第8章立体几何初步8.3.2第1课时圆柱圆锥圆台的表面积和体积学案含解析

这是一份第8章立体几何初步8.3.2第1课时圆柱圆锥圆台的表面积和体积学案含解析，共8页。

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积第1课时　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积如图是工厂生产的各种金属零件，被广泛应用于工业领域的各个方面．问题：(1)如果已知制作零件的金属的密度，如何求出这些零件的质量？(2)如图所示的零件都是旋转体，其侧面都是曲面，如何求其表面积？知识点1　圆柱、圆锥、圆台的表面积1．圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？[提示]　如图所示．S圆柱＝2πr(r＋l)　 S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)　S圆锥＝πr(r＋l)1．圆柱OO′的底面直径为4，母线长为6，则该圆柱的侧面积为________，表面积为________．24π　32π　[S侧＝2πrl＝2π×2×6＝24π，S表＝2πrl＋2πr2＝24π＋2π×22＝24π＋8π＝32π．]2．如图，圆锥的底面半径为1，高为eq \r(3)，则圆锥的侧面积为________．2π　[由题图可知，圆锥的母线长l＝eq \r(\r(3)2＋12)＝2．所以S侧＝πrl＝π×1×2＝2π．]3．圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于________．67π　[S表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝π(9＋16＋18＋24)＝67π．]知识点2　圆柱、圆锥、圆台的体积公式V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)，V圆锥＝eq \f(1,3)πr2h(r是底面半径，h是高)，V圆台＝eq \f(1,3)πh(r2＋r′r＋r′2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高)．2．柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？[提示]　如图．4．圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积为(　　)A．eq \f(288,π) cm3　　　　 B．eq \f(192,π) cm3C．eq \f(288,π) cm3或eq \f(192,π) cm3 D．192π cm3C　[圆柱的高为8 cm时，V＝π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,2π)))eq \s\up12(2)×8＝eq \f(288,π) cm3，当圆柱的高为12 cm时，V＝π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2π)))eq \s\up12(2)×12＝eq \f(192,π) cm3．]5．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体，下部是圆柱，其轴截面是边长为4的正方形；上部为圆锥，其高为3，则该几何体的体积为________．20π　[圆柱的底面半径是2，高为4，圆锥底面半径是2，高为3，则V＝π×22×4＋eq \f(1,3)×π×22×3＝20π．] 类型1　圆柱、圆锥、圆台的表面积【例1】　(1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是(　　)A．eq \f(1＋2π,2π)　　　B．eq \f(1＋4π,4π)　　　C．eq \f(1＋2π,π)　　　D．eq \f(1＋4π,2π)(2)已知圆台的上、下底面半径分别是2,6，且侧面面积等于两底面面积之和．①求圆台的母线长；②求圆台的表面积．(1)A　[设圆柱底面半径为r，则高为2πr，表面积∶侧面积＝[(2πr)2＋2πr2]∶(2πr)2＝eq \f(1＋2π,2π)．](2)[解]　①设圆台的母线长为l，则由题意得π(2＋6)l＝π×22＋π×62，∴8πl＝40π，∴l＝5，∴该圆台的母线长为5．②由①可得圆台的表面积为S＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝80π．求圆柱、圆锥、圆台的表面积的步骤是什么？[提示]　解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：(1)得到空间几何体的平面展开图．(2)依次求出各个平面图形的面积．(3)将各平面图形的面积相加．eq \o([跟进训练])1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的(　　)A．4倍　　　B．3倍　　　C．eq \r(2)倍　　　D．2倍D　[由已知得l＝2r，eq \f(S侧,S底)＝eq \f(πrl,πr2)＝eq \f(l,r)＝2，故选D．] 类型2　圆柱、圆锥、圆台的体积【例2】　过圆锥的高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是(　　)A．1∶1 B．1∶6 C．1∶7 D．1∶8C　[如图，设圆锥底半径OB＝R，高PO＝h，∵O′为PO中点，∴PO′＝eq \f(h,2)，∵eq \f(O′A,OB)＝eq \f(PO′,PO)＝eq \f(1,2)，∴O′A＝eq \f(R,2)，∴V圆锥PO′＝eq \f(1,3)π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq \s\up12(2)·eq \f(h,2)＝eq \f(1,24)πR2h，V圆台O′O＝eq \f(π,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq \s\up12(2)＋R2＋\f(R,2)·R))·eq \f(h,2)＝eq \f(7,24)πR2h．∴eq \f(V圆锥PO′,V圆台O′O)＝eq \f(1,7)，故选C．]求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.eq \o([跟进训练])2．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是(　　)A．eq \f(2\r(3),3)π B．2eq \r(3) C．eq \f(7\r(3),6)π D．eq \f(7\r(3),3)πD　[S1＝π，S2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝6π＝π(r＋R)l，∴l＝2，∴h＝eq \r(3)．∴V＝eq \f(1,3)π(1＋4＋2)×eq \r(3)＝eq \f(7\r(3)π,3)．故选D．] 类型3　组合体的表面积与体积【例3】　如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周，求旋转体的表面积和体积．[解]　如题图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝eq \f(BC－AD,cos 60°)＝2a，AB＝CDsin 60°＝eq \r(3)a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝eq \f(1,2)DD′＝a．由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．由上述计算知，圆柱母线长eq \r(3)a，底面半径2a，圆锥的母线长2a，底面半径a．∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·eq \r(3)a＝4eq \r(3)πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，∴组合体上底面积S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4eq \r(3)＋9)πa2．又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V柱＝Sh＝π·(2a)2·eq \r(3)a＝4eq \r(3)πa3，V锥＝eq \f(1,3)S′h＝eq \f(1,3)·π·a2·eq \r(3)a＝eq \f(\r(3),3)πa3，∴V＝V柱－V锥＝4eq \r(3)πa3－eq \f(\r(3),3)πa3＝eq \f(11\r(3),3)πa3．如果将例题的梯形绕着BC边所在直线旋转一周，如何求旋转体的表面积和体积？表面积和体积又分别为多少？[解]　如图所示旋转体为一个圆锥和与它同底的一个圆柱组成，由条件可得：AD＝BO＝OC＝a，DO＝AB＝eq \r(3)a，DC＝2a，所以该旋转体的表面积为：S＝S圆柱底面积＋S圆柱侧面积＋S圆锥侧面积＝π·(eq \r(3)a)2＋2πeq \r(3)a·a＋π·eq \r(3)a·2a＝3πa2＋2eq \r(3)πa2＋2eq \r(3)πa2＝(3＋4eq \r(3))πa2，该旋转体的体积为V＝V圆锥＋V圆柱＝eq \f(1,3)π(eq \r(3)a)2·a＋π(eq \r(3)a)2a＝4πa3．求组合体的表面积和体积，首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的.组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和，但不一定是组成组合体的几个简单几何体的表面积之和；组合体的体积是构成组合体的几个简单组合体的体积之和（差）.eq \o([跟进训练])3．如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，D为BC的中点，H，G分别是BD，CD的中点，若将正三角形ABC绕AD所在直线旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积．[解]　旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体．令BD＝R，HD＝r，AB＝l，EH＝h，则R＝2，r＝1，l＝4，h＝eq \r(3)．∴S圆锥表＝πR2＋πRl＝π×22＋π×2×4＝12π，S圆柱侧＝2πrh＝2π×1×eq \r(3)＝2eq \r(3)π．∴所求几何体的表面积S＝S圆锥表＋S圆柱侧＝12π＋2eq \r(3)π＝2(6＋eq \r(3))π．1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　)A．1∶2　　　B．1∶eq \r(3)　　　C．1∶eq \r(5)　　　D．eq \r(3)∶2C　[设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝eq \r(5)r，∴S侧＝πrl＝eq \r(5)πr2，S底＝πr2，则S底∶S侧＝1∶eq \r(5)．]2．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(　　)A．4π B．3π C．2π D．πC　[底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π．故选C．]3．已知圆台上、下底面半径分别为1,2，高为3，则圆台体积为________．7π　[V圆台＝eq \f(1,3)πh(r′2＋r′r＋r2)＝eq \f(1,3)π×3×(1＋2＋4)＝7π．]4．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________．6π　[由底面周长为2π可得底面半径为1，S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π．]5．已知圆锥的底面半径为2，高为5，则这个圆锥的体积为________．eq \f(20,3)π　[由题意V圆锥＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)πr2·h＝eq \f(20π,3)．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式是什么？(2)如何求组合体的表面积和体积？(3)求组合体的表面积时有哪些易错点？学 习 任 务核 心 素 养1．通过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的求法．(重点)2．会求与圆柱、圆锥、圆台有关的组合体的表面积与体积．(难点、易错点)1．借助圆柱、圆锥、圆台的表面积、体积的计算，培养数学运算素养．2．通过对圆柱、圆锥、圆台的体积的探究，提升逻辑推理的素养．圆柱底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πrl＋πr2圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝πl(r＋r′)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)