2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练13函数与方程
展开一、选择题
1.若函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3,则g(x)=bx2-ax-1的零点是( )
A.-1和 eq \f(1,6) B.1和- eq \f(1,6)
C. eq \f(1,2)和 eq \f(1,3) D.- eq \f(1,2)和- eq \f(1,3)
答案:B
解析:由题意得x2-ax+b=0有两根2,3.
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2+3=a,,2×3=b,))得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a=5,,b=6.))
由bx2-ax-1=0,得6x2-5x-1=0,
得x=- eq \f(1,6)或x=1.
2.方程lg4x+x=7的根所在区间是( )
A.(1,2) B.(3,4)
C.(5,6) D.(6,7)
答案:C
解析:令f(x)=lg4x+x-7,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且函数在(0,+∞)上连续.因为f(5)<0,f(6)>0,所以f(5)f(6)<0,所以函数f(x)=lg4x+x-7的零点所在的区间为(5,6),即方程lg4x+x=7的根所在区间是(5,6).故选C.
3.函数f(x)= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2+2x-3,x≤0,,lg x-1,x>0,))的所有零点之和为( )
A.7 B.5 C.4 D.3
答案:A
解析:由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2+2x-3=0,,x≤0,))得x1=-3,由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg x-1=0,,x>0,))得x2=10,∴函数f(x)的所有零点之和为10-3=7.
4.设函数f(x)= eq \f(1,3)x-ln x,则函数y=f(x)( )
A.在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e),1)),(1,e)内均有零点
B.在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e),1)),(1,e)内均无零点
C.在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e),1))内有零点,在区间(1,e)内无零点
D.在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e),1))内无零点,在区间(1,e)内有零点
答案:D
解析:∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))= eq \f(1,3e)+1>0,
f(1)= eq \f(1,3)>0,f(e)= eq \f(e,3)-1<0,
∴f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e),1))内无零点,在(1,e)内有零点.
5.若幂函数f(x)=xα的图象过点(2, eq \r(2)),则函数g(x)=f(x)-3的零点是( )
A. eq \r(3) B.9
C.( eq \r(3),0) D.(9,0)
答案:B
解析:∵幂函数f(x)=xα的图象过点(2, eq \r(2)),∴f(2)=2α= eq \r(2),解得α= eq \f(1,2),∴f(x)=x eq \s\up6(\f(1,2)),∴函数g(x)=f(x)-3=x eq \s\up6(\f(1,2))-3.令g(x)=x eq \s\up6(\f(1,2))-3=0,得x=9,∴g(x)=f(x)-3的零点是9.故选B.
6.已知函数f(x)=2x+x,g(x)=x+lg2x,h(x)=x3+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系为( )
A.b>c>a B.b>a>c
C.a>b>c D.c>b>a
答案:A
解析:在同一坐标系中画出y=2x和y=-x的图象,可得a<0,用同样的方法可得b>0,c=0,所以b>c>a,故选A.
7.函数f(x)=x eq \f(1,2)- eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)的零点的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
答案:B
解析:∵函数f(x)=x eq \f(1,2)- eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)为单调增函数,且f(0)=-1<0,f(1)= eq \f(1,2)>0, ∴f(x)在(0,1)内有一个零点.
8.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( )
A.{1,3}
B.{-3, -1,1,3}
C.{2- eq \r(7),1,3}
D.{-2- eq \r(7),1,3}
答案:D
解析:当x<0时,f(x)=-f(-x)=-x2-3x,
∴g(x)= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2-4x+3,x≥0,,-x2-4x+3,x<0,))
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2-4x+3=0,,x≥0,))
得x=1或x=3;
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-x2-4x+3=0,,x<0,))得x=-2- eq \r(7),故选D.
9.已知函数f(x)= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(kx+2,x≤0,,ln x,x>0))(k∈R),若函数y=|f(x)|+k有三个零点,则实数k满足( )
A.k≤2 B.-1
答案:D
解析:
由于|f(x)|≥0,故必须-k≥0,即k≤0,显然k=0时两个函数图象只有一个公共点,所以k<0,f(x)=kx+2恒过点(0,2),要使y=|f(x)|与y=-k的图象有三个公共点(如图所示),只要-k≥2,即k≤-2即可.故选D.
二、填空题
10.函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是________.
答案: eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3),1))
解析:当a=0时,函数f(x)=1在(-1,1)上没有零点,所以a≠0.所以函数f(x)是单调函数,要满足题意,只需f(-1)f(1)<0,即(-3a+1)·(1-a)<0,所以(a-1)(3a-1)<0,解得 eq \f(1,3)11.设函数f(x)= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3-x-2,x≤0,,\r(x),x>0,))若f(x0)=1,则x0=________.
答案:±1
解析:由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3-x0-2=1,,x0≤0))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(x0)=1,,x0>0,))
得x0=±1.
12.已知偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),且当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-lga(x+2)有3个零点,则实数a的取值范围是________.
答案:(3,5)
解析:∵偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)且当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,
∴函数f(x)的周期为2.在区间[-1,3]内函数g(x)=f(x)-lga(x+2)有3个零点等价于f(x)的图象与y=lga(x+2)的图象在区间[-1,3]内有3个交点.当01且lga(1+2)<1,lga(3+2)>1,解得a∈(3,5).
[能力提升]
13.对于函数f(x)和g(x),设α∈{x|f(x)=0},β∈{x|g(x)=0},若存在α,β,使得|α-β|≤1,则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”.若函数f(x)=ex-1+x-2与g(x)=x2-ax-a+3互为“零点相邻函数”,则实数a的取值范围是( )
A.[2,4] B. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2,\f(7,3)))
C. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,3),3)) D.[2,3]
答案:D
解析:易知函数f(x)=ex-1+x-2的零点为x=1,则α=1,设函数g(x)=x2-ax-a+3的一个零点为β,若函数f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”,根据定义,得|1-β|≤1,解得0≤β≤2.作出函数g(x)=x2-ax-a+3的图象(图略),因为g(-1)=4,要使函数g(x)在区间[0,2]内存在零点,则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(g(0)≥0,,g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))≤0,,0<\f(a,2)<2,))即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-a+3≥0,,\f(a2,4)-\f(a2,2)-a+3≤0,,014.(多选)[2024·广东适应性测试]设三个函数y=2x+x-2,y=lg2x+x-2和y=x3-3x2+3x-1的零点分别为x1,x2,x3,则有( )
A.x1x2<x3 B.x1x2>x3
C.x1+x2=2x3 D.x1+x2≥2x3
答案:AC
解析:因为y=x3-3x2+3x-1,所以y′=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,所以y=x3-3x2+3x-1在R上是增函数,又当x=1时y=13-3×12+3×1-1=0,所以x3=1.作出y=2x,y=lg2x,y=2-x三个函数的图象如图所示,
其中A(x1,y1),B(x2,y2)分别是函数y=2x,y=lg2x的图象与直线y=2-x的交点.因为指数函数y=ax与y=lgax的图象关于直线y=x对称,且y=2-x也关于y=x对称,所以交点A,B关于直线y=x对称,所以 eq \f(x1+x2,2)= eq \f(y1+y2,2),即2-x1+2-x2=x1+x2,所以x1+x2=2=2x3,再由基本不等式及x1≠x2得x1x2< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1+x2,2))) eq \s\up12(2)=1=x3(0<x1<x2).故选AC.
15.已知函数f(x)= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2(x+1),x>0,,-x2-2x,x≤0,))若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是________.
答案:(0,1)
解析:函数g(x)=f(x)-m有3个零点,等价于y=f(x)与y=m有三个交点,画出y=f(x)的图象,其中抛物线的顶点为(-1,1),由图可知,当0
答案:(1,4) (1,3]∪(4,+∞)
解析:当λ=2时,不等式f(x)<0等价于
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥2,,x-4<0))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x<2,,x2-4x+3<0,))
即2≤x<4或1
易知函数y=x-4(x∈R)有一个零点x1=4,
函数y=x2-4x+3(x∈R)有两个零点x2=1,x3=3.
在同一坐标系中作出这两个函数的图象(图略),要使函数f(x)恰有2个零点,则只能有以下两种情形:①两个零点为1,3,由图可知,此时λ>4.②两个零点为1,4,由图可知,此时1<λ≤3.
综上,λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).
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