人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆优秀练习

3.1.1椭圆及其标准方程同步练习人教   A版高中数学选择性必修第一册

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 椭圆的左、右顶点分别为，，点P是C上异于，的任意一点，且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 设定点，动点P满足条件其中a是正常数，则点P的轨迹是     

A. 椭圆 B. 线段 C. 椭圆或线段 D. 不存在

3. 过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P、Q两点，F是椭圆的一个焦点，则周长的最小值是     

A. 14 B. 16 C. 18 D. 20

4. 已知椭圆C的焦点为，过的直线与C交于A，B两点若，，则C的方程为 

A.  B.  C.  D.

5. 已知椭圆C的焦点为，过的直线与C交于A，B两点若，，则C的方程为 

A.  B.  C.  D.

6. 设B是椭圆C：的上顶点，点P在C上，则的最大值为

A.  B.  C.  D. 2

7. 已知椭圆C：的右焦点为F，点为椭圆C内一点若椭圆C上存在一点P，使得，则m的取值范围是   

A.  B. ， C.  D. ，

8. 已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：的半径，则椭圆的标准方程是     

A.  B.  C.  D.

9. 已知椭圆C：的离心率为，直线与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，且，则椭圆的方程为   

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知椭圆C的中心为原点O，为C的左焦点，P为C上一点，满足且，则椭圆C的方程为

A.
B.
C.
D.

11. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为

A.  B.  C.  D.

12. 如图所示，把椭圆的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，七个点，F是椭圆的左焦点，则等于 

A. 35 B. 30 C. 25 D. 20

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 已知椭圆的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则直线PF的斜率是          ．
14. 设A，B是椭圆长轴的两个端点若C上存在点M满足，则m的取值范围是          ．
15. 过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆上一点，且满足，则          ，的面积等于          
17. 已知椭圆C：的焦点为，，如果椭圆C上存在一点P，使得，且的面积等于4，则实数b的值为          ，实数a的取值范围为          ．
18. ，分别为椭圆的左、右焦点，P是C上的任意一点．则的最大值为          ；若，则的最小值为          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
    已知椭圆的中心在原点，，经过点，焦点在x轴上，求椭圆的标准方程；
    已知椭圆的中心在原点，过点和，求椭圆的标准方程．
    
    
    
    
    
    
     
20. 求分别满足下列条件的椭圆的标准方程．

经过，两点；

短轴长为10，离心率为．






 

21. 求过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知椭圆C：过点，且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合．
    求椭圆C的方程；
    已知点，点P是椭圆C上的一个动点，求的最值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知椭圆C中心在原点，焦点为，，且离心率．
    求椭圆C的标准方程；过的直线l交椭圆C于A，B两点，求的周长．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的几何意义，斜率的求法，熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式等是解题的关键．
由椭圆方程可知其左顶点，右顶点设，代入椭圆方程可得，利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的直线斜率的取值范围是，即可解出．

【解答】

解：由椭圆C：可知其左顶点，右顶点．
设，
则
，，
．
直线斜率的取值范围是，
直线斜率的取值范围是．
故选B．

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了椭圆的定义，考查了基本不等式的应用，属于基础题．
根据基本不等式求得的最小值，利用椭圆的定义进行判断可得答案．

【解答】

解：是正常数，
，当且仅当时取等号
当时，点P的轨迹是线段；
当时，点P的轨迹是椭圆，
故选C．

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了椭圆定义的应用，是基础题．
由题意画出图形，然后利用椭圆的对称性以及定义把的周长转化，则答案可求．

【解答】

解：如图，

由椭圆的定义知
由椭圆的对称性知，
有，而的最小值是2b，
，
，，
的周长的最小值为
故选：C．

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了椭圆的定义以及方程，余弦定理，属于中档题．
根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得，，可得椭圆的方程．

【解答】

解：，
，
又，
，
又，
，
，，
则，
所以A为椭圆短轴端点，
在中，，
在中，由余弦定理可得，
根据，可得，
解得，
，，
椭圆C的方程为：，
故选B．

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的定义、几何性质、直线与椭圆的位置关系及余弦定理，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
由椭圆定义可得， ，根据 ，  解得  ，．

【解答】

解：，
，
又，
，
又，
，
，，
所以点A为椭圆短轴端点，
在中，，
在中，由余弦定理可得，
根据，
可得，解得，
．
．
椭圆C的方程为：，
故选B．

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的简单性质，三角函数最值的求法，涉及二次函数求最值，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
求出B的坐标，设，利用两点间距离公式，结合三角函数的有界性及二次函数的最值，转化求解距离的最大值即可．

【解答】

解：B是椭圆C：的上顶点，所以，
点P在椭圆C上，设，，
所以
，
当时，取得最大值，最大值为．
故选：A．

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的定义和性质的运用，属于中档题．

设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义可得，即，可得，运用三点共线取得最值，解不等式可得m的范围，再由点在椭圆内部，可得所求范围．

【解答】

解：椭圆C：的右焦点，

左焦点为，

由椭圆的定义可得，

即，

可得，

由，

可得，

解得，所以，

又A在椭圆内，

所以，
所以，
解得或，

与取交集得，

故选A．

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆与圆的标准方程及其性质，属于基础题．
设椭圆的标准方程为，，由圆配方可得
，半径，可得，利用离心率，即可得出． 

【解答】

解：设椭圆的标准方程为，
由圆可得，半径，
，
离心率，
．
，
椭圆的标准方程是．
故答案选：A．

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的方程和离心率，属于简单题．
结合已知条件建立关系式求得，即可得到椭圆方程．

【解答】

解：因为椭圆C：的离心率为，
所以 
又因为直线与椭圆C交于A，B两点，
O为坐标原点，且，
所以代入得
又因为
联立解得，
所以椭圆的方程为．
故选D．
 

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的定义与方程，属于中档题．
设椭圆的右焦点为M，由知为直角三角形；由勾股定理计算可得；由椭圆的定义，可得a的值，可得；即可得答案．

【解答】

解：根据题意，设椭圆的右焦点为M，连接PM，如图：

则，
由知，，，
所以，
又由知，
，即．
又由，，
则，
则，
则，
又由，则，
则椭圆的方程为：，
故选：C．

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的定义与标准方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
利用的周长为，求出，根据离心率为，可得，进而求出b，即可得出椭圆的方程．

【解答】

解：的周长为，
且的周长，
，
，
离心率为，
，解得，
，
椭圆C的方程为．
故选C．

12.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了椭圆的概念和性质，即椭圆上的点到两个焦点距离之和是定值和椭圆的对称性，属于拔高题．
根据椭圆的对称性可得，然后根据椭圆方程即可得解．

【解答】

解：由题意可知：将长轴AB分成8等份，则和，和，和都是关于y 轴对称，
所以，，，，
所以．
故选A．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查椭圆的定义和方程、性质，注意运用三角形的中位线定理、余弦定理，属于中档题．
求得椭圆的a，b，c，设椭圆的右焦点为，连接，运用三角形的中位线定理和椭圆定理求得各边长，利用余弦定理求的余弦值，进而可求该角的正切值，即为直线PF的斜率．

【解答】

解：椭圆的，，，
设椭圆的右焦点为，连接，

线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆上，
连接AO，可得，
中，，，，
由余弦定理得
，
，
，即直线PF的斜率为．
故答案为．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的定义与性质，属于中档题．
方法一：对焦点位置分类讨论，当焦点在x轴上，过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，根据且点M在椭圆C上，即可解得m的取值范围，同理可得焦点在y轴上的m的取值范围；
方法二：对m分类讨论，当时，则，当时，则，即可求得m的取值范围．

【解答】

解：方法一：当椭圆焦点在x轴上时，则，点，
过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则，
故．
又，
且由，可得，
则．
解得．
又，即，
结合解得
对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得
则m的取值范围是

方法二：当时，焦点在x轴上，，要使C上存在点M满足，
则，即，
解得
当时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足，
则，即，
解得
故m的取值范围为
故答案为

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的方程和性质，考查列方程和解方程的运算能力，属于基础题．
求出椭圆的焦点，可得，可设所求椭圆方程，由a，b，c的关系，和点在椭圆上得到关于a，b的方程组，解出，，进而得到所求椭圆方程．

【解答】

解：椭圆的焦点为，
则所求椭圆的，
可设椭圆方程为，
则有，
再代入点，得，
，
由解得，，．
则所求椭圆方程为．
故答案为：．

16.【答案】4

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的定义、方程和性质，同时考查三角形的面积的求法，属于基础题．
求出椭圆的a，b，c，结合椭圆的定义，可得，再由等腰三角形的面积公式计算即可得到．

【解答】

解：椭圆的，，，
在中，，
由椭圆的定义可得，，
则的面积为．
故答案为4；．

17.【答案】2

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的定义以及焦点三角形的应用，考查分析推理与计算能力，属于拔高题．
由椭圆定义得，即，由已知可得，两式结合先求得，又由椭圆C上存在一点P，使得，则，得，问题得解．

【解答】

解：由椭圆的定义得，
所以，
因为的面积为4，且，
所以，
所以代入得，
又中，
所以，
所以，
所以，即，所以；
设椭圆C：的上顶点为B，
如果椭圆C上存在一点P，使得，则，，
则，得，
故答案为2，．

18.【答案】9

4

【解析】

【分析】

本题主要考查椭圆的定义，同时考查了基本不等式求最值，属于中档题．
首先根据题意得到，再利用基本不等式即可得到的最大值根据题意得到，从而得到，从而得到答案．

【解答】

解：由可得：，，

由椭圆定义可知，

，当时取等号．

．

，

又当且仅当P在线段上时取等号，

．

故答案为9；4．

19.【答案】解：由已知可设椭圆的方程为：，
代入已知点，可得，
所以椭圆的标准方程为，
设椭圆的方程为，
代入已知点可得：，解得，，
所以椭圆的标准方程为．
 

【解析】本题考查了椭圆的标准方程以及学生的运算能力．
设椭圆的方程为：，代入点，求出，从而得椭圆的标准方程．
设椭圆的方程为，代入点和，求出m，n，从而得椭圆的标准方程．
 

20.【答案】解：设该椭圆的方程为．
因为椭圆经过，两点，
所以解得，．
故所求椭圆的标准方程为．
因为椭圆的短轴长为10，所以，即．
因为该椭圆的离心率为，所以，所以．
因为，所以．
故所求椭圆的标准方程为或．
 

【解析】本题考查了椭圆标准方程和椭圆的性质及几何意义，是一般题．
设该椭圆的方程为，代点计算即可；
因为椭圆的短轴长为10，得因为该椭圆的离心率为，所以可得即可得出椭圆的标准方程．
 

21.【答案】解：椭圆化为，

焦点坐标为：，，

设所求椭圆的方程为，
所求椭圆与椭圆有相同焦点，

该椭圆的半焦距，即，

 ，

解得：，．

椭圆的标准方程为   

【解析】本题考查椭圆的标准方程，待定系数法是求椭圆的标准方程最基本的方法．
两个椭圆共焦点，求出已知椭圆的焦点坐标，借助c的值，得出所求椭圆的a，b关系，再利用椭圆过点的坐标，满足椭圆的方程，列出方程解方程组求出a，b，写出椭圆的方程．
 

22.【答案】解：由抛物线方程可得，则，
又，而，联立解得，，
所以椭圆的方程为；
设点P的坐标为，
则，所以，
所以


，，
所以当时，，
当时，．
 

【解析】本题考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，涉及到二次函数的性质，属于中档题．
由抛物线的焦点坐标得出c的值，然后再代入已知点即可求解；
设出点P的坐标，然后表示出，利用二次函数性质即可求解．
 

23.【答案】解：因为，，，
所以，
得到．
又椭圆的焦点在x轴上，
所以求椭圆的标准方程为
因为过的直线l交椭圆于两点，
根据椭圆的定义的周长等于．
 

【解析】本题考查椭圆的标准方程的求法，解题的关键是运用椭圆的定义，属于基础题．
根据椭圆的两个焦点坐标，得到a、c，再由a、c，求得b，从而得椭圆标准方程；
根据椭圆的定义可求．