人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示测试题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示测试题，共5页。试卷主要包含了下列计算正确的有等内容，欢迎下载使用。
A级——基础过关练
1．复数 eq \f(1,2)－ eq \f(\r(3),2)i的三角形式是( )
A．cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＋isineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))B．cs eq \f(π,3)＋isin eq \f(π,3)
C．cs eq \f(π,3)－isin eq \f(π,3)D．cs eq \f(π,3)＋isin eq \f(5π,6)
【答案】A
【解析】 eq \f(1,2)－ eq \f(\r(3),2)i＝cs eq \f(5,3)π＋isin eq \f(5,3)π＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,3)))＋isin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,3)))＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＋isin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))．
2．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是( )
A．150°B．40°
C．－40°D．320°
【答案】D
【解析】sin 50°－isin 140°＝cs(270°＋50°)＋isin(180°＋140°)＝cs 320°＋isin 320°，故辐角的主值为320°．
3．复数sin 4＋ics 4的辐角的主值为( )
A．4B． eq \f(3π,2)－4
C．2π－4D． eq \f(5π,2)－4
【答案】D
【解析】sin 4＋ics 4＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π－4))＋isin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π－4))．
4．若复数cs θ＋isin θ和sin θ＋ics θ相等，则θ的值为( )
A． eq \f(π,4)B． eq \f(π,4)或 eq \f(5π,4)
C．2kπ＋ eq \f(π,4)(k∈Z)D．kπ＋ eq \f(π,4)(k∈Z)
【答案】D
【解析】因为cs θ＋isin θ＝sin θ＋ics θ，所以cs θ＝sin θ，即tan θ＝1．所以θ＝ eq \f(π,4)＋kπ(k∈Z)．
5．如果θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，那么复数(1＋i)(cs θ－isin θ)的三角形式是( )
A． eq \r(2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,4)－θ))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,4)－θ))))B． eq \r(2)[cs (2π－θ)＋isin(2π－θ)]
C． eq \r(2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))))D． eq \r(2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋θ))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋θ))))
【答案】A
【解析】因为1＋i＝ eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)＋isin\f(π,4)))，cs θ－isin θ＝cs (2π－θ)＋isin(2π－θ)，所以(1＋i)(cs θ－isin θ)＝ eq \r(2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2π－θ))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2π－θ))))＝ eq \r(2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,4)－θ))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,4)－θ))))．
6．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是 eq \f(3π,2)，则实数a的值是( )
A．1B．－1
C．－ eq \r(2)D．－ eq \r(3)
【答案】B
【解析】因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，arg z＝ eq \f(3π,2)，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－1＝0，,2a＜0.))所以a＝－1．故选B．
7．(多选)下列计算正确的有( )
A．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(2π,3)＋isin \f(2π,3)))× eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(5π,6)＋isin \f(5π,6)))＝2 eq \r(3)i
B．( eq \r(3)＋i)(cs 60°＋isin 60°)＝2i
C．8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(7π,6)＋isin \f(7π,6)))÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,3)))))＝ eq \r(3)＋i
D．2i÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)(cs 30°＋isin 30°)))＝2＋2 eq \r(3)i
【答案】BD
【解析】2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(2π,3)＋isin \f(2π,3)))× eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(5π,6)＋isin \f(5π,6)))＝2 eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3π,2)＋isin \f(3π,2)))＝－2 eq \r(3)i，A错误；( eq \r(3)＋i)(cs 60°＋isin 60°)＝2(cs 30°＋isin 30°)(cs 60°＋isin 60°)＝2(cs 90°＋isin 90°)＝2i，B正确；8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(7π,6)＋isin \f(7π,6)))÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,3)))))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(5π,6)＋isin \f(5π,6)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))＝－ eq \r(3)＋i，C错误；2i÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)(cs 30°＋isin 30°)))＝2(cs 90°＋isin 90°)÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)(cs 30°＋isin 30°)))＝4(cs 60°＋isin 60°)＝2＋2 eq \r(3)i，D正确．
8．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转 eq \f(π,2)，所得到的向量对应的复数是__________．
【答案】1－i
【解析】(1＋i)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))))＝ eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)＋isin\f(π,4)))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))))＝ eq \r(2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,2)))))＝ eq \r(2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))))＝1－i．
9．设复数z1＝1＋ eq \r(3)i，z2＝ eq \r(3)＋i，则 eq \f(z1,z2)的辐角的主值是__________．
【答案】 eq \f(π,6)
【解析】由题知，z1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin\f(π,3)))，z2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin\f(π,6)))，所以 eq \f(z1,z2)的辐角的主值为 eq \f(π,3)－ eq \f(π,6)＝ eq \f(π,6)．
10．设复数z1＝ eq \r(3)＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1z eq \\al(2,2) 的对应点在虚轴的负半轴上，且arg z2∈(0，π)，求z2的代数形式．
解：因为z1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin\f(π,6)))，
设z2＝2(cs α＋isin α)，α∈(0，π)，
所以z1z eq \\al(2,2) ＝8eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,6)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,6)))))．
由题设知2α＋ eq \f(π,6)＝2kπ＋ eq \f(3π,2)(k∈Z)，
所以α＝kπ＋ eq \f(2π,3)(k∈Z)．
又因为α∈(0，π)，所以α＝ eq \f(2π,3)．
所以z2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(2π,3)＋isin\f(2π,3)))＝－1＋ eq \r(3)i．
B级——能力提升练
11．设π＜θ＜ eq \f(5π,4)，则复数 eq \f(cs 2θ＋isin 2θ,cs θ－isin θ)的辐角的主值为( )
A．2π－3θB．3θ－2π
C．3θD．3θ－π
【答案】B
【解析】 eq \f(cs 2θ＋isin 2θ,cs θ－isin θ)＝ eq \f(cs 2θ＋isin 2θ,cs (－θ)＋isin(－θ))＝cs 3θ＋isin 3θ．因为π＜θ＜ eq \f(5π,4)，所以3π＜3θ＜ eq \f(15π,4)．所以π＜3θ－2π＜ eq \f(7π,4)．故选B．
12．(多选)已知复数z1＝1＋cs θ＋isin θ(π＜θ＜2π)，z2＝1＋cs θ－isin θ(π＜θ＜2π)，则( )
A．z1的模是2cs eq \f(θ,2)B．z1的辐角的主值是π＋ eq \f(θ,2)
C．z2的模是－2cs eq \f(θ,2)D．z2的辐角的主值是π－ eq \f(θ,2)
【答案】BCD
【解析】z1＝1＋cs θ＋isin θ＝1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs2\f(θ,2)－1))＋2i·sin eq \f(θ,2)·cs eq \f(θ,2)＝2cs eq \f(θ,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(θ,2)＋isin \f(θ,2)))．∵π＜θ＜2π，∴ eq \f(π,2)＜ eq \f(θ,2)＜π，∴cs eq \f(θ,2)＜0，∴2cs eq \f(θ,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(θ,2)＋isin \f(θ,2)))＝－2cs eq \f(θ,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－cs \f(θ,2)－isin \f(θ,2)))＝－2cs eq \f(θ,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(θ,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(θ,2)))))，
∴r＝－2cs eq \f(θ,2)．∵ eq \f(π,2)＜ eq \f(θ,2)＜π，∴ eq \f(3π,2)＜π＋ eq \f(θ,2)＜2π，∴arg z＝π＋ eq \f(θ,2)．故复数z1的模是－2cs eq \f(θ,2)，辐角主值是π＋ eq \f(θ,2)．z2＝2cs2 eq \f(θ,2)－2i·sin eq \f(θ,2)cs eq \f(θ,2)＝2cs eq \f(θ,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(θ,2)－isin \f(θ,2)))＝－2cs eq \f(θ,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－cs \f(θ,2)＋isin \f(θ,2)))＝－2cs eq \f(θ,2)·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(θ,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(θ,2)))))，∴r＝－2cs eq \f(θ,2)．∵π＜θ＜2π，∴ eq \f(π,2)＜ eq \f(θ,2)＜π，∴0＜π－ eq \f(θ,2)＜ eq \f(π,2)，∴arg z＝π－ eq \f(θ,2)．故复数z2的模是－2cs eq \f(θ,2)，辐角主值为π－ eq \f(θ,2)．综上，B，C，D正确．
13．已知复数z满足z2＋2z＋4＝0，且arg z∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则z的三角形式为__________．
【答案】2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(2π,3)＋isin\f(2π,3)))
【解析】由z2＋2z＋4＝0，得z＝ eq \f(1,2)(－2±2 eq \r(3)i)＝－1± eq \r(3)i．因为arg z∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以z＝－1－ eq \r(3)i应舍去，所以z＝－1＋ eq \r(3)i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(2π,3)＋isin\f(2π,3)))．
14．已知z＝ eq \f(－1＋i,i)－2i，z1－ eq \x\t(z)z2＝0，arg z2＝ eq \f(7π,12)，若z1，z2在复平面内分别对应点A，B，且|AB|＝ eq \r(2)，则z1＝__________，z2＝__________．
【答案】－ eq \r(3)＋i eq \f(1－\r(3),2)＋ eq \f(\r(3)＋1,2)i
【解析】由题设知z＝1－i，因为|AB|＝ eq \r(2)，即|z1－z2|＝ eq \r(2)，所以|z1－z2|＝| eq \x\t(z)z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝ eq \r(2)．又因为arg z2＝ eq \f(7π,12)，所以z2＝ eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(7π,12)＋isin \f(7π,12)))＝ eq \f(1－\r(3),2)＋ eq \f(\r(3)＋1,2)i，z1＝ eq \x\t(z)z2＝(1＋i)z2＝ eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)＋isin \f(π,4)))· eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(7π,12)＋isin\f(7π,12)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(5π,6)＋isin \f(5π,6)))＝－ eq \r(3)＋i．
15．设O为复平面的原点，A，B为单位圆上两点，A，B所对应的复数分别为z1，z2，z1，z2的辐角的主值分别为α，β．若△AOB的重心G对应的复数为 eq \f(1,3)＋ eq \f(1,15)i，求tan (α＋β)．
解：由题意可设z1＝cs α＋isin α，z2＝cs β＋isin β．
因为△AOB的重心G对应的复数为 eq \f(1,3)＋ eq \f(1,15)i，
所以 eq \f(z1＋z2,3)＝ eq \f(1,3)＋ eq \f(1,15)i，即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α＋cs β＝1，,sin α＋sin β＝\f(1,5)．))
所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2cs \f(α＋β,2)cs \f(α－β,2)＝1，,2sin \f(α＋β,2)cs \f(α－β,2)＝\f(1,5)，))
所以tan eq \f(α＋β,2)＝ eq \f(1,5)．
故tan (α＋β)＝ eq \f(2tan \f(α＋β,2),1－tan2\f(α＋β,2))＝ eq \f(5,12)．