专题01 数轴中的数形结合-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【学霸笔记】
1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.
正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数.
【典例】
已知a、b在数轴上的位置如图所示，试比较的大小，并用“＜”连接.
【解答】由题意，在数轴上分别画出所对应的点，如图所示：
由数轴可得.
PS：此题也可以通过特殊值的进行比较大小.
【巩固】
已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法：①ab+ac＞0；②a+b﹣c＞0；③a|a|+b|b|+c|c|=1；④|a﹣b|﹣|c+b|+|a﹣c|＝﹣2b．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】C
【解析】由题意得b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|，|b|＞|a|
∴①ab+ac＞0；故原结论正确；
②a+b﹣c＜0；故原结论错误；
③a|a|+b|b|+c|c|=1﹣1+1＝1，故原结论正确；
④|a﹣b|﹣|c+b|+|a﹣c|＝a﹣b﹣c﹣b﹣a+c＝﹣2b；故原结论正确；
故正确结论有①③④，共3个．
故选：C．
二、数轴上的距离问题
【学霸笔记】
1.数轴上任意两点间的距离可以用绝对值表示，即两点所表示的数的差的绝对值，如图所示，A、B间的距离.
2.数轴上互为相反数的点在原点两侧，且到原点的距离相等，如图所示：
若，则，反之亦成立.
【典例】如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数a、b、c、d，且d﹣2a＝9，那么数轴的原点应是（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
【解答】B
【解析】根据题意，知d﹣a＝7，即d＝a+7，
将d＝a+7代入d﹣2a＝9，得：a+7﹣2a＝9，
解得：a＝﹣2，
∴A点表示的数是﹣2，
则B点表示原点．
故选：B．
【巩固】在数轴上，若N点与原点的距离是N点与30所对应点之间的4倍，则N点表示的数是 .
【解答】40或24
【解析】设N点表示的数为x，
由题意可得，即或，
解得或，
即N点表示的数是40或24.
三、数轴上的动点问题
【典例】如图所示，A是数轴上表示﹣30的点，B是数轴上表示10的点，C是数轴上表示18的点，点A，B，C在数轴上同时向数轴的正方向运动，点A运动的速度是6个单位长度/秒，点B和点C运动的速度都是3个单位长度/秒，设三个点运动的时间为t（秒）
（1）当t为何值时，线段AC＝6（单位长度）？
（2）当t≠5时，设线段OA的中点为P，线段OB的中点M，线段OC的中点为N，求2PM﹣PN＝2时t的值．
【解答】见解析
【解析】（1）A，B，C三个点在数轴上同时向数轴正方向运动，
当点A运动到点C左侧时，
∵线段AC＝6，
∴6+6t＝30+18+3t，
解得：t＝14；
当点A运动到点C右侧时，
则6t﹣6＝30+18+3t，
解得：t＝18；
故当t为14或18秒时，线段AC＝6；
（2）当A，B，C三个点在数轴上同时向数轴正方向运动t秒时，
A，B，C三个点在数轴上表示的数分别为：6t﹣30，10+3t，18+3t，
∵P，M，N分别为OA，OB，OC的中点，
∴P，M，N三个点在数轴上表示的数分别为：6t-302，10+3t2，18+3t2，
∴M在N左边．
①若P在M，N左边，则PM=10+3t2-6t-302=20﹣1.5t，PN=18+3t2-6t-302=24﹣1.5t．
∵2PM﹣PN＝2，
∴2（20﹣1.5t）﹣（24﹣1.5t）＝2，
∴t=283；
②若P在M，N之间，则PM=6t-302-10+3t2=-20+1.5t，PN=18+3t2-6t-302=24﹣1.5t．
∵2PM﹣PN＝2，
∴2（﹣20+1.5t）﹣（24﹣1.5t）＝2，
∴t=443；
③若P在M，N右边，则PM=6t-302-10+3t2=-20+1.5t，PN=6t-302-18+3t2=-24+1.5t．
∵2PM﹣PN＝2，
∴2（﹣20+1.5t）﹣（﹣24+1.5t）＝2，
∴t＝12，
但是此时PM＝﹣20+1.5t＜0，所以此种情况不成立，
∴t=283或443．
【巩固】如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，且a、b满足（a﹣10）2+|b+6|＝0．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点A表示的数是 ，点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含t的式子表示）；
（2）当点P在点B的左侧运动时，M、N分别是PA、PB的中点，求PM﹣PN的值；
（3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？
【解答】解：（1）∵（a﹣10）2+|b+6|＝0，
∴a﹣10＝0，b+6＝0，
∴a＝10，b＝﹣6，
∴点A表示的数是10，点B表示的数是﹣6，点P表示的数是10﹣8t；
故答案为：10，﹣6，10﹣8t；
（2）∵点P在点B的左侧运动，M、N分别是PA、PB的中点，
∴M表示的数是10﹣4t，N表示的数是2﹣4t，
∴PM＝（10﹣4t）﹣（10﹣8t）＝4t，PN＝（2﹣4t）﹣（10﹣8t）＝4t﹣8，
∴PM﹣PN＝4t﹣（4t﹣8）＝8；
（3）∵动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴Q表示的数是﹣6﹣4t，
又点P表示的数是10﹣8t；
∵P、Q两点相距4个单位长度，
∴|（﹣6﹣4t）﹣（10﹣8t）|＝4，
∴4t﹣16＝4或4t﹣16＝﹣4，
解得t＝5或t＝3，
答：点P运动5秒或3秒时，P、Q两点相距4个单位长度．
巩固练习
1．如图，在数轴上有六个点，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则与点C所表示的数最接近的整数是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【解答】解：由A、F两点所表示的数可知，AF＝11+5＝16，
∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，
∴EF＝16÷5＝3.2，
∴E点表示的数为：11﹣3.2＝7.8；点C表示的数为：7.8﹣﹣3.2﹣3.2＝1.4；
∴与点C所表示的数最接近的整数是1．
故选：C．
2．甲、乙两队举行拔河比赛，标志物先向乙队方向移动0.2米，又向甲队方向移动0.5米，相持一会儿，又向乙队方向移动0.4米，随后又向甲队方向移动1.3米，在大家的欢呼鼓励中，标志物又向甲队移动0.9米，若规定标志物向某队方向2米该队即可获胜，那么现在 队赢了．
【解答】解：把拔河绳看作数轴，标志物开始在原点，甲在正方向，乙在负方向，
标志物最后表示的数＝﹣0.2+0.5﹣0.4+1.3+0.9＝2.1，
即标志物向正方向移了2.1m，而规定标志物向某队方向2米该队即可获胜，所以甲获胜．
故答案为甲．
3．张老师在看兰州拉面制作中受到了启发，设计了一个数学问题：如图5，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后使点B到点A重合（往左对折），再沿两端均匀地拉成1个单位长度的线段，这一段称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB上的0变成-14，12变成34，等）那么在线段AB上（除A、B）的点中，在第二次操作后，恰好被拉到与12重合的点所对应的数之和为 ．
【解答】解：∵第一次操作后，原线段AB上的14，34，均变成12，
∴第二次操作恰好被拉到与12重合的点所对应的数是14和34，
∴恰好被拉到与12重合的点所对应的数之和是：14+34=1．
故答案为：1．
4．已知数轴上的4个点A、B、C、D对应的数分别为a、b、c、d，且b比d小7，c比a大5，b比c 小3，已知d＝5，请画出数轴，并标出点A、B、C、D所在的位置，并求出（a﹣b ）﹣（c﹣d ）的值．
【解答】解：根据题意画出数轴，如图所示：
则点A、B、C、D对应的数分别为a＝﹣4，b＝﹣2，c＝1，d＝5，
则（a﹣b）﹣（c﹣d）＝a﹣b﹣c+d＝﹣4+2﹣1+5＝2．
5．如图，数轴上有两点A，B，点A表示的数为2，点B在点A的左侧，且AB＝6．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）填空：数轴上点B表示的数为 ，点P表示的数为 （用含t的式子表示）；
（2）经过多长时间，P、B两点之间相距8个单位长度？
（3）动点R从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．若点P，R同时出发，经过多长时间，P，R之间的距离为2个单位长度？
【解答】解：（1）数轴上点B表示的数为2﹣6＝﹣4，点P表示的数为2+t（用含t的式子表示）；
（2）依题意有2+t﹣（﹣4）＝8，
解得t＝2．
故经过2秒长时间，P、B两点之间相距8个单位长度；
（3）①当点R追上P前，
依题意有2+t﹣（﹣4+2t）＝2，
解得t＝4；
②当点R追上P后，
依题意有﹣4+2t﹣（2+t）＝2，
解得t＝8．
故经过4秒或8秒长时间，P，R之间的距离为2个单位长度．
故答案为：﹣4，2+t．
6．已知，直线l上线段AB＝8、线段CD＝4（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧）
（1）若线段BC＝2，则线段AD＝ ；
（2）如图2，点P、Q分别为AD、BC的中点，求线段PQ的长度；
（3）若线段CD从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时，点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段BD的中点，若MN＝2DN，求线段CD运动的时间．
【解答】解：（1）①当点C在点B的左侧时，
∵AB＝8，BC＝2，CD＝4，
∴AC＝6，
∴AD＝AC+CD＝10，
②当点C在点B的右侧时，
∵AB＝8，BC＝2，CD＝4，
∴AD＝AB+BC+CD＝14，
故线段AD＝10或14；
故答案为：10或14；
（2）设BC＝x，则AD＝AB+BC+CD＝12+x，
∵点P、Q分别为AD、BC的中点，
∴PD=12AD＝6+12x，CQ=12x，
∴PQ＝PD﹣CD﹣CQ＝6+12x﹣4-12x＝2；
（3）线段CD运动的时间为t，
则AM＝2t，BC＝t，
∴BM＝AB﹣AM＝8﹣2t，或BM＝AM﹣AB＝2t﹣8，BD＝BC+CD＝t+4，
∵点N是线段BD的中点，
∴DN＝BN=12BD=12t+2，
∵MN＝2DN，
∴8﹣2t+12t+2＝2（12t+2）或（2t﹣8）﹣（12t+2）＝2（12t+2），
解得：t=125或t＝28
故线段CD运动的时间为125或t＝28s．
7．思考下列问题并在横线上填上答案．
（1）数轴上表示﹣3的点与表示4的点相距 个单位．
（2）数轴上表示2的点先向右移动2个单位，再向左移动5个单位，最后到达的点表示的数是 ．
（3）数轴上若点A表示的数是2，点B与点A的距离为3，则点B表示的数是 ．
（4）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 ，最小距离是 ．
（5）数轴上点A表示8，点B表示﹣8，点C在点A与点B之间，A点以每秒0.5个单位的速度向左运动，点B以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A后立即返回向左运动，碰到点B后又立即返回向右运动，碰到点A后又立即返回向左运动…，三个点同时开始运动，经过 秒三个点聚于一点，这一点表示的数是 ，点C在整个运动过程中，移动了 个单位．
【解答】解：（1）数轴上表示﹣3的点与表示4的点相距|﹣3﹣4|＝7个单位．
（2）数轴上表示2的点先向右移动2个单位，再向左移动5个单位，最后到达的点表示的数是2+2﹣5＝﹣1．
（3）数轴上若点A表示的数是2，点B与点A的距离为3，则点B表示的数是2﹣3＝﹣1，或2+3＝5．
（4）∵|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，∴a为5或1，b为﹣1或﹣3，则A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2．
（5）设经过x秒，三个点聚于一点，
由题意可得：0.5t+1.5t＝8﹣（﹣8），
∴t＝8，
经过8秒三个点聚于一点，这一点表示的数是4，点C在整个运动过程中，移动了24个单位．
故答案为：7；﹣1；﹣1或5；8，2；8，4，24．
8．如图，点A和点B在数轴上对应的数分别为a和b，且（a+6）2+|b﹣8|＝0．
（1）求线段AB的长；
（2）点C在数轴上所对应的数为x，且x是方程x﹣1=67x+1的解，在线段AB上是否存在点D，使得AD+BD=78CD？若存在，请求出点D在数轴上所对应的数，若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，线段AD和BC分别以6个单位长度/秒和5个单位长度/秒的速度同时向右运动，运动时间为t秒，M为线段AD的中点，N为线段BC的中点，若MN＝12，求t的值．
【解答】解：（1）∵（a+6）2≥0，|b﹣8|≥0，
又∵（a+6）2+|b﹣8|＝0
∴（a+6）2＝0，|b﹣8|＝0
∴a+6＝0，8﹣b＝0
∴a＝﹣6，b＝8
∴AB＝OA+OB＝6+8＝14．
（2）解方程x﹣1=67x+1
得：x＝14
∴点C在数轴上所对应的数为14；
设在线段AB上存在点D，使得AD+BD=78CD，且点D在数轴上所对应的数为y，则：
AD＝y+6，BD＝8﹣y，CD＝14﹣y
∴y+6+（8﹣y）=78（14﹣y）
解得：y＝﹣2
∴在线段AB上存在点D，使得AD+BD=78CD，点D在数轴上所对应的数为﹣2．
（3）由（2）得：A，D，B，C四点在数轴上所对应的数分别为：6，2，8，14.24．
∴运动前M，N两点在数轴上所对应的数分别为﹣4，11
则运动t秒后M，N两点在数轴上所对应的数分别为﹣4+6t，11+5t
∵MN＝12
∴①线段AD没有追上线段BC时有：
（11+5t）﹣（﹣4+6t）＝12
解得：t＝3
②线段AD追上线段BC后有：
（﹣4t+6）﹣（11+5t）＝12
解得：t＝27
∴综上所述：当t＝3秒或27秒时线段MN＝12．
9．电子跳蚤在数轴上的A点出发，第一步向左跳一个单位到A[1]，第二步由A[1]向右跳2个单位到A[2]，第三步由A[2]向左跳3个单位到A[3]，第四步由A[3]向右跳4个单位A[4]…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点A[100]．
（1）如图，当A在原点时求A[100]在数轴上的位置．
（2）当A[100]的坐标为19.94时，求A在数轴上的位置．
【解答】解：（1）由题意，可得A[100]在数轴上的位置为：
0﹣1+2﹣3+4﹣…+100＝（2﹣1）+…+（100﹣99）＝50．
即A[100]在数轴上表示的数是50；
（2）设A在数轴上的位置为a，
根据题意，得a﹣1+2﹣3+4﹣…+100＝19.94，
a+（2﹣1）+…+（100﹣99）＝19.94，
a+50＝19.94，
a＝﹣30.06．
即A在数轴上表示的数是﹣30.06．
10．已知在数轴l上，一动点Q从原点O出发，沿直线l以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…
（1）求出5秒钟后动点Q所处的位置；
（2）如果在数轴l上还有一个定点A，且A与原点O相距20个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）∵2×5＝10，
∴点Q走过的路程是1+2+3+4＝10，
Q处于：1﹣2+3﹣4＝4﹣6＝﹣2；
（2）①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则
n+12=20，
解得n＝39，
∴动点Q走过的路程是
1+|﹣2|+3+|﹣4|+5+…+|﹣38|+39，
＝1+2+3+…+39，
=(1+39)×392=780，
∴时间＝780÷2＝390秒（6.5分钟）；
②当点A在原点左边时，设需要第n次到达点A，则n2=20，
解得n＝40，
∴动点Q走过的路程是
1+|﹣2|+3+|﹣4|+5+…+39+|﹣40|，
＝1+2+3+…+40，
=(1+40)×402=820，
∴时间＝820÷2＝410秒 （656分钟）．