专题6.12 平面向量及其应用全章综合测试卷（提高篇）-2023-2024学年高一数学下学期常考考点精讲精练（人教A版必修第二册）

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第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷（提高篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）（2023下·黑龙江哈尔滨·高一校考阶段练习）下列命题：①若|a|=|b|，则a=b；②a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b③若a∥b,b∥c，则a∥c；④若A､B､C､D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】根据向量共线的概念依次判断各选项即可得答案【解答过程】解：对于①，若|a|=|b|，则模相等，方向不一定相同，故错误；对于②，当a=−b时也满足|a|=|b|且a∥b，故错误；对于③，当b=0时，满足a∥b,b∥c，但a∥c不一定成立；对于④，若A､B､C､D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件，正确.故真命题的个数是1个.故选：B.2．（5分）（2023下·安徽亳州·高一亳州二中校考期中）已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，AB=4e1+2e2，BC=−e1+λe2，CD=e1+1−λe2，且A，C，D三点共线，则λ=（    ）A．12 B．2 C．4 D．14【解题思路】根据已知求出AC=3e1+λ+2e2.根据已知可得AC,CD共线，进而得出AC=μCD，代入向量整理得出方程组3−μ=0λ+2−μ+μλ=0，求解即可得出答案.【解答过程】由已知可得，AC=AB+BC=3e1+λ+2e2，CD=e1+1−λe2.因为A，C，D三点共线，所以AC,CD共线，则∃μ∈R，使得AC=μCD，即3e1+λ+2e2=μe1+μ1−λe2，整理可得3−μe1+λ+2−μ+μλe2=0.因为e1，e2不共线，所以有3−μ=0λ+2−μ+μλ=0，解得λ=14μ=3.故选：D.3．（5分）（2023·全国·高一专题练习）向量a=（1,3），b=3x−1,x+1，c=5,7，若a+b∥a+c，且c=ma+nb，则m+n的值为（    ）A．2 B．52 C．3 D．72【解题思路】先利用平面向量加减法的坐标运算和向量共线的坐标表示求出x=1，再利用向量的坐标表示得到关于m、n的方程组进行求解.【解答过程】由题意，得a+b=3x,x+4 ，a+c=6,10，因为a+b∥a+c，所以30x=6x+24，解得x=1，则c=ma+nb=m,3m+2n,2n=m+2n,3m+2n=5,7，即m+2n=53m+2n=7，解得m=1n=2，故m+n=3.故选：C.4．（5分）（2023上·天津东丽·高三校考阶段练习）如图，△ABC是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若AD=4，BD=2，点M为线段CE上的动点，则AM−BC⋅MD的最大值为（    ）  A．169 B．214 C．6 D．10【解题思路】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解.【解答过程】根据题意可得，∠FDE=∠DEF=∠EFD=60∘，所以∠CFB=∠AEC=∠BDA=120∘，又因为AD=4,BD=2，所以BF=CE=AD=4,BD=DF=CF=EF=AE=DE=2，设EM=λEC0≤λ≤1,则MC=1−λEC，所以MD=ME+ED=ED−EM=ED−2λEF，AM−BC=AC+CM−AC−AB=CM+AB =2λ−1EF+2ED−DF，所以AM−BC⋅MD=2λ−1EF+2ED−DF⋅ED−2λEF=−4λλ−1EF2+2λ−1ED⋅EF−4λEF⋅ED+2ED2+2λDF⋅EF−DF⋅ED=−16λλ−1+4λ−1−8λ+8+4λ+2=−16λ2+16λ+6=−16λ−122+10，令fλ=−16λ−122+10，当λ∈0,12单调递增，λ∈12,1单调递减，当λ=12，AM−BC⋅MD取最大值为10.故选：D.5．（5分）（2023上·天津武清·高三校考阶段练习）在△ABC中，BD=13BC，E是线段AD上的动点（与端点不重合），设CE=xCA+yCB，则2x+3y+xyxy的最小值是（    ）A．10 B．4 C．7 D．13【解题思路】由已知条件结合平面向量基本定理可得x+32y=1，x>0,y>0，则2x+3y+xyxy=2y+3x+1=2y+3xx+32y+1，化简后利用基本不等式可得答案.【解答过程】因为BD=13BC，所以CB=32CD，因为CE=xCA+yCB，所以CE=xCA+32yCD，因为A,D,E三点共线，所以x+32y=1，x>0,y>0，2x+3y+xyxy=2y+3x+1=2y+3xx+32y+1=2xy+3+3+9y2x+1=7+2xy+9y2x≥7+22xy⋅9y2x=13，当且仅当2xy=9y2xx+32y=1，即x=12y=13时取等.故选：D.6．（5分）（2023下·上海青浦·高一校考阶段练习）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列命题中，真命题的个数是（    ）（1）若a2tanB=b2tanA，则△ABC是等腰三角形；（2）若sinA=cosB，则△ABC是直角三角形；（3）若cosAcosBcosC0，所以B∈0,π2，所以A+B=π2或A=B+π2，故（2）错误；△ABC中，cosAcosBcosC