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    第8章立体几何初步微专题1球的切接问题学案含解析
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    第8章立体几何初步微专题1球的切接问题学案含解析

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    这是一份第8章立体几何初步微专题1球的切接问题学案含解析,共2页。

    微专题1 球的切、接问题1.空间几何体的外接球:球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的外接球.空间几何体的内切球:球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球.2.几何体的外接球和内切球问题是近几年的高考热点,尤其是几何体的外接球问题,近几年的高考试题中都有出现.归结起来这类问题主要包括两种类型:①已知几何体的顶点都在同一球面上,几何体满足一定的条件,求球的体积;②已知几何体的顶点都在同一球面上,几何体满足一定的条件,求球的表面积;解答这类问题的基本思路是根据问题给出的条件,求出球的半径,然后再运用球的体积(或表面积)公式进行计算得出结果. 类型1 球与正方体的切、接问题【例1】 半球内有一个内接正方体,若正方体的棱长为eq \r(6),则这个半球的体积为________.18π [法一:过正方体对角面作截面如图所示,设半球的半径为R,因为正方体的棱长为eq \r(6),所以CC′=eq \r(6),OC=eq \f(\r(2),2)×eq \r(6)=eq \r(3).在Rt△C′CO中,由勾股定理,得CC′2+OC2=OC′2,即(eq \r(6))2+(eq \r(3))2=R2,所以R=3.故V半球=eq \f(1,2)×eq \f(4,3)πR3=18π.法二:将其补成球和内接长方体,设原正方体棱长为a,球的半径为R,则根据长方体外接球的直径等于其体对角线长,得(2R)2=a2+a2+(2a)2,即4R2=6a2,所以R=eq \f(\r(6),2)a=3.故V半球=eq \f(1,2)×eq \f(4,3)πR3=18π.] 类型2 球与四面体的切、接问题【例2】 已知三棱锥P­ABC,若PA,PB,PC两两垂直,且PA=2,PB=PC=1,则三棱锥P­ABC的内切球的表面积为________.eq \f(π,4) [由题意,设三棱锥P­ABC的内切球的半径为r,球心为O,则V三棱锥P ­ABC=V三棱锥O ­PAB+V三棱锥O ­PAC+V三棱锥O ­PBC+V三棱锥O ­ABC,即eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×1×1=eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×1×r×2+eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×1×r+eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(5-\f(1,2))×r,解得r=eq \f(1,4).故内切球的表面积为4πr2=eq \f(π,4).] 类型3 球与直棱柱的切、接问题【例3】 设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a,顶点在一个球面上,则该球的表面积为(  )A.πa2   B.eq \f(7,3)πa2   C.eq \f(11,3)πa2   D.5πa2B [如图所示,设O1,O分别为上、下底面的中心,连接OO1,则球心O2为OO1的中点,连接AO并延长交BC于D点,连接AO2.∵AD=eq \f(\r(3),2)a,AO=eq \f(2,3)AD=eq \f(\r(3),3)a,OO2=eq \f(a,2),∴AOeq \o\al(2,2)=eq \f(1,3)a2+eq \f(1,4)a2=eq \f(7,12)a2,故该球的表面积S球=4π×eq \f(7,12)a2=eq \f(7,3)πa2.] 类型4 球与圆锥(圆柱)的切、接问题【例4】 一个圆柱形容器,它的底面直径为2r,在这个容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球,这时水面恰好和球面相切,则将球从容器内取出后,容器内水面的高是________.eq \f(2,3)r [设取出球后水面的高为x,则πr2×2r-eq \f(4,3)πr3=πr2×x,解得x=eq \f(2,3)r.故将球从容器内取出后,容器内水面的高是eq \f(2,3)r.]
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