则求得椭圆方程为 

12.设椭圆的中心在原点,焦点在轴上, 离心率.已知点到这个椭圆上的点的最

远距离为,求这个椭圆方程.

12.解:设椭圆方程为, 为椭圆上的点,由得

    若, 则当时最大,即, ,故矛盾.

若时,时, ，所求方程为  

2．设为椭圆的焦点，直线 平行于x轴交椭圆于A、B两点，则=_________

6．如图把椭圆的长轴AB分成8份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于,,……七个点，F是椭圆的一个焦点，则____________．

6．根据椭圆的对称性知，，同理其余两对的和也是，

又，∴ =35

例9 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．

分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．

解：如图所示，椭圆的焦点为，．

点关于直线的对称点的坐标为（－9，6），直线的方程为．

解方程组得交点的坐标为（－5，4）．此时最小．

所求椭圆的长轴：，∴，又，

∴．因此，所求椭圆的方程为．

例15　椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为A．4　　　B．2　     　C．8　     　D．

说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．

(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．

例4 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即．

从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，，

可求出，，从而．

∴所求椭圆方程为或．

例5 已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）．

分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．

解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知：     ·．①

由椭圆定义知：    ②，则得     ．

故 ．

例7 已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，

求线段中点的轨迹方程．