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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用教案设计
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用教案设计，共7页。
教学基本信息
课题
正弦定理、余弦定理的简单运用
学科
数学
学段： 高中
年级
高一
教材
书名： 普通高中教科书数学必修第二册（A版） 出版社：人民教育出版社
出版日期：2019年6月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：1.主要通过一些具体例题来引导学生运用正弦定理和余弦定理，通过合适的边角转化，实现三角形各要素的求解；
2.学生在解题过程中感悟、总结正弦定理、余弦定理公式的特点和功能，能够识别、区分两个定理的使用条件，从而加深对定理的理解，进而灵活运用。
重点：根据题目条件识别、区分两个定理的使用条件.
难点：对于条件相对复杂的问题，能够大胆尝试，探索发现题目中隐藏的边角关系，从而选择合适的定理来解决问题.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
首先，我们一起来回顾一下这两个定理相关的知识。我们学习了这两个重要的定理，正弦定理和余弦定理。在学习正弦定理的时候，我们进一步研究得到了三角形的一组面积公式；两个定理都可以用来解三角形，换句话说，每一个确定的三角形，在已知某些边和角时，都可以通过正弦定理或余弦定理来求解出其他的边和角。
进一步，我们还研究了运用两个定理解决实际问题，例如测量不可到达的两点间距离，这里包括测量山高，测量河两岸的距离等等很多非常有价值的实际问题。在这里我们感受了数学的力量，以及其在实际生活中的价值。而研究三角形的性质，除了求解三角形的边角之外，还有很多的性质可以研究，比如：判断三角形的形状，求边角之外相关的几何量，包括周长、面积以及高线、中线、角分线等三角形的有关线段，还有求三角形相关的最值问题等等。
这节课，我们重点来研究两个定理的特点，识别定理的功能，探究在解三角形时如何区分、选用合适的定理来解决问题。
回顾定理的相关知识，厘清知识结构；明确研究范围。
新课
回顾定理内容：
分析正弦定理的功能
正弦定理适用情形：
已知两角及任一边；
已知两边及一边对角.(关注多解条件)
正弦定理可用但不方便的情形：
已知两边及夹角.
分析余弦定理的功能
余弦定理适用情形：
已知两边及夹角；
已知三边；
已知两边及一边对角.(对多解情况的判断更为方便和清晰)
总结两个定理的功能
总结定理的适用条件，为解决具体问题做准备。
回顾定理，对所学知进行梳理，提升认识，获得经验。
例题
例1：在中，已知，，，求边的值.
【分析】根据三角形内角和求出角，再根据正弦定理即可求出边．
【解答】因为，
所以根据正弦定理知，，即，
解得．
小结：已知两角及一角对边，求第三个角所对边，使用正弦定理并不能直接求解。我们联合使用了三角形内角和定理和正弦定理来解三角形，事实上，在解三角形时，内角和定理常常和正弦定理结合使用，两个公式各有自己的功能。我们可以注意到，在已知两角及一边解三角形时，会用到三角形内角和定理来求第三个角，然后在已知三个角的条件下，运用正弦定理求其它边。
例2：设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，已知a=2，b＝1，c=5，求角C的值．
【分析】利用余弦定理即可求解．
【解答】解：∵a=2，b＝1，c=5，
∴由余弦定理得：csC=a2+b2−c22ab=−22，
又∵C∈（0，π），∴C=3π4，故答案为：3π4．
例3：在中，角、、的对边边长分别是、、，若，，，求的值．
【分析】直接利用正弦定理求出，求出，然后求解即可．
【解答】解：，，，
，所以．角、、是中的内角．
，，
．
故答案为：2．
也可运用余弦定理来求解。
小结：在已知两边及一边对角时，两个定理解题的差异及各自的优势.
例4：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcsC＝2a+c．
求角B值．
【分析】直接由已知条件和正弦定理求出B的值．
【解答】解：（I）由已知以及正弦定理，
可得：2sinBcsC＝2sinA+sinC＝2sin（B+C）+sinC＝2sinBcC+2csBsinC+sinC，
所以：2csBsinC+sinC＝0，
由于：0＜C＜π，sinC≠0，所以csB=−12，
因为B∈（0，π），解得：B=2π3；
这道题目也可以用余弦定理来求解.
小结：在对边角关系进行转化时，两个定理的功能差异。
例5：在中，，求角的值.
【分析】由已知及正弦定理知，不妨设，则，，利用余弦定理即可解得的值，结合的范围即可得解的值．
【解答】解：因为，
所以由正弦定理知，
不妨设，则，，
则由余弦定理可得：，
因为，所以．
小结：正弦定理、余弦定理联合使用来解题，需要考虑什么条件下选择正弦定理，什么条件下选择余弦定理。一般来说，已知角的信息较多时，常常优先选择运用正弦定理，已知边的信息较多时，常常优先选择运用余弦定理，但事无绝对，在条件需要转化时，还需要具体问题具体分析。
例6：在中，若，，，求的值．
【分析】根据，，，利用余弦定理可得，即可求得的值．
【解答】解：由题意，，，，
故答案为：4
小结：合理转化边角关系，提高方程意识，重视方程思想。解题中，题目条件不一定刚刚好满足总结的定理结构需要我们适当转化，去匹配已有经验，适当调整，寻求解决办法。解题中的困难要灵活处理.
例7：锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，b＝1，ccsB=2sinA−csC，求B值．
【分析】由已知利用余弦定理可得a=2sinA，由正弦定理可得sinB的值，结合B为锐角可得B的值．
【解答】解：∵ccsB=2sinA−csC，
∴由余弦定理可得：
c•a2+c2−b22ac+a2+b2−c22ab=2sinA，
又∵b＝1，
∴a2+c2−12a+a2+1−c22a=2sinA，
可得a=2sinA，
∴由正弦定理可得bsinB=asinA=2，由b＝1，可得sinB=22．
∴由B为锐角可得B=π4．
故答案为：π4．
小结：当条件结构特征不明显时，需要适当转化，发现新的边角关系，得到结构明显的等价条件，在运用经验解题. 这其中，正弦定理和余弦定理联合使用，在完成边角关系转化中，要根据具体问题具体分析，敢于尝试，敢于探索.
运用总结的经验来解题，并在解题过程中不断丰富总结的经验，提升认识，提升数学素养.
总结
在面对具体问题时，我们首先分析条件.
如果条件结构较好，可以直接运用两个定理解三角形；如果条件结构不是特别明显，就先尝试运用定理来做边角转化，得到结构明显的等价条件，再根据结构来选择合适的定理解三角形.
回顾整节课不断在解题中积累经验的过程，提炼更高层次解题策略和指导思想，获得深层地的理解.
作业
1. 在△ABC中，，，，求角C的值.
2.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a+b＝2c，3c＝5b，求A值．
巩固练习，检测本节课所获得的知识和经验的落实.
教学基本信息
课题
正弦定理、余弦定理的简单运用
学科
数学
学段： 高中
年级
高一
教材
书名： 普通高中教科书数学必修第二册（A版） 出版社：人民教育出版社
出版日期：2019年6月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：1.主要通过一些具体例题来引导学生运用正弦定理和余弦定理，通过合适的边角转化，实现三角形各要素的求解；
2.学生在解题过程中感悟、总结正弦定理、余弦定理公式的特点和功能，能够识别、区分两个定理的使用条件，从而加深对定理的理解，进而灵活运用。
重点：根据题目条件识别、区分两个定理的使用条件.
难点：对于条件相对复杂的问题，能够大胆尝试，探索发现题目中隐藏的边角关系，从而选择合适的定理来解决问题.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
首先，我们一起来回顾一下这两个定理相关的知识。我们学习了这两个重要的定理，正弦定理和余弦定理。在学习正弦定理的时候，我们进一步研究得到了三角形的一组面积公式；两个定理都可以用来解三角形，换句话说，每一个确定的三角形，在已知某些边和角时，都可以通过正弦定理或余弦定理来求解出其他的边和角。
进一步，我们还研究了运用两个定理解决实际问题，例如测量不可到达的两点间距离，这里包括测量山高，测量河两岸的距离等等很多非常有价值的实际问题。在这里我们感受了数学的力量，以及其在实际生活中的价值。而研究三角形的性质，除了求解三角形的边角之外，还有很多的性质可以研究，比如：判断三角形的形状，求边角之外相关的几何量，包括周长、面积以及高线、中线、角分线等三角形的有关线段，还有求三角形相关的最值问题等等。
这节课，我们重点来研究两个定理的特点，识别定理的功能，探究在解三角形时如何区分、选用合适的定理来解决问题。
回顾定理的相关知识，厘清知识结构；明确研究范围。
新课
回顾定理内容：
分析正弦定理的功能
正弦定理适用情形：
已知两角及任一边；
已知两边及一边对角.(关注多解条件)
正弦定理可用但不方便的情形：
已知两边及夹角.
分析余弦定理的功能
余弦定理适用情形：
已知两边及夹角；
已知三边；
已知两边及一边对角.(对多解情况的判断更为方便和清晰)
总结两个定理的功能
总结定理的适用条件，为解决具体问题做准备。
回顾定理，对所学知进行梳理，提升认识，获得经验。
例题
例1：在中，已知，，，求边的值.
【分析】根据三角形内角和求出角，再根据正弦定理即可求出边．
【解答】因为，
所以根据正弦定理知，，即，
解得．
小结：已知两角及一角对边，求第三个角所对边，使用正弦定理并不能直接求解。我们联合使用了三角形内角和定理和正弦定理来解三角形，事实上，在解三角形时，内角和定理常常和正弦定理结合使用，两个公式各有自己的功能。我们可以注意到，在已知两角及一边解三角形时，会用到三角形内角和定理来求第三个角，然后在已知三个角的条件下，运用正弦定理求其它边。
例2：设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，已知a=2，b＝1，c=5，求角C的值．
【分析】利用余弦定理即可求解．
【解答】解：∵a=2，b＝1，c=5，
∴由余弦定理得：csC=a2+b2−c22ab=−22，
又∵C∈（0，π），∴C=3π4，故答案为：3π4．
例3：在中，角、、的对边边长分别是、、，若，，，求的值．
【分析】直接利用正弦定理求出，求出，然后求解即可．
【解答】解：，，，
，所以．角、、是中的内角．
，，
．
故答案为：2．
也可运用余弦定理来求解。
小结：在已知两边及一边对角时，两个定理解题的差异及各自的优势.
例4：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcsC＝2a+c．
求角B值．
【分析】直接由已知条件和正弦定理求出B的值．
【解答】解：（I）由已知以及正弦定理，
可得：2sinBcsC＝2sinA+sinC＝2sin（B+C）+sinC＝2sinBcC+2csBsinC+sinC，
所以：2csBsinC+sinC＝0，
由于：0＜C＜π，sinC≠0，所以csB=−12，
因为B∈（0，π），解得：B=2π3；
这道题目也可以用余弦定理来求解.
小结：在对边角关系进行转化时，两个定理的功能差异。
例5：在中，，求角的值.
【分析】由已知及正弦定理知，不妨设，则，，利用余弦定理即可解得的值，结合的范围即可得解的值．
【解答】解：因为，
所以由正弦定理知，
不妨设，则，，
则由余弦定理可得：，
因为，所以．
小结：正弦定理、余弦定理联合使用来解题，需要考虑什么条件下选择正弦定理，什么条件下选择余弦定理。一般来说，已知角的信息较多时，常常优先选择运用正弦定理，已知边的信息较多时，常常优先选择运用余弦定理，但事无绝对，在条件需要转化时，还需要具体问题具体分析。
例6：在中，若，，，求的值．
【分析】根据，，，利用余弦定理可得，即可求得的值．
【解答】解：由题意，，，，
故答案为：4
小结：合理转化边角关系，提高方程意识，重视方程思想。解题中，题目条件不一定刚刚好满足总结的定理结构需要我们适当转化，去匹配已有经验，适当调整，寻求解决办法。解题中的困难要灵活处理.
例7：锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，b＝1，ccsB=2sinA−csC，求B值．
【分析】由已知利用余弦定理可得a=2sinA，由正弦定理可得sinB的值，结合B为锐角可得B的值．
【解答】解：∵ccsB=2sinA−csC，
∴由余弦定理可得：
c•a2+c2−b22ac+a2+b2−c22ab=2sinA，
又∵b＝1，
∴a2+c2−12a+a2+1−c22a=2sinA，
可得a=2sinA，
∴由正弦定理可得bsinB=asinA=2，由b＝1，可得sinB=22．
∴由B为锐角可得B=π4．
故答案为：π4．
小结：当条件结构特征不明显时，需要适当转化，发现新的边角关系，得到结构明显的等价条件，在运用经验解题. 这其中，正弦定理和余弦定理联合使用，在完成边角关系转化中，要根据具体问题具体分析，敢于尝试，敢于探索.
运用总结的经验来解题，并在解题过程中不断丰富总结的经验，提升认识，提升数学素养.
总结
在面对具体问题时，我们首先分析条件.
如果条件结构较好，可以直接运用两个定理解三角形；如果条件结构不是特别明显，就先尝试运用定理来做边角转化，得到结构明显的等价条件，再根据结构来选择合适的定理解三角形.
回顾整节课不断在解题中积累经验的过程，提炼更高层次解题策略和指导思想，获得深层地的理解.
作业
1. 在△ABC中，，，，求角C的值.
2.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a+b＝2c，3c＝5b，求A值．
巩固练习，检测本节课所获得的知识和经验的落实.
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