新高考数学一轮复习微专题专练13函数与方程（含详解）

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一、选择题
1．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则g(x)＝bx2－ax－1的零点是( )
A．－1和 eq \f(1,6) B．1和－ eq \f(1,6)
C． eq \f(1,2) 和 eq \f(1,3) D．－ eq \f(1,2) 和－ eq \f(1,3)
2．方程lg4x＋x＝7的根所在区间是( )
A．(1，2) B．(3，4)
C．(5，6) D．(6，7)
3．函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,lg x－1，x>0，)) 的所有零点之和为( )
A．7 B．5
C．4 D．3
4．设函数f(x)＝ eq \f(1,3) x－ln x，则函数y＝f(x)( )
A.在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1)) ，(1，e)内均有零点
B．在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1)) ，(1，e)内均无零点
C．在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1)) 内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1)) 内无零点，在区间(1，e)内有零点
5．若幂函数f(x)＝xα的图象过点(2， eq \r(2) )，则函数g(x)＝f(x)－3的零点是( )
A． eq \r(3) B．9
C．( eq \r(3) ，0) D．(9，0)
6．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x＋lg2x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为( )
A．b＞c＞a B．b＞a＞c
C．a＞b＞c D．c＞b＞a
7．函数f(x)＝x eq \f(1,2) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) 的零点的个数为( )
A.0 B．1
C．2 D．3
8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )
A．{1，3}
B．{－3, －1，1，3}
C．{2－ eq \r(7) ，1，3}
D．{－2－ eq \r(7) ，1，3}
9．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(kx＋2，x≤0，,ln x，x>0)) (k∈R)，若函数y＝|f(x)|＋k有三个零点，则实数k满足( )
A. k≤2 B．－1C．－2≤k<－1 D．k≤－2
二、填空题
10．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________.
11．设函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－x－2，x≤0，,\r(x)，x>0，)) 若f(x0)＝1，则x0＝________.
12．已知偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，若在区间[－1，3]内，函数g(x)＝f(x)－lga(x＋2)有3个零点，则实数a的取值范围是________．
[能力提升]
13．对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是( )
A．[2，4] B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(7,3)))
C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，3)) D．[2，3]
14．(多选)[2023·广东适应性测试]设三个函数y＝2x＋x－2，y＝lg2x＋x－2和y＝x3－3x2＋3x－1的零点分别为x1，x2，x3，则有( )
A．x1x2＜x3 B．x1x2＞x3
C．x1＋x2＝2x3 D．x1＋x2≥2x3
15．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2（x＋1），x>0，,－x2－2x，x≤0，)) 若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
16．已知λ∈R，函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－4，x≥λ，,x2－4x＋3，x<λ.)) 当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．
专练13 函数与方程
1．B 由题意得x2－ax＋b＝0有两根2，3.
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＋3＝a，,2×3＝b，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝6.))
由bx2－ax－1＝0，得6x2－5x－1＝0，
得x＝－ eq \f(1,6) 或x＝1.
2．C 令f(x)＝lg4x＋x－7，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且函数在(0，＋∞)上连续．因为f(5)<0，f(6)>0，所以f(5)f(6)<0，所以函数f(x)＝lg4x＋x－7的零点所在的区间为(5，6)，即方程lg4x＋x＝7的根所在区间是(5，6).故选C.
3．A 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3＝0，,x≤0，)) 得x1＝－3，由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg x－1＝0，,x>0，)) 得x2＝10，∴函数f(x)的所有零点之和为10－3＝7.
4．D ∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e))) ＝ eq \f(1,3e) ＋1>0，
f(1)＝ eq \f(1,3) >0，f(e)＝ eq \f(e,3) －1<0，
∴f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1)) 内无零点，在(1，e)内有零点．
5．B ∵幂函数f(x)＝xα的图象过点(2， eq \r(2) )，∴f(2)＝2α＝ eq \r(2) ，解得α＝ eq \f(1,2) ，∴f(x)＝x eq \s\up6(\f(1,2)) ，∴函数g(x)＝f(x)－3＝x eq \s\up6(\f(1,2)) －3.令g(x)＝x eq \s\up6(\f(1,2)) －3＝0，得x＝9，∴g(x)＝f(x)－3的零点是9.故选B.
6．A 在同一坐标系中画出y＝2x和y＝－x的图象，可得a＜0，用同样的方法可得b＞0，c＝0，所以b＞c＞a，故选A.
7．B ∵函数f(x)＝x eq \f(1,2) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) 为单调增函数，且f(0)＝－1<0，f(1)＝ eq \f(1,2) >0, ∴f(x)在(0，1)内有一个零点．
8．D 当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－3x，
∴g(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－4x＋3，x≥0，,－x2－4x＋3，x<0，))
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－4x＋3＝0，,x≥0，))
得x＝1或x＝3；
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2－4x＋3＝0，,x<0，)) 得x＝－2－ eq \r(7) ，故选D.
9．D
由于|f(x)|≥0，故必须－k≥0，即k≤0，显然k＝0时两个函数图象只有一个公共点，所以k<0，f(x)＝kx＋2恒过点(0，2)，要使y＝|f(x)|与y＝－k的图象有三个公共点(如图所示)，只要－k≥2，即k≤－2即可．故选D.
10. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))
解析：当a＝0时，函数f(x)＝1在(－1，1)上没有零点，所以a≠0.所以函数f(x)是单调函数，要满足题意，只需f(－1)f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)(3a－1)<0，解得 eq \f(1,3) 11．±1
解析：由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－x0－2＝1，,x0≤0)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(x0)＝1，,x0>0，)) 得x0＝±1.
12．(3，5)
解析：∵偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，
∴函数f(x)的周期为2.在区间[－1，3]内函数g(x)＝f(x)－lga(x＋2)有3个零点等价于f(x)的图象与y＝lga(x＋2)的图象在区间[－1，3]内有3个交点．当01且lga(1＋2)<1，lga(3＋2)>1，解得a∈(3，5).
13．D 易知函数f(x)＝ex－1＋x－2的零点为x＝1，则α＝1，设函数g(x)＝x2－ax－a＋3的一个零点为β，若函数f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”，根据定义，得|1－β|≤1，解得0≤β≤2.作出函数g(x)＝x2－ax－a＋3的图象(图略)，因为g(－1)＝4，要使函数g(x)在区间[0，2]内存在零点，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(g（0）≥0，,g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))≤0，,0<\f(a,2)<2，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－a＋3≥0，,\f(a2,4)－\f(a2,2)－a＋3≤0，,014．AC 因为y＝x3－3x2＋3x－1，所以y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，所以y＝x3－3x2＋3x－1在R上是增函数，又当x＝1时y＝13－3×12＋3×1－1＝0，所以x3＝1.作出y＝2x，y＝lg2x，y＝2－x三个函数的图象如图所示，
其中A(x1，y1)，B(x2，y2)分别是函数y＝2x，y＝lg2x的图象与直线y＝2－x的交点．因为指数函数y＝ax与y＝lgax的图象关于直线y＝x对称，且y＝2－x也关于y＝x对称，所以交点A，B关于直线y＝x对称，所以 eq \f(x1＋x2,2) ＝ eq \f(y1＋y2,2) ，即2－x1＋2－x2＝x1＋x2，所以x1＋x2＝2＝2x3，再由基本不等式及x1≠x2得x1x2＜ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2))) eq \s\up12(2) ＝1＝x3(0＜x1＜x2).故选AC.
15．(0，1)
解析：函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，等价于y＝f(x)与y＝m有三个交点，画出y＝f(x)的图象，其中抛物线的顶点为(－1，1)，由图可知，当016．(1，4) (1，3]∪(4，＋∞)
解析：当λ＝2时，不等式f(x)<0等价于
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥2，,x－4<0)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x<2，,x2－4x＋3<0，))
即2≤x<4或1故不等式f(x)<0的解集为(1，4).
易知函数y＝x－4(x∈R)有一个零点x1＝4，
函数y＝x2－4x＋3(x∈R)有两个零点x2＝1，x3＝3.
在同一坐标系中作出这两个函数的图象(图略)，要使函数f(x)恰有2个零点，则只能有以下两种情形：①两个零点为1，3，由图可知，此时λ>4.②两个零点为1，4，由图可知，此时1<λ≤3.
综上，λ的取值范围为(1，3]∪(4，＋∞).