高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系随堂练习题

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【必做题】
一．选择题
1．（2022秋•天心区期末）如果直线平面，直线平面，且，则与
A．共面
B．平行
C．是异面直线
D．可能平行，也可能是异面直线
【答案】D
【解析】根据题意，直线平面，直线平面，且，
则与不会相交，即平行或异面，
故选D．
2．（2022秋•眉山期末）平面平面，，，则直线和的位置关系
A．平行B．平行或异面
C．平行或相交D．平行或相交或异面
【答案】B
【解析】平面平面，平面与平面无公共点，
，，直线和的位置关系是平行或异面，
故选B．
3．（2022秋•临河区期末）下列命题中，错误的是
A．平行于同一条直线的两个平面平行
B．平行于同一个平面的两个平面平行
C．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
D．一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
【答案】A
【解析】平行于同一条直线的两个平面平行或相交，即不正确；
由面面平行的判定定理，可得平行于同一个平面的两个平面平行，即正确；
由线面平行的性质定理，可得一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，即正确；
利用反证法，可知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，即正确．
故选A．
4．（2022•镇江开学）在三棱柱中，，分别为棱，的中点，则直线与的位置关系为
A．平行B．相交C．异面D．无法判断
【答案】B
【解析】如图所示，连接，则且，
又且，
且，
四边形是梯形，
故与是梯形的两条腰，
直线与相交，
故选B．
5．（2022春•慈溪市月考）如图，在正方体中，直线与平面的位置关系为
A．直线在平面内B．直线与平面相交但不垂直
C．直线与平面相交且垂直D．直线与平面平行
【答案】B
【解析】由正方体的性质得：
平面即为平面，
直线与平面交于点，
直线与平面的位置关系为相交但不垂直．
故选B．
6．（2023•海淀区模拟）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，正确的是
A．平面B．存在点，使平面
C．存在点，使D．
【答案】D
【解析】如图，
当为线段的中点时，，则平面，当不为线段的中点时，与平面相交，故错误；
若存在点，使平面，而平面，则平面平面，而平面与平面所成角的正切值为，矛盾，故错误；
当与重合时，与相交，当不与重合时，又异面直线所成角的定义可知，与异面，故错误；
由正方体的结构特征可知，平面，而平面，则，故正确．
故选D．
7．（2022春•伊犁州期末）已知，为直线，为平面，若，，则与的位置关系是
A．平行B．相交或异面C．异面D．平行或异面
【答案】D
【解析】因为，
所以直线与平面没有公共点，又，
所以与没有公共点，即与的位置关系是平行或异面．
故选D．
8．（2022春•驻马店期末）已知，若直线，分别在平面，内，则，的关系不可能是
A．平行B．相交C．垂直D．异面
【答案】B
【解析】，与无公共点，
又，，与无公共点，
则，的关系不可能是相交．
故选B．
二．多选题
9．（2022春•增城区期中）若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为
A．平行B．相交C．直线在平面内D．相切
【答案】AC
【解析】如图1所示，与平行，，而直线在平面内，
如图2所示，与平行，，而，
综上：若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为平行或直线在平面内．
故选AC．
10．（2022春•三水区月考）下列说法正确的是
A．若直线在平面外，则
B．若平面平面，平面，则
C．若直线直线，平面，那么直线平行于平面内的无数条直线
D．平面内有无数多条直线与平面平行，则
【答案】BC
【解析】直线在平面外，包含，及与相交，错；
平面平面，则，无公共点，平面，与无公共点，则，正确；
平面，内有无数条直线与平行，它们也都与平行，正确；
设，则内有无数条直线与平行，这无数条直线与平行，错误．
故选BC．
11．（2022•南京模拟）有如下命题，其中正确的命题是
A．若直线，且，则直线与平面的距离等于平面、间的距离
B．若平面平面，点，则点到平面的距离等于平面、间的距离
C．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离
D．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离
【答案】ABD
【解析】对于，若直线，且，则直线与平面的距离等于平面、间的距离，故正确；
对于，若平面平面，点，则点到平面的距离等于平面、间的距离，故正确；
对于，当两条平行直线所在的平面与两个平行平面垂直时，
这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离，
当两条平行直线所在的平面与两个平行平面不垂直时，
这两条直线间的距离不等于这两个平行平面间的距离，故错误；
对于，两条异面直线分别在两个平行平面内，
则异面直线间的距离等于这两个平行平面间的距离，
异面直线间距离往往转化为平行平面间的距离，故正确．
故选ABD．
12．（2022春•肇庆期末）下列命题为真命题的有
A．过直线外一点，存在唯一平面与直线垂直
B．过直线外一点，存在唯一平面与直线平行
C．过平面外一点，存在唯一平面与平面垂直
D．过平面外一点，存在唯一平面与平面平行
【答案】AD
【解析】假设过直线外一点，存在另一平面与直线垂直，又垂直于同一直线的两平面平行，这与矛盾，所以不存在另一平面与直线垂直，所以正确；
如图：，故错误；
如图：，故错误；
假设过平面外一点，存在不同于的平面也与平面平行，则，这与矛盾，所以不存在不同于的平面也与平面平行，所以正确．
故选AD．
三．填空题
13．（2022秋•浦东新区期中）直线和平面相交于点，用符号表示为 ．
【答案】
【解析】直线和平面相交于点，用符号表示为．
故答案为：．
14．（2022秋•普陀区期末）若面，面，面，则平面与平面的位置关系为 ．
【答案】相交
【解析】由面，面，可得直线，
又，可得平面平面直线，
故答案为：相交．
15．（2022秋•长宁区月考）在四棱台中的12条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有 条．
【答案】6
【解析】根据题意，如图：在四棱台中的12条棱所在直线中，
与直线是异面直线有、、、、、，共6条，
故答案为：6．
16．（2022•长治模拟）如图，在三棱锥中，平面平行于对棱，，，，截面面积的最大值是 ．
【答案】1
【解析】根据题意，设，
平面平行于对棱，，则，，则有，同理，
则四边形为平行四边形，
又由，则，截面为矩形，
由于，则有，则，同理，
故截面面积，
又由，当且仅当时等号成立，
故，即截面面积的最大值是1；
故答案为：1．
四．解答题
17．（2022春•滨州期中）已知平面与平面的交线为直线，为平面内一条直线；为平面一条直线，且直线，，互不重合．
（1）若直线与直线交于点，判断点与直线的位置关系并证明；
（2）若，判断直线与直线的位置关系并证明．
【答案】（1），证明如下：
证明：，，，，，
，．
（2），证明如下：
证明：，，，
，又，，
．
18．（2022秋•河南月考）如图所示，长方体中，，分别为，的中点，判断与平面的位置关系，为什么？
【答案】平面．
理由如下：
找出的中点，连接，，如图
因为几何体是正方体，
所以，，
所以平面平面，
所以平面．
19．（2022春•印江县期中）如图，正方体中，为的中点，试判断与平面的位置关系，并说明理由．
【答案】平面．
下面证明：如图所示，连接与相交于点，连接．
，，
，
平面，平面，
平面．
20．（2022•沈阳模拟）在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，为线段上一点．请判断直线与平面之间的位置关系，并给出证明．
【解答】平面．
证明：连结，．
，为，的中点，
与平行且相等，
四边形为平行四边形，
，
平面．
四边形为平行四边形，
，
平面．
，
平面平面．
平面，
平面．
【选做题】
一．选择题
1．（2022秋•贵溪市月考）给出下面三个命题：
①平行于同一个平面的两条直线互相平行；
②在空间，平行于同一条直线的两条直线互相平行；
③在空间，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
其中，真命题的个数是
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【解析】对于①：平行于同一个平面的两条直线可以平行，也可以相交或异面，①错误；
对于②：由平行线的传递性知：在空间，平行于同一条直线的两条直线互相平行，②正确；
对于③：在空间，垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以相交或异面，③错误．
故选B．
2．（2022春•漳州期末）如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则
A．，且直线，是相交直线
B．，且直线，是相交直线
C．，且直线，是异面直线
D．，且直线，是异面直线
【答案】B
【解析】根据题意，如图所示，连接，点为正方形的中心，则在上，
故、都在平面上，
结合图形易得，直线，是相交直线，
再作于，连接，过作于，连接，
由于平面平面．，平面，
则平面，平面，与均为直角三角形．
设正方形边长为2，易知，，．，
故选B．
3．（2022春•西城区月考）下列命题中，正确的是
A．分别在两个平面内的直线是异面直线
B．在空间中不相交的两条直线是异面直线
C．平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线
D．不在任何同一平面内的两条直线是异面直线
【答案】D
【解析】根据题意，依次分析选项：
分别在两个平面内的直线可能是平行直线，故错误；
在空间中不相交的两条直线可能是平行直线，故错误；
平面内的一条直线和平面外的一条直线可能是平行直线，故错误；
不在任何同一平面内的两条直线是异面直线，符合异面直线的定义，正确，
故选D．
4．（2023•道里区一模）苏轼是北宋著名的文学家、书法家、画家，在诗词文书画等方面都有很深的造诣．《蝶恋花春景》是苏轼一首描写春景的清新婉丽之作，表达了对春光流逝的叹息词的下阙写到：“墙里秋千墙外道．墙外行人，墙里佳人笑．笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼．”假如将墙看作一个平面，秋千绳、秋千板、墙外的道路看作直线，那么道路和墙面平行，当秋千静止时，秋千板与墙面垂直，秋千绳与墙面平行．在佳人荡秋千的过程中，下列说法中错误的是
A．秋千绳与墙面始终平行B．秋千绳与道路始终垂直
C．秋千板与墙面始终垂直D．秋千板与道路始终垂直
【答案】B
【解析】设墙面为，秋千静止时所在平面为，秋千板所在直线为，秋千绳所在直线为，秋千荡起来某个过程所在平面为，
由于秋千绳在运动过程中形成的平面与墙面平行，则秋千绳与墙面始终平行，正确；
由于，则秋千绳在运动过程中形成的平面，在静止时，运动起来的时候（除了处）两者都不垂直，错误；
由图可知在运动过程始终与垂直，正确；
由图可知在运动过程始终与垂直，正确．
故选B．
5．（2022春•常州月考）在空间中，下列条件中不能推出四边形为平行四边形的是
A．一组对边平行且相等B．两组对边分别相等
C．两组对边分别平行D．对角线相互平分
【答案】B
【解析】因为过两平行直线或相交直线有且只有一个平面，所以选项中四边形为平面图形，
再由平行四边形的判定定理可知中的四边形为平行四边形；由空间四边形的概念可知错误．
故选B．
6．（2022春•简阳市期末）如图，两个正方形，不在同一个平面内，点，分别为线段，的中点，则直线与的关系是
A．相交B．平行C．异面D．不确定
【答案】C
【解析】假设直线与共面于，
则，，
又由题意可得与不平行，
即有直线与必定相交，
而由题意两个正方形，不在同一个平面内，可得直线与异面，
由此得出矛盾，故直线与异面，
故选C．
7．（2022秋•上海期末）在棱长为10的正方体中，为左侧面上一点，已知点到的距离为3，到的距离为2，则过点且与平行的直线相交的面是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，
由点到的距离为3，到的距离为2，可得在△内，
过作，且，，
又平面，平面，所以平面；
在平面中，过作，，
又平面，平面，所以平面；
因为，、平面，则平面平面．
连接，交于，连接，
则由平面平面，
平面平面，平面平面，则，
在中，过作，且，则．
线段在四边形内，在线段上，在四边形内．
所以过点且与平行的直线相交的面是平面．
故选A．
二．多选题
8．（2022秋•越秀区月考）已知直线与平面相交于点，则
A．内必有直线与平行
B．内有无数条直线与垂直
C．内有无数条直线与是异面直线
D．至少存在一个过且与垂直的平面
【答案】BCD
【解析】直线与平面相交于点，
对于，由直线与平面相交的性质，得内不存在直线与平行，故不正确；
对于，由直线与平面相交的性质，得内有无数条直线与垂直，故正确；
对于，内直线与是异面直线或相交直线，故内有无数条直线与是异面直线，故正确；
对于，过直线上与不重合的点作，垂足为，由平面平面，故正确．
故选BCD．
9．（2022春•龙凤区期末）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论不正确的是
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则，是异面直线
D．若，，，则或，是异面直线
【答案】BC
【解析】对于，因，，由线面垂直的性质得，正确；
对于，当时，存在过直线的平面，有，此时必有，即满足，，而，不正确；
对于，因，是两个不同的平面，则存在平面，有，，即满足，，而直线，共面，不正确；
对于，因，则，没有公共点，而，，因此直线，没有公共点，即或，是异面直线，正确．
故选BC．
10．（2022春•盐田区期中）若存在直线和直线，满足与不平行，则下列说法正确的是
A．内一定存在直线与平行B．可能与平面平行
C．内一定存在直线与垂直D．可能与平面垂直
【答案】BCD
【解析】依题意可得与平面相交，则内一定不存在直线与平行，故错；
可能与平面平行或可能与平面垂直，故正确；
不论与平面平行或相交，内一定存在直线与垂直，正确．
故选BCD．
11．（2022秋•鸡冠区月考）直线上两点，到平面的距离相等且均为5，直线与平面的关系可能为
A．平行B．直线在平面内
C．相交D．以上三种情况都可能
【答案】AC
【解析】直线上两点，到平面的距离相等且均为5，
当，在平面的同侧时，直线与平面平行，
当，在平面的异侧时，直线与平面相交，
故选AC．
三．填空题
12．（2022秋•海淀区期中）已知，是两条异面直线，，那么与的位置关系是 ．
【答案】相交或异面
【解析】如图，，是两条异面直线，，
则与的位置关系可以是相交，也可以是异面．
故答案为：相交或异面．
13．（2022春•湾里区期中）在正方体中，为上任一点，则与位置关系是 ．
【答案】垂直
【解析】如图，在正方体中，易知，，
又，平面，平面，
平面，
又平面，
．
故答案为：垂直．
14．（2022秋•上海期末）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论：其中所有正确的结论序号是 ．
（1）与平行；
（2）与是异面直线；
（3）与成；
（4）与垂直．
【答案】（3）（4）
【解析】由已知正方体的平面展开图，得到正方体的直观图，如图所示：、
由正方体的几何特征得：
（1）与是相对两个平行平面的两条异面的对角线，（1）错误；
（2）与是相对两个平行平面的两条平行的对角线，（2）错误；
（3）连接，因为，所以为异面直线与所成的角，因为为等边三角形，所以，所以异面直线与所成的角为，（3）正确；
（4）因为，平面，平面，所以，，，平面，所以平面，又平面，所以，所以（4）正确；
综上，正确的命题是（3）（4）；
故答案为：（3）（4）．
15．（2022春•凭祥市月考）以下命题中为真命题的是 （填序号）．
①若直线平行于平面内的无数条直线，则直线；
②若直线在平面外，则；
③若直线，，则；
④若直线，，则平行于平面内的无数条直线．
【答案】④
【解析】当直线平行于平面内的无数条直线时，或在平面内，故①错误；
直线在平面外，则或与平面相交，故②错误；
若直线，，则或在平面内，故③错误；
若直线，，则由线面平行的性质可得平行于平面内的无数条直线，故④正确．
故答案为：④．
四．解答题
16．如图所示，点是平行四边形所在平面外的一点，点是的中点，试判断直线与平面的位置关系．
【答案】证明：连结，与交于点，连结
四边形是平行四边形，是中点，
点是的中点，，
平面，平面，
平面．
17．（2022•漳州二模）已知等腰梯形中，，，，为的中点，如图1，将三角形沿折起到平面，如图2
（1）点为线段的中点，判断直线与平面的位置关系，并说明理由
（2）当的面积最大时，求的长．
【答案】（1）直线与平面相交．理由如下：
平面，
平面．
若平面，设平面，则，
与不重合，
，平面平面，矛盾，
直线与平面相交．
证明：（2）取的中点，连结，，
由等腰梯形中，，，，得，，，
平面，，，
的面积为，
当的面积最大时，，
，
．
18．（2022•鞍山模拟）如图，正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，试证明动点在线段上．
【答案】证明：连接，，
，
连接，，，，平面，，平面，
平面，平面，
又平面平面，在线段上．
19．（2022秋•定边县月考）如图所示，空间四边形中，，，，分别是，，，的中点．试指出图中满足线面平行位置关系的所有情况．（不用证明，指出即可）
【答案】由 得线面平行的情况有：
（1）平面；
（2）平面；
（3）平面．
由 得线面平行的情况有：
（4）平面；
（5）平面；
（6）平面．
20．（2022秋•武穴市期中）如图所示的一块木料中，棱平行于面．
（Ⅰ）要经过面内的一点和棱将木料锯开，应怎样画线？（写出画法步骤，并在图中画出）
（Ⅱ）说明所画的线与平面的位置关系．
【答案】（Ⅰ）过点作的平行线，
交、于点，，
连结，；
作图如右图，
（Ⅱ）易知，与平面的相交，
平面，
又平面平面，
，
，
又平面，平面，
平面．