人教版八年级下册17.1 勾股定理一课一练

这是一份人教版八年级下册17.1 勾股定理一课一练，共30页。
一、单选题：
1．如图是由边长为0.5m的正方形地砖铺设的地面的一部分，一个扫地机器人沿图中所示的折线从，则它所走的路程是（ ）
A．3mB．C．D．
2．如图所示，，若数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
3．在中，，，．现将按如图那样折叠，使点落在上的点处，折痕为，则的长为（ ）
A．3B．4C．6D．
4．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为．则的长为（ ）
A．13B．12C．10D．8
5．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，则边长的高为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：
8．小丽同学在学习了利用勾股定理在数轴上表示无理数的方法后，进行如下操作：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，且；再以为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，如图，那么点表示的数是 __．
9．如图，在中，，点A，B在数轴上对应的数分别为1，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，则点D对应的数是_____．
10．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点O，A，B，C在网格的交点（格点）上，点，在第三象限内的格点上找一点D，使与全等，则点D的坐标为______．
11．如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，，均在格点上，为上任意一点，则的值为________．
12．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点均在格点上，则边上的高为________．
13．如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为_______________.
14．在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点，如果点和顶点A重合，则的长为___________．
15．如图，在长方形中，，，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则线段的长为________．
三、解答题：
16．作图：请在同一个数轴上用尺规作出的对应的点．
17．在如图所示的方格中，每个小方格的边长都为1．
(1)在图中画出长度为与的线段，要求线段的端点在格点上．
(2)在图中画出一个三条边长分别为，，的三角形，使它的顶点都在格点上．
18．如图，△ABC中，，，，为上一点，连接，将沿折叠，点C落在边上的D点处，求的长．
19．如图，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折叠，使AB落在直线AC上．
(1)BC＝______；
(2)求重叠部分（阴影部分）的面积．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，把长方形纸片折叠，使其对角顶点C与A重合．若长方形的长为8，宽为4，则折痕的长度为（ ）
A．5B．C．D．
2．如图，在纸片中，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为（ ）
A．B．10C．11D．
3．如图，数轴上点，分别对应实数1，2，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的实数的平方是（ ）
A．2B．5C．D．
二、填空题：
4．课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出，，…线段（如图所示）．”即：，过A作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；…以此类推，得________．
5．如图，长方形中，，，点E为射线上一动点(不与D重合)，将沿AE折叠得到，连接，若为直角三角形，则 ________
三、解答题：
6．如图，长方形在平面直角坐标系中，，，折叠长方形使得点与点重合，折痕交于点、交于点，点的对应点为．
(1)求点的坐标；
(2)求折痕的长度．
人教版初中数学八年级下册
17.1.3 勾股定理的作图及典型计算 同步练习
夯实基础篇
一、单选题：
1．如图是由边长为0.5m的正方形地砖铺设的地面的一部分，一个扫地机器人沿图中所示的折线从，则它所走的路程是（ ）
A．3mB．C．D．
【答案】B
【分析】根据图形，运用勾股定理分别求出AB、BC的长，即可解答．
【详解】解：由图片可知：AB、BC均为长1宽0.5的矩形的对角线，
∴，，
∴
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理，涉及了正方形的性质等相关知识，精准识图、合理使用相关知识是本题的解题关键．
2．如图所示，，若数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据图示，可得：点A是以B为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，再根据两点间的距离的求法，求出a的值为多少即可．
【详解】解：由勾股定理得：，
∴，
∴点A是以B为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴和实数及勾股定理，能求出的长是解此题的关键．
3．在中，，，．现将按如图那样折叠，使点落在上的点处，折痕为，则的长为（ ）
A．3B．4C．6D．
【答案】A
【分析】首先利用勾股定理求出，进一步可得，设，则，，在中，由勾股定理得，，列出解方程求解即可得出答案．
【详解】解：在中，由勾股定理得，，
∵将沿折叠，点与点重合，
∴，，
∴
设，
则，，
在中，由勾股定理得，，即
解得，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为．则的长为（ ）
A．13B．12C．10D．8
【答案】A
【分析】设为x，则为，在由勾股定理有，即可求得．
【详解】解：由折叠的性质可知，
设为x，则为，
∵四边形为长方形
∴，
∴在中由勾股定理有
即
化简得
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠问题求折痕或其他边长，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解．
5．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据面积相等的方法，即可求出答案 ．
【详解】解：由题意可得，的面积是：，
∵是的高，，
∴，
解得，，
故选：．
【点睛】本题考查利用勾股定理计算三角形的相关知识，几何图形与网格的结合考查三角形的相关知识，理解和掌握三角形的知识是解题的关键．
6．如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，则边长的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理解答即可．
【详解】解：，
，
边长的高，
故选：C．
【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么解答．
7．如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先利用勾股定理得出正方形对角线长，再利用数轴的性质得出点表示的数．
【详解】解：∵以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，
，
∵以表示数的点为圆心，
∴点表示的数是：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及实数与数轴．正确掌握实数与数轴的关系是解题关键．
二、填空题：
8．小丽同学在学习了利用勾股定理在数轴上表示无理数的方法后，进行如下操作：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，且；再以为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，如图，那么点表示的数是 __．
【答案】
【分析】由勾股定理求出的长，再根据作图知，即可求解．
【详解】解：在中，，，
．
以点为圆心，为半径与正半轴交点表示的数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，实数与数轴．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9．如图，在中，，点A，B在数轴上对应的数分别为1，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，则点D对应的数是_____．
【答案】##
【分析】先用沟勾股定理求出，进而即可得到答案．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵以A为圆心，以为半径画弧，
∴，
∴点D表示的实数是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查勾股定理以及数轴上的点表示实数，掌握勾股定理是关键．
10．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点O，A，B，C在网格的交点（格点）上，点，在第三象限内的格点上找一点D，使与全等，则点D的坐标为______．
【答案】
【分析】根据网格及勾股定理确定点D的位置，然后读出点的坐标即可．
【详解】解：如图所示，
，，AB=AB，
∴，
故点，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查坐标与图形，全等三角形的判定，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
11．如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，，均在格点上，为上任意一点，则的值为________．
【答案】12
【分析】根据勾股定理表示出，，代入即可解得．
【详解】∵，
，
∴，
故答案为：12．
【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是用勾股定理表示出边长．
12．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点均在格点上，则边上的高为________．
【答案】
【分析】先求解，再利用勾股定理求解，再利用等面积法建立方程即可．
【详解】解：由题意可得：，上的高为2，
∴，
由勾股定理可得：，设上的高为，
∴，
∴，
∴边上的高为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是网格三角形的面积的计算，等面积法的应用，勾股定理的应用，二次根式的除法应用，熟练的求解网格三角形的面积是解本题的关键．
13．如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为_______________.
【答案】##
【分析】连接AD，根据半径相等，得出，再根据勾股定理即可求出DE的长，即可得出CD的长．
【详解】连接AD，
∵以点A为圆心，AB长为半径作弧，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了在格点图中勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并作出正确的辅助线是本题的关键．
14．在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点，如果点和顶点A重合，则的长为___________．
【答案】
【分析】设，则，根据折叠的性质，勾股定理列方程求解即可；
【详解】解：设，则，
由题意得，
由勾股定理得，
∴，
解得，
即的长为；
故答案为：
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，灵活使用勾股定理是解题的关键．
15．如图，在长方形中，，，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则线段的长为________．
【答案】
【分析】根据将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，可得到，从而得到，在 中，利用勾股定理即可解答．
【详解】∵在长方形中，，，
∴，
∴，
∵将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在 中， ，
∴ ，解得：，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键是灵活运用矩形的折叠结合勾股定理解答问题．
三、解答题：
16．作图：请在同一个数轴上用尺规作出的对应的点．
【答案】见解析
【分析】在数轴上表示的点上作垂线，然后以表示的点为圆心，1为半径画弧交垂线于一点，然后连接原点和这个点，进而再以原点为圆心，这段长为半径画弧，最后问题可求解．
【详解】解：如图，点A即为所求．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴是解题的关键．
17．在如图所示的方格中，每个小方格的边长都为1．
(1)在图中画出长度为与的线段，要求线段的端点在格点上．
(2)在图中画出一个三条边长分别为，，的三角形，使它的顶点都在格点上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据长为4，宽为1的长方形的对角线长为，长为4，宽为1的长方形的对角线长为，进行作图即可；
（2）可先画3的线段，根据勾股定理可得长为的线段是长为2，宽为1的矩形的对角线，是边长为2的正方形的对角线，据此作图即可．
【详解】（1）解：线段，即为所求，如图所示：
（2）解：即为三条边长分别为，，的三角形．如图所示：
【点睛】本题主要考查了作图−应用于设计作图，无理数概念、勾股定理以及三角形有关知识的综合运用．解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
18．如图，△ABC中，，，，为上一点，连接，将沿折叠，点C落在边上的D点处，求的长．
【答案】的长是3．
【分析】先利用勾股定理求出的长，再利用折叠的性质得到角、边的大小，在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，由勾股定理可知：
∴
由折叠的性质得：，，
设，则，，
∴在中，
∴
解得
∴的长是3．
【点睛】此题考查了勾股定理，翻折变换（折叠问题），解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
19．如图，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折叠，使AB落在直线AC上．
(1)BC＝______；
(2)求重叠部分（阴影部分）的面积．
【答案】(1)16
(2)36
【分析】（1）根据勾股定理直接求解即可；
（2）根据折叠的性质得出，设CD＝x，则，利用勾股定理得出CD=6，由三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）∵在中，，，，
∴，
故答案为：16；
（2）由折叠可知，
∵AC＝12，
∴
设CD＝x，则
在中，
，
∴解得x＝6，
∴．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握运用勾股定理及折叠的性质是解题关键．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，把长方形纸片折叠，使其对角顶点C与A重合．若长方形的长为8，宽为4，则折痕的长度为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】C
【分析】过F点作于H． 设，则．在中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x为5，即可求出，．又易证，从而可求，最后再次利用勾股定理即可求出的长．
【详解】解：如图，过F点作于H，
由折叠的性质可知，．
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质．正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
2．如图，在纸片中，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为（ ）
A．B．10C．11D．
【答案】A
【分析】过点D作AB的垂线，垂足为G，过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，垂足为N， 分别求出△DEA和△DFC的面积，利用S△DEF＝×（S△ABC－S△DEA－S△DFC）可得结果．
【详解】解：过点D作AB的垂线，垂足为G，
∵∠BAC＝120°，
∴∠GAC＝60°，∠GDA＝30°，
∴AG＝，DG＝，
设AE＝x， 则BE＝12－x＝DE，
在Rt△DGE中，，
即，
解得：x＝，
∴S△ADE＝DG×AE＝＝，
过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，垂足为N，
∵，
∴AN＝AB＝6，BN＝ ，
∴BC＝，
设DF＝y，
则CF＝，
DH＝，CH＝，
则有，即，
解得：，
则S△DFC＝，
∴S△DEF＝ ×（S△ABC－S△DEA－S△DFC）
＝
＝
＝
故选A．
【点睛】此题主要考查了翻折变换以及勾股定理、等腰三角形的性质等知识，正确得出AE、BF的长是解题关键．
3．如图，数轴上点，分别对应实数1，2，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的实数的平方是（ ）
A．2B．5C．D．
【答案】C
【分析】先求出AC的长，然后确定点M对应的实数，最后求得结果．
【详解】如下图，连接AC
∵A、B分别对应1、2
∴AB=BC=1
∵PQ⊥AB
∴在Rt△ABC中，AC=
∴AM=AC=
∴点M对应的点为：
故选：C
【点睛】本题考查勾股定理和数轴上点表示的数，解题关键是确定点M在数轴上对应的数，然后求平方即可．
二、填空题：
4．课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出，，…线段（如图所示）．”即：，过A作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；…以此类推，得________．
【答案】
【分析】利用勾股定理求出，观察、、，找出规律：，进而求出．
【详解】解：
……
∴
故答案为：．
【点睛】本题为考查勾股定理和数字规律综合题，难度不大，熟练掌握勾股定理以及找到数字规律是解题关键．
5．如图，长方形中，，，点E为射线上一动点(不与D重合)，将沿AE折叠得到，连接，若为直角三角形，则 ________
【答案】或##或
【分析】分两种情况讨论：①当点E在线段CD上时，三点共线，根据可求得，再由勾股定理可得，进而可计算，在中，由勾股定理计算的值；②当点E在射线CD上时，设，则，，由勾股定理可解得，进而可计算，在中，由勾股定理计算的值即可．
【详解】解：根据题意，四边形ABCD为长方形，，，将沿AE折叠得到，则，，，
①如图1，当点E在线段CD上时，
∵，
∴三点共线，
∵，
∴，
∵，
∴；
∴在中，；
②如图2，当点E在射线CD上时，
∵，，，
∴，
设，则，
∴，
∵，即，
解得，
∴，
∴在中，．
综上所述，AE的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质以及勾股定理等知识，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键．
三、解答题：
6．如图，长方形在平面直角坐标系中，，，折叠长方形使得点与点重合，折痕交于点、交于点，点的对应点为．
(1)求点的坐标；
(2)求折痕的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，根据折叠得出，然后在中根据勾股定理得出关于x的方程，然后求解即可；
（2）过点作，根据折叠和长方形的性质得出，根据等角对等边得出，进而求出，最后在中根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：设，
∵，，四边形是长方形，
∴，，，
∵折叠，
∴，．
∵，
∴，
即，
解得，
∴；
（2）解：过点作，
∵长方形，
∴，
∴．
又∵折叠，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形等知识，添加合适的辅助线，构造直角三角形是解第（2）题的关键．