人教版八年级下册18.2.1 矩形课后测评

这是一份人教版八年级下册18.2.1 矩形课后测评，共35页。试卷主要包含了9，等内容，欢迎下载使用。

夯实基础篇
一、单选题：
1．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对边平行且相等
2．如图，在中，于点且于点，连接，则的长为（ ）
A．B．C．5D．6
3．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM、CN、MN，若，，则图中阴影部分图形的面积和为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若EF＝6cm，则AC的长是( )
A．6cmB．12cmC．24cmD．48cm
6．如图，在长方形中，，．将沿折叠，使点的对应点落在上，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在矩形中，，相交于点，平分交于，若，则的度数为( )
A．B．C．D．
二、填空题：
8．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使，若，则________．
9．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于____．
10．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E在BC上且BE=2，P是CD边上的一动点，M，N分别是AE，PE的中点，则随着点P的运动，线段MN长的取值范围为__________．
11．如图，在中，是高，E，F分别是的中点．若四边形的周长为24，，则_____．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE＋PF＝________．
13．如图，矩形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接，若，则的度数是_________．
14．如图，在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD=12．若点E 在线段BC上，BE=5，EF⊥AE交CD于点F，沿EF折叠C落在处，当 为等腰三角形时，BC=________．
三、解答题：
15．已知：如图，在矩形中，，．对角线的垂直平分线分别交、于点、．求线段的长．
16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，BE=2，DE=6，求AD的长．
17．已知：如图，分别是的中点，求证：．
18．如图，矩形中，的平分线交于点，为对角线和交点，且．
（1）证明为等边三角形；
（2）求的度数．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为，则点E的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是（ ）
A．B．C．1D．
3．如图，矩形的面积为5，它的两条对角线交于点，以为两邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以为两邻边作平行四边形，…，依此类推，则平行四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：
4．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为__．
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(5，0)，(0，3)，点P在BC边上运动，当OAP是等腰三角形时，点P的坐标为_____．
6．如图，在矩形ABCD中，，的平分线交BC于点E，于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号是______．
三、解答题：
7．如图，折叠矩形ABCD的顶点D所在角，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE．
(1)若∠DAE＝26°，求∠EFC的大小；
(2)若AB＝8，BC＝10，求EC的长．
8．如图，等腰的直角顶点是矩形对角线的交点，与边交于点．
(1)如图1，当与在同一条直线上时，求证：．
(2)如图2，当与在同一条直线上时，若，，求的长．.
人教版初中数学八年级下册
18.2.1 矩形的性质 同步练习
夯实基础篇
一、单选题：
1．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对边平行且相等
【答案】C
【分析】由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵矩形的对角线互相平分且相等，平行四边形的对角线互相平分；它们的对边都具有平行且相等的性质，
∴矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线相等；
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的性质和平行四边形的性质是本题的关键．
2．如图，在中，于点且于点，连接，则的长为（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【分析】已知，，则和是直角三角形，，即；根据，则是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出答案．
【详解】∵，
∴和是直角三角形，
又∵，
∴，
∴
∵
∴是直角三角形，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理和直角三角形斜边中线等于斜边一半，理清题意，得出是直角三角形是解题的关键．
3．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM、CN、MN，若，，则图中阴影部分图形的面积和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据矩形的中心对称性判定阴影部分的面积等于空白部分的面积，从而得到阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：∵点E、F分别是AB、CD的中点，M、N分别为DE、BF的中点，
∴矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合，
∴阴影部分的面积等于空白部分的面积，
∴阴影部分的面积＝×矩形的面积，
∵，，
∴AB＝2，
∴阴影部分的面积＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的中心对称性，判断出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半是解题的关键．
4．如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故C正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若EF＝6cm，则AC的长是( )
A．6cmB．12cmC．24cmD．48cm
【答案】C
【分析】根据三角形中位线定理可得EF=DO，再根据矩形的对角线的性质可得AC长．
【详解】解：∵点E，F分别是AO，AD的中点，
∴EF=DO，
∵EF=6cm，
∴DO=12cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=2DO=24(cm)，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质，关键是掌握矩形的对角线互相平分且相等．
6．如图，在长方形中，，．将沿折叠，使点的对应点落在上，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由矩形的性质和折叠的性质可得，，在中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
折叠
，，
在中，，
，
在中，，
，
．
故选D．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是本题的关键．
7．如图，在矩形中，，相交于点，平分交于，若，则的度数为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由矩形的性质得出OA=OB，再由角平分线得出△ABE是等腰直角三角形，得出AB=BE，证明△AOB是等边三角形，得出∠ABO=60°，OB=AB，得出OB=BE，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，
∵∠DAO=30°，
∴∠EAO=15°，
∴∠BAO=45°+15°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°，OB=AB，
∴∠OBE=90°-60°=30°，OB=BE，
∴∠BEO=×（180°-30°）=75°．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
二、填空题：
8．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使，若，则________．
【答案】##17度
【分析】连接，交于点，先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的性质、平行线的性质可得，又根据等腰三角形的性质可得，从而可得，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，交于点，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握矩形的性质是解题关键．
9．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于____．
【答案】5
【分析】连接OB，利用勾股定理求出OB的长，即为AC的长．
【详解】如图，连接OB，
∵B的坐标为（4，3），
∴
∵四边形OABC是矩形
∴AC=OB=5
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查求矩形对角线的长，解题的关键是熟知矩形对角线相等．
10．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E在BC上且BE=2，P是CD边上的一动点，M，N分别是AE，PE的中点，则随着点P的运动，线段MN长的取值范围为__________．
【答案】
【分析】根据三角形中位线定理，先求出的取值范围，进而求出的取值范围．
【详解】解：连接，
∵M，N分别是AE，PE的中点，
∴，
由题意可知：当点与点重合时，最长，
此时：，
，
当当点与点重合时，最短，
此时：，
，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形中位线，解题的关键是确定动点P的两个边界点．
11．如图，在中，是高，E，F分别是的中点．若四边形的周长为24，，则_____．
【答案】9
【分析】根据线段中点的概念得到根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据四边形的周长公式得到，进而求出．
【详解】∵E，F分别是的中点，
∴
∵是高，
∴，
∵E，F分别是的中点，
∴，
∴四边形的周长，
∵四边形的周长为24，
∴，
∵，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE＋PF＝________．
【答案】2.4
【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，可求得OA=OB=，S△AOB=S矩形ABCD=3，然后由S△AOB=S△AOP+S△BOP=3，即可求得答案．
【详解】解：连接OP，
∵矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，
∴S矩形ABCD=AB•BC=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC==5，
∴S△AOB=S矩形ABCD=3，OA=OB=，
∴S△AOB=S△AOP+S△BOP
=OA•PE+OB•PF
=OA（PE+PF）
=××（PE+PF）=3，
∴PE+PF==2.4．
故答案为：2.4．
【点睛】此题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
13．如图，矩形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接，若，则的度数是_________．
【答案】15°##15度
【分析】根据矩形的性质有DO=OA=OB=OC，结合OG⊥AC，可知OG是AC的垂直平分线，即有∠COG=90°，AG=CG，则有∠OAG=∠OCG，根据∠BOG=15°，可得∠COB=75°，进而有∠OCB、∠OBC的度数，则可得∠OCD=∠BCD-∠OCB=，即问题得解．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，且AC、BD相互平分，，
∴DO=OA=OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵OG⊥AC，
∴OG是AC的垂直平分线，∠COG=90°，
∴AG=CG，
∴∠OAG=∠OCG，
∵，
∴∠OAG=∠OCD，
∵∠BOG=15°，∠COG=90°，
∴∠COB=75°，
∵∠OCB=∠OBC，
∴在△OBC中有∠OCB=∠OBC=，
∵在矩形ABCD中∠BCD=90°，
∴∠OCD=∠BCD-∠OCB=，
∴∠OCD=∠OAG=∠OCG=，
∴∠BCG=∠BCD-∠OCD-∠OCG=，
故答案为：15°．
【点睛】本题考查了矩形的性质、垂直平分线的判定与性质、平行的性质等知识，根据矩形的性质得出OG是AC的垂直平分线是解答本题的关键．
14．如图，在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD=12．若点E 在线段BC上，BE=5，EF⊥AE交CD于点F，沿EF折叠C落在处，当 为等腰三角形时，BC=________．
【答案】18或15或21.9
【分析】分三种情况讨论：当时，当时，当时，即可求解．
【详解】解：∵沿EF折叠C落在处，
∴，，，
∵∠B=90°，AB=CD=12，BE=5，
∴，
当时，CE=AE=13，
∴BC=BE+CE=18；
当时，过点A作于点G，则，
∵AE⊥EF，
∴，
∵，
∴，
∵AE=AE=∠AGE=∠B=90°，
∴，
∴EG=BE=5，
∴，
∴CE=10，
∴BC=BE+CE=15；
当时，过点作于点M，连接交EF于点N，连接AF，则AE=2ME，，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴此时点落在AD上，，
∴，
设DF=x，则，
∵，
∴，解得：，
∴，
设CE=a，则AD=BC=5+a，
∵，
∴，
解得：a=16.9，
∴BC=21.9；
综上所述，BC=18或15或21.9．
故答案为：18或15或21.9
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
三、解答题：
15．已知：如图，在矩形中，，．对角线的垂直平分线分别交、于点、．求线段的长．
【答案】
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得，设，表示出的长度，然后在中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
设，则 ，
在中，
即
解得：x=52，
∴
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质；熟练掌握勾股定理和矩形的性质是解题的关键．
16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，BE=2，DE=6，求AD的长．
【答案】
【分析】由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，证得AE是线段OB的垂直平分线，然后证得△OAB是等边三角形，求得AB=OB=4，再利用勾股定理即可求得AD的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵BE=2，DE=6，
∴BD=8，
∴OB=4，
∴BE=EO=2，
∵AE⊥BD于E，
∴AE是线段OB的垂直平分线，
∴AB=OA，
∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴AB=OB=4，
∴AD==4．
【点睛】此题考查了矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，结合已知条件和等边三角形的判定方法证明△OAB是等边三角形是解题关键．
17．已知：如图，分别是的中点，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以证明，再利用等腰三角形的性质可证明；
【详解】证明：如图所示，连接，
，
是的中点．
Rt中，，
Rt中，，
，
又是的中点，
；
综上所述，．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质．
18．如图，矩形中，的平分线交于点，为对角线和交点，且．
（1）证明为等边三角形；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）135°．
【分析】（1）先根据矩形的性质得到、，再证明即可证明结论；
（2）先说明，再求得，最后根据角的和差解答即可．
【详解】（1）证明：∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=45°
∵∠CAE=15°
∴∠BAC=60°
∵AO=BO
∴△AOB是等边三角形
（2）解：∵△AOB是等边三角形
∴AB=BO
∵AB=BE
∴BE=BO
∴∠BOE=∠BEO
∵∠OBE=90°－60°=30°
∴∠BOE=∠BEO=（180°－30°）÷2=75°
∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=60°+75°=135°
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为，则点E的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．
【详解】解：∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为(10,8)，
∴AD=OC=10，DC=AO=8，
∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，
∴AD=AF=10，DE=EF，
在Rt△AOF中,OF= =6，
∴FC=10−6=4，
设EC=x，则DE=EF=8−x，
在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2，
即(8−x)2=x2+42，
解得x=3，即EC的长为3，
∴点E的坐标为(10,3)．
故选择A．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠性质，勾股定理，掌握矩形的性质，折叠性质，勾股定理，利用勾股定理构造方程是解题关键．
2．如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】首先连接，根据矩形的性质，得出，，，，再根据，得出线段是线段的垂直平分线，再根据线段的垂直平分线定理，可得，然后设，则，根据勾股定理，得出，解出即可得出的长．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
又∵，
∴线段是线段的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查了矩形的性质、线段的垂直平分线定理、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．
3．如图，矩形的面积为5，它的两条对角线交于点，以为两邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以为两邻边作平行四边形，…，依此类推，则平行四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据矩形的性质可得的面积为，再根据平行四边形的性质可得平行四边形的面积为，同样的方法可得平行四边形和平行四边形的面积，然后归纳类推出一般规律即可得．
【详解】解：矩形的面积为5，
的面积为，
四边形是平行四边形，
平行四边形的面积为，
同理可得：平行四边形的面积为，
平行四边形的面积为，
归纳类推得：平行四边形的面积为，其中为正整数，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
二、填空题：
4．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为__．
【答案】
【分析】先根据矩形的判定得出是矩形，再根据矩形的性质得出，互相平分，且，再根据垂线段最短的性质就可以得出时，的值最小，即的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．
【详解】解：如图，连接，
，，，
，
于，于，
四边形是矩形，
，互相平分．且，
，的交点就是点．
当的值最小时，的值就最小，
当时，的值最小，即的值最小．
，
，
，，，
，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出的最小值是关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(5，0)，(0，3)，点P在BC边上运动，当OAP是等腰三角形时，点P的坐标为_____．
【答案】(,3)或(4，3)或(1,3)
【分析】作PM⊥OA于M，则PM=OC=3，当△OAP是等腰三角形时，分三种情况：①PO=PA时，②OP=OA=5时，③AP=OA=5时，分别取OM的长即可．
【详解】解：∵四边形OABC是矩形，顶点A、C的坐标分别为(5,0)、(0,3)，
∴∠B=90°，OC=AB=3，OA=BC=5，
作PM⊥OA于M，如图：
则PM=OC=3，
当△OAP是等腰三角形时，分三种情况：
PO=PA时，点P在OA的垂直平分线上，OM=AM=OA=，
∴P点的坐标为：(,3)；
OP=OA=5时，OM==4，
∴P点的坐标为：(4,3)；
AP=OA=5时，AM==4，
∴OM=OA-AM=1，
∴P点的坐标为：(1,3)；
综上所述，P点的坐标为：(,3)或(4,3)或(1,3)；
故答案为：(,3)或(4,3)或(1,3)．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是关键．
6．如图，在矩形ABCD中，，的平分线交BC于点E，于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号是______．
【答案】①②③
【分析】根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠DAE＝45°，然后求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE＝AB，从而得到AE＝AD，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE＝∠AED＝67.5°，根据平角等于180°求出∠CED＝67.5°，从而判断出①正确；利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝DH，再求出∠AHB＝67.5°，∠DHO＝∠ODH＝22.5°，然后根据等角对等边可得OE＝OD＝OH，判断出②正确；求出∠EBH＝∠OHD，证明△BEH≌△HDF（ASA），可得BH＝HF，得到③正确；判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到④错误．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝AB，
∵AD＝AB，
∴AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°−45°）＝67.5°，
∴∠CED＝180°−45°−67.5°＝67.5°，
∴∠AED＝∠CED，故①正确；
在△ABE和△AHD中，，
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE＝DH，
∴AB＝BE＝AH＝HD，
∵∠AHB＝（180°−45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB，
∴∠OHE＝67.5°＝∠AED，
∴OE＝OH，
∵∠DHO＝90°−67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°−45°＝22.5°，
∴∠DHO＝∠ODH，
∴OH＝OD，
∴OE＝OD＝OH，故②正确；
∵∠EBH＝90°−67.5°＝22.5°，
∴∠EBH＝∠OHD，
在△BEH和△HDF中，，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH＝HF，故③正确；
∵AB＝AH，∠BAE＝45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴AB≠HF，故④错误．
∴其中正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定；熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键．
三、解答题：
7．如图，折叠矩形ABCD的顶点D所在角，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE．
(1)若∠DAE＝26°，求∠EFC的大小；
(2)若AB＝8，BC＝10，求EC的长．
【答案】(1)38°
(2)3
【分析】（1）由折叠的性质得出，由平行线的性质得出即可求解；
（2）根据折叠的性质得到，，根据勾股定理列方程计算即可．
（1）∵四边形是矩形，∴，，由折叠可知：≌，∴，，∴，∴；
（2）∵四边形是矩形，∴，，，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得：，∴，解得：，∴，∴．
【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理、矩形的性质等知识，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
8．如图，等腰的直角顶点是矩形对角线的交点，与边交于点．
(1)如图1，当与在同一条直线上时，求证：．
(2)如图2，当与在同一条直线上时，若，，求的长．.
【答案】(1)见解析；
(2)3.4
【分析】（1）连接，根据矩形的性质可知，，，因为是直角三角形，所以是的垂直平分线，故，在中，，定理代换即可证得结论；
（2）连接，由（1）可知，，设，则，利用勾股定理求出的值即可．
【详解】（1）证明：连接，
四边形是矩形，
，，，
是直角三角形，
，
是的垂直平分线，
，
在中，，
；
（2）解：连接，
由（1）可知，，
设，则，
在菱形中，，，
在中，根据勾股定理得，
，
即，
解得，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．