新高考数学一轮复习微专题专练29数列的概念（含详解）

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一、选择题
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )
A．－1，－2，－3，－4，…
B．－1，－ eq \f(1,2) ，－ eq \f(1,3) ，－ eq \f(1,4) ，…
C．－1，－2，－4，－8，…
D．1， eq \r(2) ， eq \r(3) ， eq \r(4) ，…， eq \r(10)
2．已知an＝ eq \f(n－1,n＋1) ，那么数列{an}是( )
A．递减数列 B．递增数列
C．常数列 D．摆动数列
3．在数列1，2， eq \r(7) ， eq \r(10) ， eq \r(13) ，…中，2 eq \r(19) 是这个数列的第( )
A．16项 B．24项
C．26项 D．28项
4．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an＋3，an为奇数，,2an＋1，an为偶数，)) 则a6＝( )
A．16 B．25
C．28 D．33
5．已知数列{an}，an＝－2n2＋λn.若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，6) B．(－∞，4]
C．(－∞，5) D．(－∞，3]
6．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝ eq \f(1＋an,1－an) (n∈N*)，则a2021＝( )
A．2 B．－3
C．－ eq \f(1,2) D． eq \f(1,3)
7．设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝ eq \f(a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) －2,an＋1) (n∈N*)，若数列{an}是常数列，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．(－1)n

8．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n))) ，则an＝( )
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋n ln n D．1＋n＋ln n
9．(多选)下面四个说法中错误的是( )
A．数列{ eq \f(n＋1,n) }的第k项为1＋ eq \f(1,k)
B．数列的项数是无限的
C．数列的通项公式的表达式是唯一的
D．数列1，3，5，7可以表示为{1，3，5，7}
二、填空题
10．数列{an}满足a1＝17，an＝an－1＋2n－1(n≥2，n∈N*)，则 eq \f(an,n) 的最小值是________．
11．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．
[能力提升]
12．数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式为________．
专练29 数列的概念
1．B A，B，C中的数列都是无穷数列，但是A，C中的数列是递减数列，故选B.
2．B ∵an＋1－an＝ eq \f(n,n＋2) － eq \f(n－1,n＋1)
＝ eq \f(n（n＋1）－（n－1）（n＋2）,（n＋1）（n＋2）) ＝ eq \f(2,（n＋1）（n＋2）) ，又n∈N*，
∴ eq \f(2,（n＋1）（n＋2）) ＞0，
即：an＋1－an＞0，∴an＋1＞an，∴{an}为递增数列．
3．C 数列可化为 eq \r(1) ， eq \r(3×1＋1) ， eq \r(3×2＋1) ， eq \r(3×3＋1) ， eq \r(3×4＋1) ，…，
∴an＝ eq \r(3（n－1）＋1) ＝ eq \r(3n－2) ，
由 eq \r(3n－2) ＝2 eq \r(19) ＝ eq \r(76) ，得n＝26.
4．C 当n＝1时，a2＝1＋3＝4；当n＝2时，a3＝2×4＋1＝9；当n＝3时，a4＝9＋3＝12；当n＝4时，a5＝2×12＋1＝25；当n＝5时，a6＝25＋3＝28.故选C.
5．A 由题意得an＋1－an＝－2(n＋1)2＋λ(n＋1)＋2n2－λn＝－4n－2＋λ＜0恒成立，∴－4－2＋λ＜0，∴λ＜6.
6．A ∵a1＝2，∴a2＝ eq \f(1＋2,1－2) ＝－3，a3＝ eq \f(1－3,1－（－3）) ＝－ eq \f(1,2) ，a4＝ eq \f(1－\f(1,2),1＋\f(1,2)) ＝ eq \f(1,3) ，a5＝ eq \f(1＋\f(1,3),1－\f(1,3)) ＝2＝a1，…
∴{an}为周期数列，且周期T＝4，∴a2021＝a1＝2.
7．A 因为数列{an}是常数列，所以a＝a2＝ eq \f(a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －2,a1＋1) ＝ eq \f(a2－2,a＋1) ，即a(a＋1)＝a2－2，解得a＝－2，故选A.
8．A 由an＋1＝an＋ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n))) 得
an＋1－an＝ln eq \f(n＋1,n) ＝ln (n＋1)－ln n，
∴当n≥2时，a2－a1＝ln 2－ln 1，a3－a2＝ln 3－ln 2，…，an－an－1＝ln n－ln (n－1)，
∴an－a1＝ln n，∴an＝ln n＋a1＝2＋ln n，
又当n＝1时，a1＝2＝2＋ln 1符合上式．
∴an＝2＋ln n．
9．BCD 根据数列的表示方法可知，求数列的第k项就是将k代入通项公式，经验证知A正确；数列的项数可能是有限的，也可能是无限的，并且数列的通项公式的表达式不是唯一的，故B，C不正确；集合中的元素具有无序性，而数列中每一个数的位置都是确定的，故D不正确．故选BCD.
10．8
解析：∵a1＝17，an＝an－1＋2n－1(n≥2，n∈N*)，
∴an－an－1＝2n－1，
∴a2－a1＝3，a3－a2＝5，a4－a3＝7，…，
an－an－1＝2n－1(n≥2，n∈N*)
以上各式相加得，an－a1＝3＋5＋7＋…＋2n－1，
整理得，an＝17＋ eq \f(（n－1）（2n＋2）,2) ＝n2＋16(n≥2，n∈N*).
又当n＝1时，a1＝17也适合上式，∴an＝n2＋16，
∴ eq \f(an,n) ＝n＋ eq \f(16,n) ≥2 eq \r(n·\f(16,n)) ＝8(当且仅当n＝4时取“＝”).
11. eq \f(n2＋n,2)
解析：由an＋1－an＝n＋1，∴当n≥2时，a2－a1＝1＋1＝2，
a3－a2＝2＋1＝3，a4－a3＝3＋1＝4，…，an－an－1＝n－1＋1＝n，
∵an－a1＝ eq \f(（2＋n）（n－1）,2) ，∴an＝ eq \f(n2＋n,2) (n≥2)，
又当n＝1时a1＝1也适合上式，∴an＝ eq \f(n2＋n,2) .
12．an＝2n－1
解析：由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴ eq \f(an＋1＋1,an＋1) ＝2，∴{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n，
∴an＝2n－1.