新高考数学一轮复习微专题专练27高考大题专练(二)　解三角形的综合运用（含详解）

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(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
2．△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinB sin C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
3.[2023·新课标Ⅱ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为 eq \r(3) ，D为BC的中点，且AD＝1.
(1)若∠ADC＝ eq \f(π,3) ，求tan B；
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
4．[2022·新高考Ⅰ卷，18]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 eq \f(cs A,1＋sin A) ＝ eq \f(sin 2B,1＋cs 2B) .
(1)若C＝ eq \f(2π,3) ，求B；
(2)求 eq \f(a2＋b2,c2) 的最小值．
5.[2023·全国乙卷(理)]在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.
(1)求sin ∠ABC；
(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．
6．[2023·河北石家庄模拟]在①cs C＝ eq \f(\r(21),7) ，②a sin C＝c cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,6))) ，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答．
问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝ eq \f(π,3) ，D是边BC上一点，BD＝5，AD＝7，且________，试判断CD和BD的大小关系________．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sinB sin C.
(1)求A；
(2)若 eq \r(2) a＋b＝2c，求sin C．
8．[2022·全国乙卷(理)，17]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin (A－B)＝sin B sin (C－A).
(1)证明：2a2＝b2＋c2；
(2)若a＝5，cs A＝ eq \f(25,31) ，求△ABC的周长．
专练27 高考大题专练(二) 解三角形的综合运用
1．解析：方法一 (1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝ eq \f(π,4) .
因为2sin (A－C)＝sin B，
所以2sin (A－ eq \f(π,4) )＝sin ( eq \f(3π,4) －A)，
展开并整理得 eq \r(2) (sin A－cs A)＝ eq \f(\r(2),2) (cs A＋sin A)，
得sin A＝3cs A，
又sin2A＋cs2A＝1，且sinA>0，
所以sin A＝ eq \f(3\r(10),10) .
(2)由正弦定理 eq \f(BC,sin A) ＝ eq \f(AB,sin C) ，
得BC＝ eq \f(AB,sin C) ×sin A＝ eq \f(5,\f(\r(2),2)) × eq \f(3\r(10),10) ＝3 eq \r(5) ，
由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cs C，
得52＝AC2＋(3 eq \r(5) )2－2AC·3 eq \r(5) cs eq \f(π,4) ，
整理得AC2－3 eq \r(10) AC＋20＝0，
解得AC＝ eq \r(10) 或AC＝2 eq \r(10) ，
由(1)得，tan A＝3> eq \r(3) ，所以 eq \f(π,3) eq \f(π,4) ，
即C0，所以A为锐角，所以cs A＝ eq \f(\r(10),10) ，
所以sin B＝sin ( eq \f(3π,4) －A)＝ eq \f(\r(2),2) (cs A＋sin A)＝ eq \f(\r(2),2) ×( eq \f(\r(10),10) ＋ eq \f(3\r(10),10) )＝ eq \f(2\r(5),5) ，
由正弦定理 eq \f(AC,sin B) ＝ eq \f(AB,sin C) ，
得AC＝ eq \f(AB·sin B,sin C) ＝ eq \f(5×\f(2\r(5),5),\f(\r(2),2)) ＝2 eq \r(10) ，
故AB边上的高为AC×sin A＝2 eq \r(10) × eq \f(3\r(10),10) ＝6.
2．解析：(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cs A．②
由①②得cs A＝－ eq \f(1,2) .因为0