新高考数学一轮复习微专题专练06函数及其表示（含详解）

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一、选择题
1．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．f(x)＝|x|，g(x)＝ eq \r(x2)
B．f(x)＝ eq \r(x2) ，g(x)＝( eq \r(x) )2
C．f(x)＝ eq \f(x2－1,x－1) ，g(x)＝x＋1
D．f(x)＝ eq \r(x＋1) · eq \r(x－1) ，g(x)＝ eq \r(x2－1)
2．已知函数f( eq \r(x) ＋1)＝x＋1，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝x2＋1(x≥1)
C．f(x)＝x2－2x＋2(x≥1)
D．f(x)＝x2－2x(x≥1)
3．学生宿舍与办公室相距a m，某同学有重要材料要送给老师，从学生宿舍出发先匀速跑步3 min来到办公室，停留2 min，然后匀速步行10 min返回宿舍．在这个过程中，这位同学行走的路程s是关于时间t的函数，则这个函数的图象是( )
4．若函数y＝f(x)的定义域为[1，2 019]，则函数g(x)＝ eq \f(f（x＋1）,x－1) 的定义域为( )
A．[0，2 018] B．[0，1)∪(1，2 018]
C．(1，2 018] D．[－1，1)∪(1，2 018]
5．已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝x＋2，则函数f(x)＝( )
A．x＋1 B．2x－1
C．－x＋1 D．x＋1或－x－1
6．如图所表示的函数解析式为( )
A.y＝ eq \f(3,2) |x－1|，0≤x≤2
B．y＝ eq \f(3,2) － eq \f(3,2) |x－1|，0≤x≤2
C．y＝ eq \f(3,2) －|x－1|，0≤x≤2
D．y＝1－|x－1|，0≤x≤2
7．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x，x>0，,x＋2，x≤0，)) 若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－4 B．－1
C．1 D．4
8．已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[m，5]的值域是[－5，4]，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1，2]
C．[－1，2] D．[2，5]
9．(多选)下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A.f(x)＝|x| B．f(x)＝x＋1
C．f(x)＝－x D．f(x)＝x－|x|
二、填空题
10．函数f(x)＝ eq \r(lg2x－1) 的定义域为________.
11．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－2，x≤1，,－lg2（x＋1），x>1，)) 且f(a)＝－3，则f(6－a)＝________.
12．若函数y＝ eq \f(ax＋1,ax2＋2ax＋3) 的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
[能力提升]
13．(多选)[2023·山东潍坊期中]已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－4\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，0≤x≤1，,af（x－1），x＞1，)) 其中a∈R，下列关于函数f(x)的判断正确的为( )
A．当a＝2时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))) ＝4
B．当|a|＜1时，函数f(x)的值域为[－2，2]
C．当a＝2且x∈[n－1，n](n∈N*)时，f(x)＝2n－1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－4\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－\f(2n－1,2)))))
D．当a＞0时，不等式f(x)≤2ax－ eq \f(1,2) 在[0，＋∞)上恒成立
14．已知函数f(x)的定义域为(0，1)，g(x)＝f(x＋c)＋f(x－c)，当015．设函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－1（x≥0），,\f(1,x)（x<0），)) 若f(f(a))＝－ eq \f(1,2) ，则实数a＝________．
16．函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs \f(πx,2)，0专练6 函数及其表示
1．A
2．C 设 eq \r(x) ＋1＝t，则x＝(t－1)2(t≥1)，
∴f(t)＝(t－1)2＋1＝t2－2t＋2，
∴f(x)＝x2－2x＋2(x≥1).
3．A
4．B 由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1≤x＋1≤2 019，,x－1≠0，)) 得0≤x≤2 018且x≠1.
5．A 设f(x)＝ax＋b，由f(f(x))＝x＋2知，a(ax＋b)＋b＝x＋2，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝1，,ab＋b＝2，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1，)) ∴f(x)＝x＋1.
6．B 当x∈[0，1]时，f(x)＝ eq \f(3,2) x；
当1≤x≤2时，设f(x)＝kx＋b，
由题意得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＋b＝\f(3,2)，,2k＋b＝0，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(3,2)，,b＝3.))
∴当x∈[1，2]时，f(x)＝－ eq \f(3,2) x＋3.
结合选项知选B.
7．A f(1)＝2×1＝2，据此结合题意分类讨论：
当a>0时，2a＋2＝0，解得a＝－1，舍去；
当a≤0时，a＋2＋2＝0，解得a＝－4，满足题意．故选A.
8．C ∵f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
∴当x＝2时，f(2)＝4，由f(x)＝－x2＋4x＝－5，得x＝5或x＝－1，∴要使函数在[m，5]的值域是[－5，4]，则－1≤m≤2.
9．ACD A项中，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)，满足条件；B项中，f(2x)＝2x＋1，2f(x)＝2x＋2，f(2x)≠2f(x)，不满足条件；C项中，f(2x)＝－2x＝2f(x)，满足条件；
D项中，f(2x)＝2x－|2x|＝2x－2|x|＝2f(x)，满足条件．故选ACD.
10．[2，＋∞)
解析：由lg2x－1≥0得lg2x≥1，x≥2.
11．－ eq \f(3,2)
解析：当a≤1时，f(a)＝2a－2＝－3无解；
当a>1时，由f(a)＝－lg2(a＋1)＝－3，
得a＋1＝8，a＝7，
∴f(6－a)＝f(－1)＝2－1－2＝－ eq \f(3,2) .
12．[0，3)
解析：由题意得ax2＋2ax＋3＝0无实数解，即y＝ax2＋2ax＋3与x轴无交点，当a＝0时y＝3符合题意；当a≠0时，Δ＝4a2－12a<0，得013．AC 对于A选项，当a＝2时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))) ＝2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) ＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－4\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,2))))) ＝4，故A选项正确；
对于B选项，由于当0≤x≤1时，函数的值域为[0，2]，所以当x∈(m，m＋1]，m∈N*时，f(x)＝amf(x－m)，由于x－m∈(0，1]，所以f(x－m)∈[0，2]，因为|a|＜1，所以am∈(－1，1)，所以当x∈(m，m＋1]，m∈N*时，f(x)∈(－2，2)，综上，当|a|＜1时，函数f(x)的值域为(－2，2]，故B选项错误；
对于C选项，由B选项得当x∈(m，m＋1]，m∈N*时，f(x)＝amf(x－m)，故当a＝2且x∈[n－1，n](n∈N*)时，f(x)＝2n－1f(x－n＋1)＝2n－1· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2·4\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－n＋1－\f(1,2))))) ＝2n－1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－4\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－n＋\f(1,2))))) ＝2n－1· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－4\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－\f(2n－1,2))))) ，故C选项正确；
对于D选项，取a＝ eq \f(1,28) ，x＝ eq \f(3,4) ，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) ＝2－4× eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)－\f(1,2))) ＝1，2ax－ eq \f(1,2) ＝2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,28))) eq \s\up12(\f(3,4)－\f(1,2)) ＝2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,28))) eq \s\up6(\f(1,4)) ＝2×(2－8) eq \s\up6(\f(1,4)) ＝2×2－2＝ eq \f(1,2) ，不满足f(x)≤2ax－ eq \f(1,2) ，故D选项错误．
14．(c，1－c)
解析：要使函数式有意义，需 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(015．4或－ eq \f(1,2)
解析：若f(a)≥0，则f(a)＝1，此时只能是a>0，于是a＝4；若f(a)<0，则f(a)＝－2，此时只能是a<0，于是a＝－ eq \f(1,2) (若a>0，由 eq \f(a,2) －1＝－2，解得a＝－2不满足题意).
16. eq \f(\r(2),2)
解析：由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－1＋\f(1,2))) ＝ eq \f(1,2) ，所以f(f(15))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) ＝cs eq \f(π,4) ＝ eq \f(\r(2),2) ．